Импульсные сигналы и переходные процессы. Общие сведения об импульсных сигналах

цепях наряду с непрерывными сигналами, которые описываются непрерывными функциями времени,

часто применяются и импульсные сигналы. Они существуют не на всей временной оси, и их величина не произвольна.
Названия импульсным сигналам дают в соответствии с их формой.
Основными простейшими импульсными сигналами являются сигналы, представленные на рис. 6.1:
1 – положительный перепад амплитуды Е;
2 – отрицательный перепад амплитуды Е, задержанный на tu;
3 – одиночный прямоугольный импульс, есть сумма двух предыдущих сигналов.
Кроме перечисленных сигналов в импульсной технике широко применяются сигналы, показанные на рис. 6.2:
1 – треугольный импульс,
2 – пилообразный импульс,
3 – экспоненциальный импульс.

называют отклик y(t)= h(t) (выходной сигнал) цепи на единичное ступенчатое

воздействие x(t)=1(t) напряжения или тока, при нулевых начальных условиях (рис.1.3).
Если ступенчатое воздействие имеет амплитуду Х0,
то переходная характеристика находится из соотношения (1.1)
Вид переходной характеристики цепи зависит от переходного процесса в цепи.

2. Импульсная характеристика g(t)– это отклик цепи на воздействие сигнала в виде дельта-функции δ(t) при нулевых начальных условиях.
Связь между импульсной и переходной характеристикой:

режимами в электрических цепях наблюдаются переходные процессы. В установившемся режиме

параметры токов и напряжений постоянны во времени.
Переходным процессом (режимом) называется процесс изменения токов и напряжений в цепи при ее переходе от одного установившегося режима к другому. Переходные процессы в цепи возникают при её коммутации.
Коммутацией принято называть мгновенное изменение схемы соединения или параметров элементов электрической цепи. Принято считать, что коммутация происходит мгновенно, в момент времени t=0, с помощью идеального ключа (рис. 4.1.1) или ступенчатого сигнала. Ключ это двухполюсник с двумя состояними с сопротивлением: 0 –ключ замкнут и ∞ - ключ разомкнут
Переходные процессы возникают в цепях, содержащих энергоемкие элементы (индуктивные и емкостные элементы), и обусловлены тем, что энергия магнитного и электрического полей не может изменяться мгновенно т.к. в этом случае создается бесконечная мощность.
В резистивных цепях переходные процессы протекаю мгновенно.
В основе анализа переходных процессов лежат законы коммутации.

коммутации: в начальный момент времени после коммутации (при t=+0), ток

через индуктивность сохраняет такое же значение, как и перед коммутацией (при t= -0 ), т.е.:


Второй закон коммутации: в начальный момент времени после коммутации (при t= +0), напряжение на емкости сохраняет такое же значение, как и перед коммутацией (при t= -0), т.е.:


.: .
Характер переходного процесса зависит от числа реактивных элементов, от формы токов и напряжений источников, от схемы цепи, от начальных условий и от анализируемой величины (ток или напряжение).

элементах схемы непосредственно в момент коммутации.

Начальные условия могут быть независимыми

или зависимыми.

Независимыми называют начальные условия, подчиняющиеся законам коммутации. Это напряжение на емкости uc(0) и ток индуктивности iL(0) в момент коммутации. Если в момент коммутации они (=0) равны нулю, то начальные условия называют нулевыми. В противном случае – ненулевыми.

Остальные начальные условия: напряжение и ток в ветви с сопротивлением uR(0)   и    iR(0), напряжение на индуктивности uL(0) , ток в ветви с емкостью iC(0) - это зависимые начальные условия. Они не подчиняются законам коммутации и могут изменяться скачком.

тока, а емкостной элемент - источнику напряжения (рис.1.1.). При нулевых

начальных условиях индуктивный элемент эквивалентен разрыву цепи (холостой ход - ХХ), а емкостной элемент - короткому замыканию (КЗ).

При постоянном токе, когда t= - 0 и t=∞, т.к. ω=0, индуктивность эквивалентна КЗ, а емкость – ХХ (рис.1.2),.

Рис. 1.1. Эквивалентные схемы реактивных элементов при t=+0 (ω→∞).

Рис.1.2. Эквивалентные схемы реактивных элементов L и C по постоянному току

заключается в отыскании отклика при известном входном сигнале (воздействии).
При импульсном

воздействии x(t) – произвольная функция времени.
При произвольном входном сигнале основными методами анализа цепей являются:
1) классический метод;
2) спектральный метод;
3) операторный метод;
4) временной (метод интеграла Дюамеля).
Расчет переходной характеристики есть частный случай расчета переходного процесса

простых цепях проводят классическим методом. Он обладает физической наглядностью. Для

анализа сложных цепей применяют операторный метод..
1. Переходные процессы в электрических цепях описываются уравнениями, составленными на основании законов Кирхгофа для мгновенных значений напряжения и тока для состояния цепи после коммутации. Для простых цепей эту систему уравнений можно исключением переменных свести к одному в общем случае неоднородному дифференциальному уравнению относительно какой-либо величины.
                  (4.4.1)
где  an, ., a0 – постоянные коэффициенты; t – время; f(t) – внешнее воздействие (ЭДС, ток); y – искомая функция (ток, напряжение, заряд и пр.); n – порядок уравнения (цепи) обычно равен числу реактивных элементов в схеме.
В качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на ёмкости.
2. Общее решение линейного дифференциального уравнения при расчете классическим методом. состоит их двух составляющих y(t) = y1(t) + y2(t), (4.4.3)
где y2(t) – это частное решение неоднородного уравнения, оно зависит от источников и полученные при этом токи и напряжения называют установившимися или принужденными. Частое решение находят в стационарном режиме в послекоммутационной цепи, когда переходной процесс закончен , т.е. когда t  .

y1(t) – общее решение однородного линейного дифференциального уравнения, когда f = 0. Это решение не зависит от воздействия (x) и называется свободной составляющей общего решения. Оно известно и равно:


где pi – корни характеристического уравнения, Ai – постоянные интегрирования.
3. Находят вынужденную составляющую, по схеме замещения когда t  .

