Слайд 1Физические основы механики
Сегодня:
Слайд 2
Тема 2. КИНЕМАТИКА ДВИЖЕНИЯ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ
2.1. Понятие механики,
модели в механике
2.2. Система отсчета, тело отсчета
2.3. Кинематика материальной точки
2.3.1.
Путь, перемещение
2.3.2. Скорость
2.3.3. Проекция вектора скорости на оси координат
2.3.4. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорение
2.4. Кинематика твердого тела
2.4.1. Поступательное движение твердого тела
2.4.2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси
Слайд 32.1. Понятие механики, разделы в механике
Слайд 4Предметом классической механики является механическое движение взаимодействующих между собой макротел
при скоростях, много меньше скорости света и в условиях, когда
переходом механической энергии в другие ее формы можно пренебречь.
Слайд 5 Кинематика (от греческого слова kinema – движение) – раздел механики,
в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их
массы и действующих на них сил.
Динамика (от греческого dynamis – сила) изучает движения тел в связи с теми причинами, которые обуславливают это движение.
Статика (от греческого statike – равновесие) изучает условия равновесия тел.
Поскольку равновесие – есть частный случай движения, законы статики являются естественным следствием законов динамики и в данном курсе не изучается.
Слайд 6Модели в механике
Материальная точка
- тело, размерами, формой и внутренним
строением
которого в данной задаче можно пренебречь
Абсолютно твердое тело –
тело, которое ни при каких условиях не может деформироваться и при всех условиях расстояние между двумя точками этого тела остается постоянным
Абсолютно упругое тело-
тело, деформация которого подчиняется закону Гука, а после прекращения действия внешних сил принимает свои первоначальные размеры и форму.
Слайд 7 Без знаний механики невозможно представить себе развитие современного машиностроения.
Развитие механики, как науки, начиналось с III в. до
н.э., когда древнегреческий ученый Архимед (287 – 312 до н.э.) сформулировал закон рычага и законы равновесия плавающих тел.
Слайд 9 Основные законы механики установлены итальянским физиком и астрономом Г. Галилеем
(1564 – 1642) и окончательно сформулированы английским физиком И. Ньютоном
(1643 – 1727).
Механика Галилея и Ньютона называется классической, т.к. она рассматривает движение макроскопических тел со скоростями, значительно меньшими скорости света в вакууме.
Слайд 10Галилео Галилей
(Galileo Galilei)
астроном, философ и физик.
Важнейшие роботы
улучшение телескопа; астрономические наблюдения;
первый закон движения
Слайд 11Исаак Ньютон
(Isaac Newton)
физик, математик, астроном, алхимик и
философ
Важнейшие работы
закон всемирного тяготения
дифференциальное и интегральное исчисления изобрел зеркальный телескоп
развил корпускулярную теорию света
Слайд 12Альберт Эйнштейн
(Albert Einstein)
величайший ученый 20 века
Важнейшие работы:
теория
относительности;
квантовая и статистическая механика; космология
Нобелевская премия по физике 1921
Слайд 132.2. Система отсчета, тело отсчета
Всякое движение относительно, поэтому для описания
движения необходимо условиться, относительно какого другого тела будет отсчитываться перемещение
данного тела. Выбранное для этой цели тело называют телом отсчета.
Практически, для описания движения приходится связывать с телом отсчета систему координат (декартова, сферическая, цилиндрическая и т.д.).
Слайд 14 Система отсчета – совокупность системы координат и часов, связанных с
телом по отношению к которому изучается движение.
Движения тела, как и
материи, вообще не может быть вне времени и пространства. Материя, пространство и время неразрывно связаны между собой (нет пространства без материи и времени и наоборот).
Слайд 15 Пространство трехмерно, поэтому «естественной» системой координат является, декартова или прямоугольная
система координат, которой мы в основном и будем пользоваться.
В декартовой системе координат, положение точки А в данный момент времени по отношению к этой системе характеризуется тремя координатами x, y, z или радиус-вектором проведенным из начала координат в данную точку
Слайд 16Рисунок 2.1
При движении материальной точки её координаты с течением времени
изменяются.
