Физика твердого тела Курс лекций (7) 1. Теория свободного электронного газа в

металлах

основе квантовой механики для описания свободного электронного газа.

Рассмотрим поведение

газа свободных электронов, находящихся в гипотетическом одномерном «кристалле», учитывая принципы квантовой механики.

Движение электрона с массой m0 ограничено в этом случае прямой с длиной L, в начале и конце которой находятся потенциальные барьеры бесконечной высоты.
Волновая функция и энергетические уровни электрона могут быть получены из решения уравнения Шредингера:

Где Н – оператор Гамельтона (Гамельтонеан) –оператор полной энергии

где

-Оператор импульса.

– энергия электрона в состоянии n;
Данному состоянию соответствует волновая функция

ψn.

Граничные условия имеют вид:

Волновая функция, удовлетворяющая уравнению Шредингера и
граничным условиям имеет вид:

линии) свободного электрона
Энергия n-го уровня:
Волновая функция:
Зависимость энергии электрона от квантового

числа n для одномерной модели свободных электронов.

по уровням энергии одномерного кристалла.
Электроны всегда подчиняются принципу Паули :

Никакие два электрона не могут иметь в этой системе одинаковые квантовые числа. (Свойство фермионов).

В одномерном твердом теле свободный электрон (электрон проводимости) имеет квантовые числа n и ms = ± . (n – целое, положительное число).

ms – спиновое квантовое число.

число электронов (N = 2nF).

Будем последовательно заполнять электронами энергетические

уровни, начиная с низшего, (n =1), до N электронов по два электрона на уровень.

Введем определение энергии электронов, соответствующей высшему заполненному уровню – энергии Ферми,

Для одномерной модели свободных электронов :

Шредингера будет иметь вид:
где nx, ny, nz – положительные целые

числа.

Решение представляет собой плоскую волну.
Другая запись плоской волны имеет вид:

волнового вектора k являются квантовыми числами
наряду со спиновыми квантовыми

числами.

Собственные значения энергии электрона с волновым вектором k:

частицы с волновым вектором k равна:

трехмерном пространстве волновых векторов (k - пространстве).

Занятые состояния будут

определены точками внутри сферы в - пространстве,

Поверхности сферы будет соответствовать энергия F.

Поверхность, называется поверхностью Ферми.

В случае свободных электронов поверхность Ферми представляет собой сферу радиуса kF

Поверхность Ферми для свободных электронов в пространстве волновых векторов

на элемент объема, соответствующий одному состоянию, то получим число состояний,

которое, должно быть равно половине числа электронов:
(спиновое вырождение)

Пространство волновых векторов дискретно, так что каждому вектору K=(kx,ky,kz ) отвечает элемент объема в k - пространстве, равный величине:

- объем кристалла, тогда можно получить формулу радиуса сферы Ферми:

nэл – плотность электронов

на поверхности Ферми:
Скорость электронов на поверхности Ферми для свободного газа

электронов: