Географический факультет Московского государственного университета им

географических наук, профессор

ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ОСНОВЫ ЛАНДШАФТОВЕДЕНИЯ
(Часть II)

моделей функционирования




4. Создание единой (комплексной) модели геосистем
Радиальные процессы формирования элементарных

геосистем

Латеральное сопряжение геосистем элементарного водосбора

Формирование структуры геосистем высоких иерархических порядков

Элементарные геосистемы:
земная поверхность в поле гравитации (конвергенция-дивергенция и ускорение-замедление потоков) и
в поле инсоляции (освещенность, доза солнечной радиации и др.)

Параметры структуры водосборов:
поверхностных - линии тока, водоразделы, тальвеги, порядок водосбора и др.; подземных - почвенные и литологические горизонты и линеаменты, и др.

Радиальные процессы переноса в элементарных геосистемах: биогенные (продуктивность, сукцессии, малый биокруговорот );
атмогенные (радиационный, конвективно-диффузионный и др)
гидроциркуляционные (транспирация, трансформация осадков растительностью, влагомассоперенос в почвах, и др.)

Процессы латерального переноса на водосборах, барьеры и др.

объединяющих природные объекты в функционирующие как единое целое геосистемы.
Потоки

вещества и энергии высокой интенсивности обладают способностью формировать специфический рельеф (флювиальный, гляциальный, эоловый и т.д.), а также прямо или косвенно обусловливать распределение и численность растений и животных, особенности почвенного покрова, воздействовать на другие потоки. Таким образом, они образуют сферу влияния, которая и есть геосистема . В бореальных условиях главным структурообразующим потоком является водный сток.
Следовательно:
геосистемы различных порядков могут быть выделены в соответствии со схемой Стралера-Философова на множестве элементов рельефа по значениям морфометрических величин, описывающих распределения воды в поле гравитации:
водоразделы любого порядка одновременно соответствуют локальным: максимумам высоты h, минимумам величины удельной площади водосбора (SCA), а также локальным максимумам kh (положительная величина);
тальвеги соответствуют локальным: минимумам высоты h, локальным максимумам SCA, а также локальным минимумам kh (отрицательная величина).

2003] (справа, цифры - порядок водотоков, автоматическое выделение программы TOPAZ).

Цветом показан тип растительного покрова, интенсивностью цвета - характер рельефа по градиенту увлажнения

(Y) от его порядка (X) имеет вид
Y=b0*X**b1;
значения параметров:

b0=0.42, b1=2.52; достоверность модели R2=0.99977.

являются граничными условиями для решения физико-математических моделей функционирования геосистем, а

морфометрические величины – параметрами моделей

dm=ρdx
(qm+x qm)dt
Приращение массы на отрезке среды от х

до х+dx равна разности потоков:

Делим на dt·dx обе части уравнения и переносим в одну сторону

Применяя оператор пространственного дифференцирования для трехмерного случая:

(частицы)
абсолютно твердое тело
состояние физической системы
( масса

частиц mi, координаты х, у, z
и компоненты скорости vx , vy , vz
в заданный момент времени t)


параметры сплошной среды (в переменных Эйлера)













уравнение неразрывности (закон сохранения)











закон движения системы частиц (закон Ньютона)





уравнения движения вязкой жидкости (система уравнений Навье-Стокса для несжимаемой жидкости)

осреднение турбулентного потока в смысле



система уравнений Рейнольдса (для несжимаемой жидкости )




модель двумерного стекания воды по поверхности
водосбора (интегрировании системы уравнений Рейнольдса [Кучмент, 1983])













система уравнений Сен-Венана




уравнение кинематической волны

рyx, рyy, pyz в направлении у
и pzy, pzz,

pzx. в направлении z
Тогда на элементарную площадку dsx = dydz
в направлении х на элемент поверхности ds действует сила dsxpxx + dsypyx+ dszpzx

dfk = dsi рik

Тензор рik

симметричный

dfk =-pdsi

В общем случае

Для давления Паскаля

Уравнение Ньютона

Тензор напряжений вязкого течения

Идеальная жидкость уравнение Эйлера

несжимаемая, то divv =0
Принимая

получим:

Уравнения Навье-Стокса: движения вязкой жидкости:

Для несжимаемой жидкости:

Вывод уравнений движения вязкой жидкости Навье-Стокса

Рейнольдса в тензорном виде
Упрощения: 1) вертикальные размеры потоков малы

по сравнению с горизонтальными размерами – тогда и ускорения в осреднением движении жидкости вдоль оси z малы по сравнению с ускорениями вдоль осей х и у; 2) вертикальные размеров потоков малы - значит касательные напряжения в жидкости меняются по оси z гораздо сильнее, чем по осям х, и у; 3) потоки воды в равнинных условиях имеют малые скорости течения - поэтому турбулентное давление обусловленное пульсациями скоростей в них мало по сравнению с осредненным гидродинамическим давлением; 4) молекулярные вязкостные напряжения малы по сравнению с турбулентными напряжениями и могут быть отброшены; 5) для природных потоков справедливо приближение Буссинеска - линейная связь между турбулентными напряжениями и градиентами осредненных скоростей – Тогда:

систему уравнений планового движения воды в речном русле:
z' (х, у,

t) - свободная поверхность воды
z0=(х, у) - поверхность водосбора
-=h - глубина потока
qx , qy - расходы воды по направлениям
Сx, Сy - коэффициенты Шези
R - интенсивность осадков
I - инфильтрация воды в почву

Интегрирование уравнений поверхностного стока на водосборе

Уравнение Сен-Венана

Уравнение кинематической волны

q - функция источника (боковой приток в единицу времени на

единицу длины водотока),
uq- относительная скорость бокового притока, if - уклон трения по формуле Шези, i0 - уклон дна, положительный в сторону уменьшения отметок дна водотока

следующий момент при равновероятном перемещении частиц
К выводу уравнения диффузии (градиентные

законы)

частиц через точку х=(j+1/2)h в момент t =(п+1/2) в положительном

направлении переместится за единицу времени (Nj, n-Nj+1, n) 2 частиц, если масса каждой точки m0 то переместиться вещества:

многомерном случае:
Уравнения диффузии и дисперсии
В случае дисперсии с потоком:

количества (В); А -распределение поля осадков под пологом леса

для отдельных деревьев (Мк -между крон, Кк - край кроны, Ск - середина кроны, Ус - приствольная часть кронового пространства, А - сосняк чернично-брусничный, Б - сосняк лишайниковый, В - ельник черничный, Г - ельник разнотравный) [Волокитина, 1979, и др.]

3.2. ПЕРЕХВАТ ОСАДКОВ ПОЛОГОМ ЛЕСА

А

В

условием:
D(z,0) = D0(z) ,
С(z,t) – концентрация компонента в атмосферных

осадках, мг/см3 ;
S(z,t) - концентрация компонентов на поверхности клеток фитоэлементов в единице объема полога леса, мг/см3 ; С0 (z) – начальная концентрация солей и аэрозолей на поверхности фитоэлементов в единице объема полога, мг/см3 ; k – эмпирический коэффициент; К(z) - коэффициент скорости растворения солей, см/мин

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХВАТА ДОЖДЕВЫХ ОСАДКОВ ПОЛОГОМ ЛЕСА

R(z,t)- интенсивность осадков, см/мин;
Е0 (z,t) - испарение с увлажненной поверхности фитоэлементов (испаряемость), см/мин;
U(z) – площадь поверхности фитоэлементов в единице объема полога на высоте z, 1/см;
G(z) – проекция площади фитоэлементов на единицу поверхности горизонтального сечения на высоте z;
D(z,t) – безразмерная доля сухих листьев и ветвей в момент t на уровне z;.
(z)- средняя сорбируемость воды на единицу площади фитоэлемента.
z=0 на вершине полога леса, положительна вниз, z=Н – нижняя граница полога

ТРАНСФОРМАЦИЯ ХИМИЧЕСКОГО СОСТАВА ОСАДКОВ ПОЛОГОМ ЛЕСА

леса во времени (R0 - над пологом, D = 1

сухие кроны, ZH - низ полога)

Интерфейс расчета проникновения
дождевых осадков под крону ели
с учетом разбрызгивания

H=30 м, U=0.25 м-1 , G=0.5 м, a=1.0*10-3 м, R0 (t)=10*10-3 м/день , D0(z)=1

поверхности склона;
h = h(x, t) - глубина потока воды

на поверхности почвы;
i(x) - уклон поверхности склона; n(x) – коэф-т шероховатости
Шези- Маннинга; R(t) - интенсивность осадков;
I(t) - интенсивность инфильтрации; t - время.
Начальные условия:

т.е. в период от t > 0 до t < tS, слой воды на поверхности почвы отсутствует.
Граничные условия:

ХИМИЧЕСКИЙ СОСТАВ ПОВЕРХНОСТНОГО СТОКА

C, CS - концентрация в потоке и в растворе зоны эффективного взаимодействия (мг/л);
D– коэф-т дисперсии; S - концентрация сорбированного вещества в почве (мг/г); R, I – интенсивность
атмосферных осадков и инфильтрации в почву (мм/мин); CR – концентрация атмосферных осадков (мг/л);
h - глубина потока и hs - "эффективная глубина взаимодействия";
и s - масса доступной почвы на единицу объема поверхностного и внутрипочвенного потоков (г/м3 );
 – коэф-т обмена между потоком и зоной взаимодействия (1/с);  и Kd – параметры сорбции-десорбции;
F - площадь поверхности растворяющегося твердого вещества (соли); K =D/ - коэф-т растворения соли
 – толщина переходного слоя, C0- - концентрации насыщения соли у твердой поверхности

- объемная влажность почвы; z - положительно вниз; t -

время;
S(х, t) - расход влаги корнями растений на единицу объема почвы;
К() - коэффициент гидравлической проводимости почвы:

Кf - коэффициент фильтрации в вертикальном направлении;
ВЗ влажность, соответствующая прочно- и рыхлосвязанной воде (ВЗ); ПВ - влажность насыщения (ПВ);
DW() - коэффициент диффузии влаги:

,

РB - капиллярно-сорбционный потенциал насыщения почвы с защемленным воздухом.
(z) - концентрация корней

.

E(t) – испарение с поверхности почвы; d(t) - дефицит влажности воздуха,
r1 ,r2- эмпирические коэффициенты.

Начальные условия: Граничные условия

ВЕРТИКАЛЬНЫЙ МАССОПЕРЕНОС С ОПИСАНИЕМ СТРУКТУРЫ ПОЧВ

С - концентрация подвижного растворенного компонента, мг/л;
S- концентрация адсорбированного компонента, мг/г;
D - коэффициент гидродинамической дисперсии;
v - скорость течения воды в порах;  - объемное содержание воды в порах;
 - объемный вес пористой среды; t - время; z - расстояние;
 - коэффициент массопереноса в 1/день; K, N - коэффициенты изотермы сорбции
Индексы m, im -обозначение мобильной и иммобильной зон.

Для почвенной колонки мощностью L граничные условия: начальные условия:

УДОБРЕНИЙ С ДОЖДЕВАЛЬНОЙ ПЛОЩАДКИ
Экспериментальные (1) и рассчитанные (2)
гидрографы стока: поверхностный

сток с поля (А),
в замыкающем лесном створе (Б), внутрипочвенный
сток в замыкающем створе (В).
Профили влажности почвы: исходные (1) и
рассчитанные после дождевания (1) на поле (Г)
и в лесу (Д).

Вынос удобрений поверхностным стоком с дождевальной площадки.
Более жирные линии - концентрации в стоке с поля, тонкие линии –
в стоковых водах в замыкающем створе в лесу

в растворе; S – концентрация сорбированного вещества на единицу веса

почвы; D – эффективный коэффициент дисперсии; V – средняя скорость потока;  – плотность почвы;  – доля порового пространства, занятая раствором

При переносе одного компонента:

В случае изотермы Фрейндлиха:

Rf –замедляющий фактор

равновесная модель:

неравновесная модель:

Модель переноса фосфора
A - фосфаты раствора, доступные растениям и способные передвигаться с током воды
B - фосфаты, адсорбированные на поверхности твердых фаз почвы
C - химически связанные сорбированные фосфаты (иммобилизованные)
D - химически осажденные минеральные фосфаты

концентрация в подающем
растворе
Кf- коэффициент фильтрации;
v- скорость фильтрации в

порах;
no- порозность;
L - длина колонки;
t - текущее время

Выходные кривые в размерных (слева) и безразмерных координатах

ДЕРНОВО-ПОДЗОЛИСТЫХ ПОЧВАХ
Ход осадков (а), рассчитанные интенсивности транспирации (б) и испарения

(в), а также профили влажности почв 12 июня (г), 22 июня (д) и измеренная концентрация корней (е). 1 - рассчитанные профили; 2 - измеренные профили влажности почв

Интенсивность фильтрации растворов и промывных вод
в экспериментах на монолитах дерново-подзолистых почв.
А - намытая среднесуглинистая, монолит 3;
Б - среднесуглинистая на покровных суглинках, монолит 4;
1 - температура воды; 2 - подача раствора удобрений;
3 - расходы фильтрата, л/ч.

Экспериментальные данные (точки) и рассчитанные в
численном эксперименте выходные кривые для
дерново-подзолистой среднесуглинистой почвы
под ельником-кисличником

аммиака (Б) для дерново-подзолистых почв под лесом.
1 - среднесуглинистая

почва на покровных суглинках; 2 - намытая среднесуглинистая почва; Т - окончание подачи раствора удобрений на поверхность монолитов, индексы - номера монолитов; точки - экспериментальные данные, сплошные и пунктирные линии - графически осредненные данные

Динамика поглощения фосфора дерново-подзолистыми почвами

= gl
P1–P2+G sin =  или p1-p2+ glsin  =

, Так как

lsin  =z1-z2

p1-p2+g(z1-z2) =.