В общем случае её движение определяется скалярными или векторными уравнениями:
Слайд 17Кинематические уравнения движения материальной точки:
Эти уравнения эквивалентны векторному уравнению
где х,
у, z – проекции радиус-вектора
на оси координат, а i, j, k – единичные векторы (орты), направленные по соответствующим осям, причем
Слайд 18 Число независимых координат, полностью определяющих положение точки в пространстве, называется
числом степеней свободы i
Если материальная точка движется в пространстве, то
она имеет три степени свободы i=3 (координаты х, у, z). Если она движется на плоскости – две степени свободы i=2. Если вдоль линии – одна степень свободы i=1.
Слайд 192.3. Кинематика материальной точки
2.3.1. Путь, перемещение
Положение точки А в пространстве
можно задать с помощью радиус-вектора проведенного из
точки отсчета О или начала координат
Слайд 20При движении точки А из точки 1 в точку 2
её радиус-вектор изменяется и по величине, и по направлению, т.е.
зависит от времени t.
Геометрическое место точек концов называется траекторией точки.
Длина траектории есть путь Δs. Если точка движется по прямой, то приращение равно пути s.
Слайд 21 Пусть за время t точка А переместилась из точки 1
в точку 2.
Вектор перемещения есть приращение
за время t
(2.3.1)
(2.3.2)
(2.3.3)
Модуль вектора:
Слайд 23Скорость
Средний вектор скорости определяется как отношение вектора перемещения
ко времени t, за
которое это перемещение
произошло
Вектор
совпадает с
направлением
вектора
Слайд 24Мгновенная скорость -вектор скорости в данный момент времени равен
первой производной от по времени и направлен
по касательной к траектории в данной точке в сторону движения точки А.
Мгновенная скорость в точке 1:
Модуль вектора скорости
Слайд 25 При t 0 т.е. на бесконечно малом участке траектории
S = r (перемещение совпадает с траекторией) В этом
случае мгновенную скорость можно выразить через скалярную величину – путь:
Так вычислять скорость проще, т.к. S – скаляр
Слайд 26Обратное действие – интегрирование
Рисунок 2.5
– площадь бесконечно узкого прямоугольника. Чтобы вычислить весь путь S за время t, надо сложить площади всех прямоугольников.
Слайд 27(2.3.5)
Геометрический смысл этого интеграла в том, что площадь под
кривой есть путь тела за время
t.
Слайд 28Принцип независимости движения.
(Принцип суперпозиции)
Рассмотрим простой опыт:
Этот опыт доказывает принцип независимости
движения
(действия сил).
Слайд 30Движение тел в поле тяжести Земли
g - ускорение свободного падения
в поле тяжести Земли.
Подставляя t из
первого уравнения во второе, находим уравнение траектории движения снаряда:
Y = X tgj - (g/2v2)(1 + tg2j) X2
Из этого уравнения находим максимальную дальность стрель-бы Xmax (при этом Y=0) и макси-мальную высоту полёта Ymax (первая производная Y по координате X равна нулю):
Xmax = v2sin(2j)/g
Ymax = v2sin2j/2g
Из первого уравнения видно, что максимальная дальность полёта снаряда достигается при стрельбе под углом j, равном 45°.
Если пушка расположена в точке с координатами (0, 0, 0), то снаряд будет двигаться по траектории, которая описывается следующими уравнения-ми:
X = (vcosj)t
Y = (vsinj)t - gt2/2,
где v - скорость снаряда вдоль ствола пушки, j - угол между стволом пушки и горизонтом (ось X), t - время,
Слайд 33 Если материальная точка участвует в нескольких
движениях, то ее результирующее перемещение равно векторной сумме перемещений,
обусловленных каждым из этих движений в отдельности:
Принцип независимости
движения
(действия сил)
Тогда
Таким образом, скорость тоже подчиняется принципу независимости движения.
В дальнейшем мы подробнее рассмотрим принцип независимости действия сил.
Слайд 35 В физике существует общий принцип, который называется
принцип суперпозиции
результирующий эффект сложного процесса взаимодействия представля-ет собой сумму эффектов, вызываемых
каждым воздействием в отдельности, при условии, что последние взаимно не влияют друг на друга.
Принцип суперпозиции играет большую роль во многих разделах физики и техники.
Слайд 362.3.3. Проекция вектора скорости на оси координат
В
векторной форме уравнения записываются легко и кратко. Но для практических
вычислений нужно знать проекции вектора на оси координат выбранной системы отсчета.