4. Корни pi находят из решения характеристического уравнения:
5. Постоянные интегрирования Ai уравнений для свободных составляющих определяют из начальных условий, используя два закона коммутации: - для индуктивности и - для емкости, по схеме замещения при t 0.
6. Проводят анализ корней и записывают общее решение.

процесса в цепи классическим методом:
1. Найти независимые начальные условия, то

есть, напряжения на ёмкостях и токи на индуктивностях в момент начала переходного процесса Uc(-0) и IL(-0).

2. Составить систему уравнений на основе законов Кирхгофа, Ома, электромагнитной индукции и т.д., описывающих состояние цепи после коммутации, и методом исключением переменных получить одно дифференциальное уравнение, в общем случае неоднородное относительно искомого тока i или напряжения u. Для простых цепей получается дифференциальное уравнение первого или второго порядка, в котором в качестве искомой величины выбирают либо ток в индуктивном элементе, либо напряжение на емкостном элементе.

3. Составить общее решение полученного неоднородного дифференциального уравнения цепи в виде суммы частного решения неоднородного дифференциального уравнения и общего решения соответствующего однородного дифференциального уравнения.

4. Найти для общего решении постоянные интегрирования из начальных условий, т. е. условий в цепи в начальный момент времени после коммутации.
Применительно к электрическим цепям в качестве частного решения неоднородного дифференциального уравнения выбирают установившийся режим в рассматриваемой цепи (если он существует), т. е. постоянные токи и напряжения, если в цепи действуют источники постоянных ЭДС и токов, или синусоидальные напряжения и токи при действии источников синусоидальных ЭДС и токов. Токи и напряжения установившегося режима называют установившимися.
Общее решение однородного дифференциального уравнения описывает процесс в цепи без источников ЭДС и тока, который поэтому называют свободным процессом. Токи и напряжения свободного процесса называют свободными, а их выражения должны содержать постоянные интегрирования, число которых равно порядку однородного уравнения.

входной сигнал может быть представлен спектром. Сигнал имеет спектр, когда

он обладает конечной энергией, т.е. удовлетворяет условию:

Этапы применения метода (рис. 6.3):
1) по известному сигналу находится его спектр:
– прямое преобразование Фурье;


2) по известной схеме электрической цепи
определяется ее частотная передаточная характеристика:
;
3) находится спектральная плотность выходного сигнала:

;
4) по известному спектру выходного сигнала находится сам выходной сигнал
.

любых входных сигналах. Метод основан на том, что функции s(t)

 вещественной переменной t, которую называют оригиналом, ставится в соответствие функция F(p) комплексной переменной p = α + j, которую называют изображением. В результате этого производные и интегралы от оригиналов заменяются алгебраическими функциями от соответствующих изображений (дифференцирование заменяется умножением на оператор р, а интегрирование – делением на него), что, в свою очередь, определяет переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе алгебраических уравнений относительно изображений искомых переменных. Соответствие между изображением F(p) и оригиналом s(t) в сокращенной записи обозначается: F(p) = s(t) или F(p) = L{s(t)}.
Порядок расчета переходных характеристик заключается в следующем (рис. 6.4):
1) находим операторное представление входного сигнала:

– прямое преобразование Лапласа;

2) находим операторную передаточную функцию цепи:

;
3) находим операторное представление отклика:

;
4) с помощью обратного преобразования Лапласа находим отклик цепи:
.

начальных условиях при произвольном входном сигнале и известной переходной (импульсной)

характеристике цепи h(t) (рис. 6.8).
Произвольный импульсный сигнал x(t) (рис. 6.9) заменим совокупностью элементарных ступенчатых сигналов с амплитудами ∆х, возникающими в моменты времени τк со сдвигом по времени на .









где х'(τк) – производная от сигнала в момент времени τк, она равна тангенсу угла наклона сигнала в момент времени τк. Тогда отклик на элементарный ступенчатый сигнал .

Используя принцип суперпозиции и переходя к пределу суммы при Δτ→0 (Δτ = dτ), можно записать


.
Последнее выражение и называется интегралом Дюамеля. Оно позволяет получить отклик на заданное воздействие в любой момент времени t после коммутации. Интегрирование ведется по τ – текущее время (0 < τ < t), причем выражения х'(τ) и h(t – τ) получают из выражений для х(t) и h(t) путем замены t на τ и t – τ.

.

Как следует из рис. 6.9, х0 – амплитуда нулевого ступенчатого сигнала.
Тогда отклик на него .
х– амплитуда элементарного ступенчатого сигнала ,

РИИТ
(кафедра Радиоэлектроники и информационно-измерительной техники)


Электротехника и электроника