Игровые методы принятия решений

ПР

предприятие и принимаются решения, но и действия противников или других

но и с теми целями, которые ставят перед собой его

ситуаций

команды,
конкурирующие фирмы,
биологические виды в борьбе за существование,
борьба

построить упрощенную, схематизированную модель ситуации.
Такую модель принято называть игрой.

ситуациях:
большинство проблем в экономических и социальных науках (стратегическое поведение,

о том,
кто и как в этом конфликте участвует,
каковы

коалиции действий, xi ∈ Ωi

S=(x1,x2,…,xn) - исход

каждая из коалиций предпочитает одни исходы другим -

если fК(A)>fК(B)

– игра нестратегическая (неопределенности природы),
3) Kd ≥ 2

по количеству стратегий –
конечные и бесконечные;
по характеру

игра – конечная игра двух лиц с нулевой суммой, или

ход xi, а 2-ой игрок – ход yj,
т.е. в

–
выиграть как можно больше,

оценить результат,
т.е. выигрыш первого игрока

ситуации равновесия,
то второму игроку невыгодно отступать

- выигрыш 2-го игрока

тогда
f1(x,y*) ≤ f1(x*,y*)

f2(x*,y) ≤ f2(x*,y*)

*(-1):

-f2(x*,y) ≥ -f2(x*,y*), но
f1(x,y) = -f2(x,y),

f1(x*,y) ≥ f1(x*,y*)

f1(x,y*) ≤ f1

игрока минимален по y и максимален по x:

гарантированный результат
1-го

y x
гарантированный результат
2-го игрока

нижняя цена игры,
ν2= –

или



≤

≤

- по свойству с.р.
Но если

максимум этой функции ограничен ею же



ч.т.д.

fij

Если ν1= ν2 -

несколько, причем цена игры в каждой одинакова

описываемой седловой точкой,
т.к. только ситуации равновесия

Неймана гарантирует,
что каждая антагонистическая игра имеет
оптимальные

=6.
ν∈ [4;6]
ν – цена

точки свои ходы надо тщательно скрывать.
Однако интервал

чтобы стратегию выбирать случайно –
не на основании

чистые стратегии игрока.
Это сложная стратегия, состоящая

- смешанная

или вероятностное распределение
на множестве чистых стратегий
Р = (р1, р2, …, рm),
причем ∑ pi=1.

…, qn),

∑ qj=1.

тактика,
при которой противник не знает и не может

смешанной:
например, х1=Р(1,0,…,0).

седловая точка, то найти решение игры в чистых стратегиях.
Если седловой

смешанных стратегиях:
P=(p1,p2) - для первого игрока и
Q=(q1,q2) –

первую стратегию
х1 с вероятностью р1,

второго игрока
Перепишем матрицу игры
в следующем

(а11-а21-а12+а22)⋅q1+(a12-а22)=0.
Отсюда
q1=-(a12-а22)/(а11-а21-а12+а22).
Подставляя это значение

первой стратегии второго

для второго игрока:
6q1+2q2=ν
4q1+8q2=ν

–

Поскольку цена игры уже известна, то достаточно написать только одно

ν =5.

аналогично,

Если один из игроков
имеет 2

стратегии,
у второго игрока - n стратегий.

p2=1-p1
ν1=a11

p1
p2

зависимость
среднего выигрыша 1-го игрока
от вероятности р1

i

нижнюю границу среднего выигрыша
при любой

стратегии,
а ордината равна цене игры

=1,
=3
Решаем ее с точки

ν1=2р1+4р2=2р1+4(1-р1)=4-2р1 ν2=3р1+р2=1+2р1
ν3= р1+6р2=6-5р1
ν4=5р1+0р2=5р1

p1
p2

1

ν

Решение игры

(р1*, ν)∈ ν3∩ν2.

т.к. не используются в смешанной стратегии.
Тогда смешанную

у 2-го игрока – 2 стратегии

Матрица

т.е. второго.
Р= (р1,…, рm) – смешанная стратегия 1-го игрока
Q=

am2)q1

q1 q2

2-го игрока,
отмечаем верхнюю границу и выбираем на ней

будут те, которые соответствуют прямым, образующим точку пересечения (q1,ν).

ν2=2 q1+5q2= 5-3q1,
ν3=3q1+4q2=4-q1

(q1*, ν) ∈ ν1∩ν3 ⇒

0 1 q1

5
4
3
2
1

q1*=

ν= 2+2*2/3=10/3

P=(1/3; 0; 2/3).
А=

2-го игрока

Р=(р1, р2, …, рm) и Q=(q1, q2, …, qn)

Она должна обеспечить выигрыш
≥ν при любой стратегии противника

все элементы матрицы aij >0.
В противном

следовательно, 1/ν принимает минимальное значение.

только второй игрок стремится не максимизировать, а минимизировать свой проигрыш

Требуется так выбрать переменные yj, чтобы максимизировать функцию

aij= - aji

того, если х – оптимальная стратегия первого игрока,

По теореме ν=0;

Р1
Р2
Р3

→ р2=2р3
р1 -3р3=0

2р3 +3р3 +р3=1
6р3=1; р3=1/6; р2=1/3; р1=1/2

P=Q=(1/2; 1/3; 1/6)

применяют друг против друга свои стратегии:
1-ый – xi, 2-ой -

Иногда конфликт должен быть разрешен всего за

современным оборудованием
ведение боевых действий с применением разных стратегий и т.д.

потенциала системы («тактических»)
оптимальные смешанные стратегии реализуются путем

случайный подбор технических показателей недопустим.
Физическая смесь стратегий предполагает реализацию сразу

долгосрочные мероприятия, требующие значительных затрат

пользования, который может быть оснащен ЭВМ 4-х типов.
На обработку принимаются

используемой ЭВМ, сложности и объема вычислений и т.д.

средств от заказчика за счет ускорения обработки заказов и применения

ТМО

личные стратегические возможности ЛПР (1-ый игрок)
при полном

с числом сторон >2.
Интересы сторон даже с двумя участниками не

{хi}m=Х
2-ой игрок: {yj}n=Y

A={aij} – выигрыш 1-го
B={bij} –

средний выигрыш (матрица А) должен быть больше или равен среднему

i j
n
∑qj=1,

,

m n

B=

для сторон пока отсутствуют

В=

цель которого – тоже выиграть как можно больше!
Это равносильно

(нет влияния сторон друг на друга)


Возможность действовать самостоятельно, независимо

на выигрыш другого

одну ситуацию равновесия.
Равновесный по Нэшу результат не меньше,

игры
с целью
установления
таких ситуаций

y1 y2
x1
x2
1 –

Стрелка направляется на более предпочтительную альтернативу при фиксированной стратегии конкурента

выпуск на прежнем уровне;
2 – существенное сокращение выпуска

А. Действенных мер

сторон не пойдет на сокращение выпуска продукции

за нарушение договоренностей)
(3;3) (7;0)

(0;7)

х1
х2

y1 y2

Игра с предпочтениями:
смешанные стратегии не применяются

никакое кооперирование не допускается.

Если равновесный по Нэшу

между участниками, поэтому модели, допускающие возможность кооперирования, более предпочтительны

от одного игрока к другому
Принцип групповой рациональности

результат, ниже которого игрок не согласится получить ни при каких

одних значений частных компонентов за счет увеличения других

он может исследовать свои стратегические возможности
по применению

альтернатива поведения:
склонить противника к мысли, что ему выгоднее пойти на

(изменение состояния объекта)
психологическим воздействием на субъекта, которому угрожают (изменяется мнение

х2
Тогда 2-ой будет угрожать y1
(ν1’, ν2’) – результаты угроз
Ситуация угрозы

N-E

ν1

ν2

(ν1’, ν2’)

φ(ν1,ν2)=[ν1-(-3)][(5- ν1)-(-1)]=- (ν1)↑2+3 ν1+18

ν1+ν2=5

ν’1=1,5; ν’2=3,5

прикладных проблем, в частности, проблем АСОиУ

деятельности сложных систем, стремящихся к совершенствованию