Формула Тейлора для функции нескольких переменных

переменных, условия его существования и методы поиска.

f(x, y) имеет в окрестности точки M0(х0,y0) непрерывные производные до

n-ого порядка включительно. Тогда для любой точки M(х, y) из этой окрестности справедлива формула Тейлора с остаточным членом в форме Лагранжа:

х0 + tΔx, y = y0 + tΔy, причем 0

≤ t ≤ 1.
Тогда φ ( t ) = f (х0 + tΔx, y0 + tΔy) – n раз непрерывно дифференцируемая сложная функция от t, причем
φ (0) = f ( х0, y0 ), φ (1) = f (х0 + Δx, y0 + Δy).

Лагранжа:



Полагая t = 1, получим



Заметим, что


Итак

с остаточным членом в форме Пеано:

f(х1, х2, ... хm) определена в области G⊂ Rm. Точка

М0∈G называется точкой локального максимума (минимума) функции f(М), если найдется такая δ-окрестность точки М0, что для всех точек М, принадлежащих этой окрестности, выполнено неравенство
f(М) – f(М0) ≤ 0 ( ≥ 0).
ПРИМЕР.

частная производная по какой-либо переменной, то эта производная равна нулю.
Доказательство.

Докажем теорему для функции двух переменных f(x, y).
Пусть М0(х0, у0) – ее точка локального экстремума. Пусть существует, например, fx (х0, у0). Введем вспомогательную функцию
ϕ (x) = f (x, у0).
Точка х0 является ее точкой экстремума, следовательно по теореме Ферма
ϕ ′(x0) = fx (х0, у0) = 0 ,
ч.т.д.
СЛЕДСТВИЕ.
Если в точке экстремума М0 функция f(М) дифференцируема, то
df(М0) = 0.

= 0, то М0 называется стационарной точкой. Точки экстремума следует

искать среди стационарных точек. Но не всякая стационарная точка будет точкой экстремума.

ПРИМЕР.

fx = y = 0, fy = x = 0, то есть (0,0) – стационарная точка.
Возьмем произвольное δ > 0.
Точки (δ, δ) и (δ, – δ) лежат внутри круга радиуса 2δ и
f (δ, δ) = δ 2 > f(0, 0) = 0,
f(δ,–δ) = – δ 2 < f(0, 0) = 0.
Поэтому (0,0) не является точкой экстремума функции.

точки M0 непрерывные частные производные второго порядка и пусть df(M0)

= 0. Тогда
если d2f(M0) – положительно (отрицательно) определенная квадратичная форма, то M0 – точка локального минимума (максимума),
если d2f(M0) – неопределенная квадратичная форма, то M0 не является точкой экстремума.
Доказательство.
Приведем доказательство для функции двух переменных f(x, y).
По формуле Тейлора второго порядка с остаточным членом Пеано имеем

полное приращение функции в критической точке








Пусть для определенности d2f(M0) –

положительно определенная квадратичная форма. Тогда

при всех значениях , не равных нулю одновременно.

не равны нулю. Квадратичная форма


– непрерывная функция двух переменных,

принимающая только положительные значения и заданная на окружности радиуса 1 с центром в начале координат. Поскольку эта окружность есть компакт, то функция достигает на нем своей точной нижней грани m. Таким образом

для всех значений аргументов, удовлетворяющих условию ( * ), а


Следовательно в достаточно малой окрестности точки М0 выполняется неравенство f(M) – f(M0) > 0, то есть М0 – точка локального минимума.

стационарная точка этой функции. Исследуем второй дифференциал функции в стационарной

точке





Воспользуемся критерием Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. В нашем случае



Возможные возникающие здесь ситуации сведем в таблицу:

– 39x – 36y + 26.
Найдем частные производные первого порядка

zx = 3x2 + 3y2 – 39; zy = 6xy – 36.
Для нахождения стационарных точек функции получим систему уравнений:

M1(3, 2), M2(– 3, – 2), M3(2, 3), M4(–2, –3).

Вычислим второй дифференциал функции
d2f(x, y) = 6xdx2 +2⋅6ydxdy + 6xdy2.
Матрица квадратичной формы в данном случае имеет вид: