Глава 6

Содержание

1. Глава 6
2. 6.1. Основные понятия Математическая статистика занимается статистическим анализом
3. Статистический анализ и построение вероятностных моделей процессов
4. Поэтому величина Х рассматривается как одномерная случайная
5. Распределение признака Х в генеральной совокупности совпадает
6. Выборка из данной генеральной совокупности – это
7. Число n наблюдений, образующих выборку, называют объемом
8. Это обеспечивается случайностью отбора. Виды отбора: 1)
9. Простой случайный отбор – производится без деления
10. Типический отбор – генеральная совокупность делится на
11. Разность между наибольшим и наименьшим значениями xi
12. Основные задачи математической статистики:1. Определение закона распределения
13. 6.2.Статистическое распределение выборкиНаблюдаемые значения xi (i=1,…,n) называют
14. Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi
15. Построение статистического ряда:размах выборки разбивается на q
16. 3. В том случае, если полученные из
17. Выбор количества интервалов существенно зависит от объема
18. Так как длина интервала hj может быть
19. Полученные результаты сводятся в таблицу вида:
20. 6.3.Полигон частот и гистограммаПолигоном частот называют ломанную
21. Для построения полигона частот на оси абсцисс
22. Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1,р*1), (x2,р*2), …, (xn,р*n).
23. Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из
24. Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую
25. Слайд 25
26. 6.4. Эмпирические функции распределенияЭмпирической функцией распределения (функцией
27. Из т. Бернулли следует, что при неограниченном
28. Это подтверждается тем, что F*(x) обладает всеми
29. С увеличением объема выборки и количества интервалов.
30. Скачать презентанцию

6.1. Основные понятия Математическая статистика занимается статистическим анализом результатов опытов или наблюдений, а также построением и проверкой подходящих моделей процессов и систем на основе результатов экспериментов.

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Глава 6

ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Слайд 2
6.1. Основные понятия

Математическая статистика занимается статистическим анализом результатов опытов или

наблюдений, а также построением и проверкой подходящих моделей процессов и

систем на основе результатов экспериментов.

6.1. Основные понятия Математическая статистика занимается статистическим анализом результатов опытов или наблюдений, а также построением и проверкой подходящих

Слайд 3Статистический анализ и построение вероятностных моделей процессов и систем основаны

на том, что измеряемые в процессе опыта или наблюдений физические

(или иного смысла) величины Х, характеризующие исследуемый процесс или систему, при повторении опытов подвержены некоторому неконтролируемому разбросу х1, х2,…, хn.
Этот разброс обусловлен действием случайных неучтенных факторов и ошибками измерений.

Статистический анализ и построение вероятностных моделей процессов и систем основаны на том, что измеряемые в процессе опыта

Слайд 4 Поэтому величина Х рассматривается как одномерная случайная величина, а результаты

измерения х1, х2,…, хn этой величины, называемые в математической статистике

ее основными признаками – как эмпирическая реализация этого математического понятия.

Совокупность всех мыслимых значений, которые может принимать величина Х при данном реальном комплексе условий, называют генеральной совокупностью.

Поэтому величина Х рассматривается как одномерная случайная величина, а результаты измерения х1, х2,…, хn этой величины, называемые

Слайд 5Распределение признака Х в генеральной совокупности совпадает с теоретическим распределением

вероятностной величины Х. Последнее называется распределением генеральной совокупности, а его

параметры – параметрами генеральной совокупности.
Генеральная совокупность может быть конечной (всего N мыслимых наблюдений) и бесконечной в зависимости от того, конечна или бесконечна совокупность всех мыслимых значений.

Распределение признака Х в генеральной совокупности совпадает с теоретическим распределением вероятностной величины Х. Последнее называется распределением генеральной

Слайд 6Выборка из данной генеральной совокупности – это результаты ограниченного ряда

наблюдений
х1, х2,…, хn значений случайной величины Х.
На практике при

исследовании мы чаще всего имеем дело с выборками, поскольку обследование всей генеральной совокупности бывает слишком трудоемко (когда n – достаточно большое число), либо принципиально невозможно (в случае бесконечной генеральной совокупности).

Выборка из данной генеральной совокупности – это результаты ограниченного ряда наблюдений х1, х2,…, хn значений случайной величины

Слайд 7Число n наблюдений, образующих выборку, называют объемом выборки.
Таким образом,

вместо большой совокупности объектов изучается совокуп-
ность объёма, значительно меньшего по

количеству объектов (n << N).
Результаты, полученные при изучении выборки, распространяются на объекты всей генеральной совокупности. Для этого выборка должна быть репрезентативной (представительной), то есть правильно представлять генеральную совокупность.

