Интеграл. Определенный интеграл. Свойства. Примеры. Применение определенного

длин, площадей и объемов»
Выполнила:
Студентка 10 группы, 1 курса
Котельникова Анна

которое возникает при решении задач о нахождении площади под кривой,

отрезке [a,b], вычисляется по формуле:

где, F(x) – первообразная для

2. Постоянный множитель можно выносить за знак определенного интеграла:
Свойства

5. (теорема о среднем). Если функция y=f(x) непрерывна на отрезке

3. Определенный интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:

– какая-либо ее первообразная на этом отрезке, то справедлива следующая

которая называется формулой Ньютона-Лейбница. Разность F(b) – F(a) принято записывать следующим образом:

где символ называется знаком двойной подстановки.
Таким образом, формулу (2) можно записать в виде:

(2)

Формула Ньютона - Лейбница

первообразная имеет вид
Так как в формуле Ньютона – Лейбница

t[t1,t2] – параметрические уравнения гладкой кривой, то длина ее дуги

где x(t) и y(t) - производные функции x(t) и y(t) соответственно, по параметру t.

Существует аналогичная формула для длины дуги пространственной гладкой кривой.
x=x(t), y=y(t)z=z(t), t [t1,t2] :

отрезком [a,b] оси Ох, отрезками прямых x=a, x=b и графиком

перпендикулярными к оси Ox плоскостями, проходящими через точки x= a

Где S(x) – площадь сечения тела плоскостью, которая проходит через точку и перпендикулярна к оси Ox.

Пример. Вычислить объем тела, образованного вращением вокруг оси Ox одной полуволны синусоиды y=sinx

Решение: Воспользуемся формулой для вычисления объема тела вращения получаем
далее вычисляется определенный интеграл: