Физика твердого тела Курс лекций 1 ВОЛНОВОЕ УРАВНЕНИЕ 2.Решение уравнения

Шрёдингера для одномерного потенциального ящика
3.Решение уравнения Шрёдингера для трёхмерного потенциального

ящика

указать

E – энергию тела, р – импульс, [x,y,z] –координаты.

Описание состояния твердого тела сводится к описанию состояния
составляющих его микрочастиц: атомов, ионов, электронов.

Атомы, ионы и электроны это – микрочастицы, находящиеся
в микрообъеме. Из-за присущего им свойства, описываемого
соотношением Гейзенберга (ΔрΔх  h), возникает проблема
точного «механического» описания их состояния.

Австрийский физик Э.Шредингер (1926) предложил описывать состояние
микрочастиц волновой функцией, являющейся решением волнового
уравнения. Простейшее волновое уравнение имеет вид:

υ – скорость
Ф - волновая функция описывает смещение волны, т.е.

амплитуду,.

Решением уравнения являются функции вида:

где

Лапласа и является
оператором кинетической энергии частицы.

Тогда волновое уравнение записывается

как:

добавил в уравнение
(а)член учитывающий потенциальную энергию для стационарных систем,

(б) убрал член, описывающий изменение энергии во времени.
В результате получилось
Уравнение известное как уравнение Шредингера:

m – масса частицы

- Волновая функция

U –потенциальная энергия
E – полная энергия частицы.

Уравнение Шредингера является уравнением сохранения Энергии.

Первый член описывает кинетическую энергию,
Второй член - описывает кинетическую энергию,
Последний член – полную энергию.

функция, сколько мера вероятности (вероятностная функция).
Квадрат амплитуды волновой функции

(x,y,z)2 выражает
относительную плотность вероятности обнаружения частицы в точке
с координатами (х,y,z).

Решение уравнения Шрёдингера для атома водорода позволяет
определить волновые функции (x,y,z) и дискретные энергетические
уровни энергии электронов в атоме.

область пространства,
в которой потенциальная энергия равна нулю, а на границах

ящика
превращается в бесконечность

Уравнение Шредингера имеет вид:

Одномерный потенциальный ящик

Граничные условия в этом случае:
1) при x = 0

2) при x = а

= 0

.

Решением такого дифференциального уравнения в общем виде является функция

.

Действительно,

,

(

) =

того, чтобы выполнялось это равенство, необходимо,
чтобы постоянная В была

равна нулю.

Следовательно,

.
Учитывая, что при x = а,  = 0 (второе граничное уравнение), получим

Это равенство справедливо при А=0.
Такое решение называется тривиальным, поскольку
обращает волновую функцию в ноль.

при
, где п- целое число.
Тогда решение волнового уравнения принимает

вид:

Постоянная А может быть определена из условия нормировки:



или

Используя уравнение Шредингера
Получаем:


дискретные значения.
2. Энергия электрона определяется значением n – главного квантового

числа,
3. Вероятность нахождения электрона в той или иной области
потенциального ящика, определяется волновой функцией :

Зависит от значения квантового числа n.

4. Вероятности неодинаковы для разных точек пространства.

5. В некоторых точках вероятность равна нулю.
Такие точки называются узловыми.

имеет форму куба с ребром а.

Задача состоит в нахождении

волновой функции для уравнения:

Разделим его на составляющие уравнения,
каждое из которых содержит только одну из координат.
С этой целью представим Е и Ψ в следующем виде:

После подстановки Е и  в уравнение получим:

можно рассматривать как сумму трех уравнений:

потенциальном ящике:
, где nx = 1,2,3 …;
, где ny

= 1,2,3 …;

, где n z = 1,2,3 …

Для энергии и волновой функции получаем следующее выражения:

=

функция электрона и его энергия определяется значениями
трёх квантовых чисел,

3. Количество квантовых чисел равно числу степеней свободы частицы.
4. Выводы 1-3 можно распространить на поведение электрона в более
сложных системах, например, электрона в атоме.

движется
единственный электрон.
Потенциальная энергия взаимодействия его с ядром равна:
Стационарные

состояния атома водорода описывается уравнением

водорода обладает дискретным энергетическим спектром.
Собственные значения энергии определяются формулой:
где

-универсальная постоянная, n-главное квантовое число

2. Орбитальный момент количества движения pl может принимать лишь
следующий дискретный ряд значений:

,

где l побочное квантовое число.

Состояние с l=0 (при любом n) принято называть s-состоянием,
с 1=1 р-состоянием, с 1=2- d-состоянием, с 1=3— f-состоянием и т. д.

может ориентироваться
относительно избранного направления магнитного поля H лишь таким

образом,
что проекция его на это направление целократна

m — называется магнитным квантовым числом.
Принимает все целочисленные значения от -l до +l
всего (2l+1) значений.

Ориентация орбитального
момента количества
движения

n - главное квантовое число, принимает целочисленные значения 1,2,3,4,…, n

L - побочное (орбитальное) квантовое число, принимающее

целочисленные значения от 0 до n - 1;
m - магнитное квантовое число, которое изменяться от –l до +l.

Обозначение волновых функций
l = 0 – s -орбитали;
l = 1 – p -орбитали;
l = 2 – d -орбитали;
l = 3 – f - орбитали.
l = 4- q - орбитали.
l = 5-h , q и h - орбиталями.

S- спиновое квантовое число s, принимает значения + 1/2 или -1/2.

энергию электрона

как в атоме водорода.
2. Модель многоэлектронного атома можно построить

из последовательности
водородоподобных орбиталей.
3. Последовательность определяется энергией орбиталей,
то есть значениями квантовых чисел n и l.
4. По сравнению с атомом водорода значительный вклад вносит число l,
что обусловлено двумя эффектами:
а. Эффект экранирования - действие ядра на электрон в многоэлектронном атоме
может ослабляться экранирующим действием внутренних электронных оболочек.
б. Эффект проникновения электрона к ядру (плотность е на ядре)
Наибольшую плотность имеют s электроны, затем p .
В связи с этим порядок возрастания энергии следующий:
1s<2s<2p<3s<3p<4s<3d<4p<5s<4d<5p<6s<5f=5d<6p<7s<7f

5d

Паули запрещает находиться в одном энергетическом состоянии более
чем двум

электронам с различными спинами.

Другими словами, в атоме не может быть двух электронов с четырьмя
одинаковыми квантовыми числами. Или, в одном энергетическом состоянии
могут находиться лишь два электрона с разным спинами.


При не полном заполнении уровня характер заполнения электронов определяет также
правило Хунда.

электроны стремятся избегать одной и той же орбитали,
причём, расположенные на разных орбиталях электроны имеют одинаково
направленные спины.