Число n наблюдений, образующих выборку, называют объемом выборки. Таким образом, вместо большой совокупности объектов изучается совокуп-ность объёма,

Слайд 8Это обеспечивается случайностью отбора.

Виды отбора:
1) простой случайный:

– повторный;
– бесповторный;
2) сложный случайный:
–

типический;
– механический;
– серийный.

Это обеспечивается случайностью отбора. Виды отбора: 1) простой случайный: – повторный; – бесповторный; 2) сложный

Слайд 9 Простой случайный отбор – производится без деления генеральной совокупности на

части.
Повторный отбор – отобранный объект возвращается в генеральную совокупность.

Бесповторный отбор – отобранный объект не возвращается в генеральную
совокупность.
Сложный случайный отбор – производится после предварительного деления генеральной совокупности на части.

Простой случайный отбор – производится без деления генеральной совокупности на части. Повторный отбор – отобранный объект возвращается

Слайд 10 Типический отбор – генеральная совокупность делится на типы, из каждого

типа случайно отбираются объекты пропорционально объёму типов.
Механический отбор –

генеральная совокупность делится на части механически, из каждой части случайно отбираются объекты.
Серийный отбор – генеральная совокупность делится на серии, и случайным
образом отбираются целые серии объектов.

Типический отбор – генеральная совокупность делится на типы, из каждого типа случайно отбираются объекты пропорционально объёму типов.

Слайд 11Разность между наибольшим и наименьшим значениями xi (i=1,…, n) из

выборки называется размахом выборки.

Взаимно независимые случайные величины имеют одинаковые распределения,

а, следовательно, и одинаковые числовые характеристики (математическое ожидание, дисперсию и т.д.)

Разность между наибольшим и наименьшим значениями xi (i=1,…, n) из выборки называется размахом выборки.Взаимно независимые случайные величины

Слайд 12Основные задачи математической статистики:
1. Определение закона распределения основного признака (наблюдаемой

СВ);
2. Нахождение оценок неизвестных параметров распределений и оценок числовых характеристик

СВ;
3. Проверка правдоподобия статистических гипотез;
4. Оптимальная организация и проведение экспериментов, и оптимальная обработка результатов эксперимента.

Основные задачи математической статистики:1. Определение закона распределения основного признака (наблюдаемой СВ);2. Нахождение оценок неизвестных параметров распределений и

Слайд 136.2.Статистическое распределение выборки

Наблюдаемые значения xi (i=1,…,n) называют вариантами, а последовательность

значений (вариант), записанных в возрастающем порядке – вариационным рядом.
Числа

наблюдений ni называют частотами, а их отношения к объему выборки ni / n = pi* - относительными частотами.

6.2.Статистическое распределение выборкиНаблюдаемые значения xi (i=1,…,n) называют вариантами, а последовательность значений (вариант), записанных в возрастающем порядке –

Слайд 14Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi и соответствующих им

частот ni или относительных частот pi*.
При больших объемах выборки n

статистическое распределение выборки становится недостаточно наглядным. В этом случае статистические данные представляются в виде интервального вариационного ряда, который носит название статистического ряда.

Статистическим распределением выборки называют перечень вариант xi и соответствующих им частот ni или относительных частот pi*.При больших

Слайд 15Построение статистического ряда:
размах выборки разбивается на q конечных (или бесконечных)

интервалов Xj-0,5Xj< xi< Xj+0,5Xj, длины которых (размахи) соответственно

hj= Xj , а середины интервалов Xj , где j=1,…,q.
2. Количество интервалов выбирается в основном из практических соображений. В частности, рекомендуется, чтобы значение q было не менее 5-10 и более 20-25 и в каждом интервале должно быть не менее 10 значений.

Построение статистического ряда:размах выборки разбивается на q конечных (или бесконечных) интервалов Xj-0,5Xj< xi< Xj+0,5Xj, длины

Слайд 163. В том случае, если полученные из опыта данные группируются

вокруг некоторых значений, то желательно, чтобы эти значения не находились

вблизи узлов разбиения интервалов. Затем, подсчитываются число значений выборки nj, попавших в интервал.
Если данные попадают на границы интервалов, то их либо распределяют равномерно по двум соседним интервалам, либо относят только к одному из них (например, к левому).