H =p/g+z – пьезометрический (гидростатический) напор

Q=-k(H2-H1)/l=-k(H/l)

Равновесие элементарного столбика жидкости

совершая предельный переход:

3.4. ГРУНТОВЫЙ И ПОДЗЕМНЫЙ СТОК В ГЕОСИСТЕМАХ

при x=x1;
H=h2 при x=x2;
Граничные условия:
разделим

переменные и проинтегрируем дифференциальное уравнение Дарси с учетом пределов изменения переменных величин h и х:

Кривая депрессии потока грунтовых вод:

(Окский заповедник). А –

расчет установившегося среднегодового УГВ (1) и измеренные УГВ в летнюю межень (2 – август 1986 г, 3 - август 1987 г).
Б – расчет инфильтрационного питания грунтовых вод в августе 1987 года

и оттока воды в элемент dx
 — водоотдача (или недостаток

насыщения)

W— интенсивность инфильтрации, h-высота (поперечная площадь) грунтового потока

По закону Дарси:

Составляем уравнение баланса воды в dx за dt:

Подставляем в уравнение баланса:

тела в точке х в момент t, тогда плотность тепловой

энергии Q можно записать Q = с0Т
0 - массовая линейная плотность тела, с - коэффициент теплоемкости кал/(г·град) при небольших изменениях Т можно принять постоянным.
Чтобы получить из общего уравнения переноса уравнение переноса теплоты, вводим потенциал переноса в виде  =СТ.
Согласно градиентному закону Фурье: (1)

 - коэффициент теплопроводности, кал/(см °С·сут) или Дж/(с∙м∙0С) = Вт/(м·К), можно считать постоянным. Подставляя (1) в уравнение неразрывности для тепловой энергии: (2)

вынося  и с0 за скобки и обозначая kT=/c0 коэффициент температуро-проводности, получаем уравнение теплопроводности:
(3)

В общем виде уравнение (2) переноса теплоты

-примеры описания экспериментальных данных для образцов из горизонтов Апах(1), АЕ(2),

и ЕВ(3) [Архангельская, 2012]

Кондукция - перенос тепла при непосредственном контакте частиц друг с другом преобладает во всех минеральных почвах. Теплопароперенос – перенос тепла совместно с парами воды, образующимися (с потерей тепла) в одной точке почвы и (с выделением тепла) конденсирующимися в другой. Если в теплой части почвенной поры испарится 1 г воды, то в этой части почва потеряет 585 кал. Этот грамм парообразной воды, выделит те же 585 кал, конденсируясь в холодной части. Конвекция - прогревание за счет струйчатого перемешивания жидкой и газообразной фаз заметно лишь при высокой влажности. Перенос тепла за счет прямого инфракрасного излучения в почвах незначителен.

(4)

раздела фаз
с дополнительными условиями:
граничное условие:

начальное условие:
С условиями на границе

промерзания воды:

Распределения температуры при наличии фазового перехода и движения раздела фаз

Условие в почве с содержанием воды:

Совместный эффект влияния на тепло- и влагоперенос термических и влажностных градиентов в почвах:

структура болотных ландшафтов

2012]

по вертикали от начала координат до уровня грунтовых вод,

y1 - до поверхности болота; z - уровень грунтовых вод от поверхности массива: z =f(r, у, ); zо толщина деятельного горизонта: z0 = (r, у, ); 
Р - интенсивность прихода влаги на единицу площади болота:
w и f - соответственно объемы осадков и испарения за время t.

Уклон поверхности болотного массива i ;
Коэффициент фильтрации kz в деятельном горизонте, k0 – средний в слое (zo-z), kмакс - коэффициент фильтрации при z=0 (т. е. у поверхности болота)
Проточность qz (горизонтальный фильтрационный расход через вертикальное поперечное сечение высотой (zo—z) и шириной, равной единице)
Модуль горизонтальной проточности Mz.