Положение точки А
задается
радиус-вектором .
Спроецируем вектор
на оси – x, y, z.
Слайд 37Понятно, что х, y, z зависят от времени t, т.е.
x(t), y(t), z(t). Зная зависимость этих координат от времени (закон
движения точки) можно найти в каждый момент времени скорость точки.
Проекция вектора скорости на ось x
равна:
Слайд 38х
у
Z
Проекции вектора скорости на оси равны:
Слайд 39где i, j, k единичные векторы – орты.
(2.3.6)
Модуль вектора скорости:
Так как вектор, то
Слайд 402.3.4. Ускорение. Нормальное и тангенциальное ускорения
В произвольном случае движения скорость
не остается постоянной. Быстрота изменения скорости по величине и направлению
характеризуются ускорением:
(2.3.7)
Ускорение величина векторная.
При криволинейном движении изменяется и по времени, и по направлению. В какую сторону? С какой скоростью? Из выражения (2.3.7) на эти вопросы не ответишь.
Слайд 41 Введем единичный вектор (рисунок 2.9), связанный
с точкой 1 и направленный по касательной к траектории движения
точки 1 (векторы и в точке 1 совпадают).
Тогда можно записать:
Где – модуль вектора скорости.
Рисунок 2.9
Слайд 42Найдем общее ускорение (как производную):
(2.3.8)
Получили два слагаемых ускорения:
– тангенциальное ускорение, совпадающее с направлени-
ем
в данной точке.
– нормальное ускорение или центростремительное.
Слайд 44X
Y
Z
K
М
r(t)
L
v
a
τ
n
При произвольном движении
точки имеем:
aτ
an
O
Слайд 45или по модулю
-показывает изменение вектора скорости
по величине:
- если
то направлено в ту же сторону, что и вектор т.е. ускоренное движение;
- если то направлено в противоположную
сторону , т.е. замедленное движение;
- при то , – движение
постоянной по модулю скоростью.
Слайд 46 Рассмотрим подробнее второе слагаемое уравнения
т.е. нормальное ускорение:
Быстрота изменения
направления касательной к траектории
опреде-ляется скоростью движения точки по окружности и степенью искривленности траекторий.
Слайд 47 Радиус кривизны r
– радиус такой
окружности, которая сливается с кривой в данной точке на бесконечно
малом ее участке dS.
Степень искривленности плоской кривой характеризуется кривизной С.
Слайд 48Ускорение при произвольном движении
При произвольном движении материальной точки величина r
будет равна радиусу некоторой моментальной (т.е. соответствующей данному моменту времени)
окружности
в любой точке траектории движение материальной точки можно рассматривать как вращательное движение по окружности, (с касательным aτ и нормальным an ускорениями)
Саму величину r называют радиусом кривизны траектории в данной точке
a
aτ
an
r
r
r
aτ
an
a
Слайд 49 Скорость изменения направления касательной можно выразить как произведение скорости
изменения угла на единичный вектор , показывающий направление изменения угла.
Т.о. – единичный вектор, направленный перпендикулярно касательной в данной точке, т.е. по радиусу кривизны к центру кривизны.
отсюда
– нормальное ускорение или центростремительное
т.к. направлено оно
к центру кривизны, перпендикулярно
Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости
Слайд 51
Центростремительным называют ускорение – когда движение происходит по окружности. А
когда движение происходит по произвольной кривой – говорят, нормальное ускорение,
перпендикулярное к касательной в любой точке траектории.
Модуль нормального ускорения:
Нормальное ускорение показывает быстроту изменения направления вектора скорости
Слайд 52r
v
a
an
aτ
Суммарный вектор ускорения при движении точки вдоль плоской кривой равен:
Модуль
общего ускорения равен:
Слайд 53
Рассмотрим несколько предельных (частных) случаев:
– равномерное прямоли- нейное движение;
– равноускоренное прямолинейное движение;
– равномерное движение по окружности.
Слайд 54Типы ускорений
Частица движется прямолинейно
Чтобы более наглядно представить свойства введенных составляющих
полного ускорения, рассмотрим примеры движений частицы, при которых эти составляющие
возникают
Частица движется по дуге окружности
ar
vr
r
vn
a
an
aτ
Слайд 55 Вспомним несколько полезных формул
(прямая задача кинематики) :
При
равномерном движении
При движении с постоянным ускорением
отсюда
или, так как
Следовательно
Обратная задача кинематики заключается в том, что по известному значению ускорения a(t) найти скорость точки и восстановить траекторию движения r(t).
Слайд 572.4. Кинематика твердого тела
Различают пять видов движения твердого тела:
- поступательное;
-
вращательное вокруг неподвижной оси;
- плоское;
- вокруг неподвижной точки;
- свободное.
Поступательное движение
и вращательное движение вокруг оси – основные виды движения твердого тела.
Остальные виды движения твердого тела можно свести к одному их этих основных видов или к их совокупности.
Слайд 582.4.1. Поступательное движение твердого тела
Поступательное движение – это такое движение
твердого тела, при котором любая прямая, связанная с телом, остается
параллельной своему начальному положению и при этом, все точки твердого тела совершают равные перемещения.
Слайд 59 Скорости и ускорения всех точек твердого тела
в данный момент времени t одинаковы. Это позволяет свести изучение
поступательного движения твердого тела к изучению движения отдельной точки, т.е. к задаче кинематики материальной точки, подробно рассмотренной в прошлом разделе.
Слайд 60 При вращательном движении все точки тела движутся по окружностям, центры
которых лежат на одной и той же прямой
, называемой осью вращения (рисунок 2.3).
Из определения вращательного движения ясно, что понятие вращательного движения для материальной точки неприемлемо.
Рисунок 2.3
Слайд 612.4.2. Вращательное движение вокруг неподвижной оси
Движение твердого тела, при котором
две его точки О и О' остаются неподвижными, называется вращательным
движением вокруг неподвижной оси, а неподвижную прямую ОО' называют осью вращения.
Пусть абсолютно твердое
тело вращается вокруг
неподвижной оси ОО'
Рисунок 2.12
Слайд 62 Проследим за некоторой точкой М этого твердого тела. За время
точка М совершает элементарное перемещение
При том же
самом угле поворота другая точка, отстоящая от оси на большее или меньшее расстояния, совершает другое перемещение. Следовательно, ни само перемещение некоторой точки твердого тела,
ни первая производная
ни вторая производная
не могут служить
характеристикой движения
всего твердого тела.
Слайд 63 Угол поворота характеризует переме-щения всего тела
за время dt (угловой путь)
Удобно ввести –
вектор элементарного поворота тела, численно равный и направленный вдоль оси вращения ОО' так, чтобы глядя вдоль вектора мы видели вращение по часовой стрелке (направление вектора и направление вращения связаны
правилом буравчика).
Элементарные повороты удовлетворяют обычному правилу сложения векторов:
Слайд 64 Угловой скоростью называется вектор
численно равный первой производной от угла поворота
по времени и направленный вдоль оси вращения в направлении ( и
всегда направлены в одну сторону).
Слайд 65
Связь линейной и угловой скорости
Пусть – линейная
скорость точки М.
За промежуток времени dt точка М проходит
путь В то же время
(центральный угол). Тогда,
Слайд 66
В векторной форме -
Вектор
ортогонален к векторам и
и направлен в ту же сторону, что и векторное произведение
- Связь линейной и угловой скорости
Слайд 67 Период Т – промежуток времени, в течение которого тело совершает
полный оборот (т.е. поворот на угол
)
Частота ν – число оборотов тела за 1 сек.
Угловая скорость
Слайд 68 Введем вектор углового ускорения
для характеристики неравномерного
вращения тела:
.(2.4.3)
Вектор направлен в ту же сторону,
что и при ускоренном вращении
а направлен в противопо-ложную сторону при замедленном вращении
(рисунок 2.13).
Слайд 69 Выразим нормальное и тангенциальное ускорения точки М через угловую скорость
и угловое ускорение:
Слайд 70 Формулы простейших случаев вращения тела вокруг неподвижной оси:
- равномерное
вращение
- равнопеременное вращение
Слайд 71
Обратите внимание.
Все кинематические параметры, характеризующие вращательное движение (угловое ускорение,
угловая скорость и угол поворота)
направлены вдоль оси
вращения.
Слайд 72Связь между линейными и угловыми величинами при вращательном движении:
Слайд 74Примеры различных видов движения