3. В том случае, если полученные из опыта данные группируются вокруг некоторых значений, то желательно, чтобы эти

Слайд 17Выбор количества интервалов существенно зависит от объема выборки. Существуют такие

рекомендации по использованию формулы Старджеса
q=log2n+13,32ln n + 1

или

других формул, например:
q5 lg n, q .

Все эти формулы следует рассматривать как нижнюю оценку.

Выбор количества интервалов существенно зависит от объема выборки. Существуют такие рекомендации по использованию формулы Старджеса q=log2n+13,32ln n

Слайд 18Так как длина интервала hj может быть большой, а количество

численных значений nj, попавших в него, сравнительно малым, то для

сопоставления групп друг с другом вычисляется также величина

,
называемая плотностью относительной частоты.

Так как длина интервала hj может быть большой, а количество численных значений nj, попавших в него, сравнительно

Слайд 19Полученные результаты сводятся в таблицу вида:

Слайд 206.3.Полигон частот и гистограмма

Полигоном частот называют ломанную линию, отрезки которой

соединяют точки (x1,n1), (x2,n2), …, (xn,nn).

Слайд 21Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi,

а по оси ординат – соответствующие им частоты ni. Точки

(xi, ni) соединяют отрезками прямых и получают полигон частот.

Для построения полигона частот на оси абсцисс откладывают варианты xi, а по оси ординат – соответствующие им

Слайд 22Полигоном относительных частот называют ломанную, отрезки которой соединяют точки (x1,р*1),

(x2,р2), …, (xn,рn).

Слайд 23Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых

служат интервалы длиною hj=Xj, а высоты равны отношению

nj / hj (плотность частоты). Площадь j-го прямоугольника равна nj – сумме частот j-го интервала. Следовательно, площадь гистограммы частот равна сумме всех частот, т.е. объему выборки.

Гистограммой частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат интервалы длиною hj=Xj, а высоты равны

Слайд 24 Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями

которых служат частичные интервалы длиною hj = Xj, а высоты

равны отношению р*j / hj (плотность относительной частоты). Площадь j-го частичного прямоугольника равна р*j – сумме относительных частот j-го интервала. Следовательно, площадь гистограммы относительных частот равны сумме всех относительных частот, т.е. единице.

Гистограммой относительных частот называют ступенчатую фигуру, состоящую из прямоугольников, основаниями которых служат частичные интервалы длиною hj =

Слайд 25

Слайд 266.4. Эмпирические функции распределения
Эмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют

функцию F*(x), определяющей для каждого значения х частоту события X

т.е. F*(x)=nx/n, где nx – число вариант (значений), меньших х, n – объем выборки. Например, для того чтобы найти F*(x'), надо число вариант, меньших x', разделить на объем выборки F*(x') = nx’/n.

6.4. Эмпирические функции распределенияЭмпирической функцией распределения (функцией распределения выборки) называют функцию F*(x), определяющей для каждого значения х

Слайд 27Из т. Бернулли следует, что при неограниченном увеличении n относительная

частота события X < x, т.е. F*(x) стремится по вероятности

к F(x) этого события, т.к.

Эмпирическая (статистическая) функция распределения выборки используется для приближенной оценки теоретической (интегральной) функции распределения генеральной совокупности.

Из т. Бернулли следует, что при неограниченном увеличении n относительная частота события X < x, т.е. F*(x)

Слайд 28
Это подтверждается тем, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x):
1) значения

эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1];
2) F*(x) – неубывающая функция;
3)

если x1 – наименьшая варианта, то F*(x)=0 при х4) если x2 – наибольшая варианта, то F*(x)=1 при хx2.

Это подтверждается тем, что F*(x) обладает всеми свойствами F(x):1) значения эмпирической функции принадлежат отрезку [0;1];2) F*(x) –

Слайд 29 С увеличением объема выборки и количества интервалов. содержащих в пределе

одну реализацию случайной величины, гистограмма приближается к плотности распределения исследуемой

случайной величины.
Полигон частот является статистическим аналогом ряда распределения случайной величины, а гистограмма – статистическим аналогом плотности распределения.

С увеличением объема выборки и количества интервалов. содержащих в пределе одну реализацию случайной величины, гистограмма приближается к

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Глава 6

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Глава 6ПЕРВИЧНАЯ СТАТИСТИЧЕСКАЯ ОБРАБОТКА РЕЗУЛЬТАТОВ ИЗМЕРЕНИЙ СЛУЧАЙНОЙ ВЕЛИЧИНЫ

Слайд 2 6.1. Основные понятия Математическая статистика занимается статистическим анализом результатов опытов или