Фильтрационные характеристики болотной фации

В простом одномерном случае:

1984]. 1 - осоково-гипновый; 2 - вейниково-березовый; 3 - сосново-сфагново-кустарничковый,

элемент микрорельефа - повышение; 4 - комплекс группы фаций ленточногрядовой структуры, элемент микрорельефа - гряда сфагново-кустарничково-сосновая; 5 - то же, элемент микрорельефа - гряда сфагново-кустарничковая, облесенная сосной; 6 - сфагново-кустарничковый, облесенный сосной, элемент микрорельефа - повышение

болоте Обловское

верховом болоте Обловское»
Параметры зондирования:
є=45, развертка 1600.
Запасы биомассы умножены на

20 для наглядности

линии cтока.
1- поверхность болота, 2 - уровень грунтовых вод,
3

- граница деятельного горизонта и торфяная залежь,
4 - дно болота и подстилающий минеральный грунт.

s - расстояния вдоль линии стока; bs - длина дуги горизонтали на расстоянии s; b0—длина дуги горизонтали в начале участка; q0 - единичный расход в деятельном горизонте в начале участка; qs - единичный расход на расстоянии s;
Тип ПТК характеризуется: средним модулем проточности Ms, формой потока в плане - b0, bS ,.и внешним (q0) и внутренним (pS) питанием.

Гидродинамический профиль

При наличии водораздельных точек (линий), для которых s=0 и внешнее питание q0 =0 и соответственно i=0 уравнение гидродинамического профиля упрощаем:

Интегрирование уравнения при ряде упрощающих
предположений дает выражение:

n – характеризует сходимость-расходимость линий тока, на симметричном круглом болоте растекание от водо-раздела внутри массива, при n=1 и замене s на r (линии тока совпадают с радиусами) дает [Иванов, 1975 ]:

i =dy/ds

- радиус болотного массива
Если ω - площадь данного болотного

массива то r0 = rn

Нормальные профили болот при М = 2,5 и 20 см2/сек. и максимальных выпуклостях уmax= 2, 4 и 6 м.

Нормальный профиль выпуклых болотных массивов верхового типа

►

►

В соответствии с уравнением Дарси

облесенной сосной фацией в центре [Иванов, 1957].
1—расчетный нормальный профиль

при M =10 см2/сек., уmax = 4м, m=p= 200 мм/год; 2— профиль по нивелировке; 3— профиль летних уровней грунтовых вод.

поверхности болота и растительные ассоциации вдоль трансекта; Б – радарограмма

и ее интерпретация, цифры – степень разложенности торфа; В – интерпретация радарограммы с учетом рельефа поверхности и данных бурения.

Сравнение измеренных нивелировочных профилей [Сандлерский и др. 2016] и рассчитанного по модели нормального профиля болотного массива с формой купола

пределах изменения r от 0 до rn и у от

0 до yтaх получим

уравнение связывает: средний модуль стока (т) с болотного массива, средний модуль проточности M (или сочетание определенных типов болотных фаций, составляющих болотный массив), средний линейный размер массива r (или его площадь ω) и величину максимального превышения поверхности над его окраинами ymax.

Массивы верховых сосново-сфагновых ландшафтов объединены в зону олиготрофных и евтрофных сосново-сфагновых торфяников [Пьявченко, 1985] с границами приблизительно по изолиниям годовой нормы стока 250 мм на севере и 160 мм на юге ЕТР (до 100мм/год в Сибири). Большие грядово-мочажинные комплексы реализуются в зоне выпуклых олиготрофных торфяников с нормой стока 250-300мм/год в ЕТР (до 150мм/год в Сибири).

и функционирования геосистем. Наименьшими материальными объектами (точками), из которых состоят

пространственно-территориальные комплексы, выступают элементы поверхности рельефа (пиксели ЦМР), имеющие географические координаты, а их состояние описывается параметрами градиентов геофизических полей.
На логике классических определений ландшафтоведения предложены алгоритмы выделения однородных по параметрам геосистем. Результаты моделирования показывают необходимость учитывать роль факторов дифференциации ПТК в конкретных физико-географических условиях.
Получены достоверные взаимосвязи структуры и функционирования геосистем низкого иерархического уровня. Морфометрическое описание рельефа и геофизическая дифференциация ПТК являются адекватными граничными условиями для физико-математических моделей функционирования геосистем
Проведено дедуктивное построение теории гидроциркуляционного функционирования геосистем от постулатов до уравнений теоретической гидромеханики, показаны пути упрощения и использования этих уравнений для моделирования структурообразующих процессов в геосистемах.
Уникальным примером синтеза ландшафтно-морфологического, биогеофизического и гидродинамического описания болотных ландшафтов являются работы К.Е. Иванова, выполненые полвека тому назад.
Таким образом, единый физический подход, основанный на общенаучных понятиях и терминах уравнений теории поля, имеет важнейшее значение в плане включения любых частных процессов и систем в более общие геосистемы, для построения общей теории геосистем.