Кафедра Управления и информационно-технического обеспечения деятельности

доцент
САМАРА 2014
ДИСЦИПЛИНА: «ИНФОРМАТИКА И ИНФОРМАЦИОННЫЕ ТЕХНОЛОГИИ В ПРОФЕССИОНАЛЬНОЙ ДЕЯТЕЛЬНОСТИ»
Тема

№ 14
«Основы теории вероятностей»

Л Е К Ц И Я

Теоремы сложения и умножения вероятностей

геометрическая вероятности
3.1.1. Случайные события. Операции над событиями

умножения вероятностей. Условная вероятность
3.2.3. Формула полной вероятности.
Формула Байеса

в основе массовых случайных событий лежат детерминированные закономерности, теория вероятностей

изучает эти закономерности.
Математическая статистика это наука изучающая методы обработки результатов наблюдения массовых случайных явлений, обладающих статистической устойчивостью, с целью выявления этих закономерностей

подсчет всех возможных комбинаций составленных по некоторому правилу, называются комбинаторными.

Раздел математики занимающийся их решением называется комбинаторикой.

действий при чем 1 действие можно выполнить а1 способами, 2

действие – а2 способами, и так до K-го действия, которое можно выполнить ак способами, то все K действий вместе могут быть выполнены а1 · а2 · а3 …ак способами.

чем одно из них можно выполнить m способами, а другое

– n способами, то выполнить одно любое из этих действий можно m+n способами.

Это правило легко распространить на любое конечное число действий

равно
Размещением из n элементов по m называется любое упорядоченное

подмножество из m элементов множества, состоящего из n различных элементов

Пример задачи

фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни одна

страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

2) Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

назад

которое входят по одному разу все n различных элементов данного

множества

Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!

Пример задачи

7,3,5; 7,5,3
2) Сколькими способами можно расставить деcять различных книг на

полке, чтобы определенные четыре книги стояли рядом?

назад

из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных

элементов

Теорема: Число сочетаний из n элементов по m равно

Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

Пример задачи

можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были

3 черных ?
Решение: среди выбранных шаров 4 белых и 3 черных.

Способов выбора былых шаров

Способов выбора черных шаров

По правилу умножения искомое число способов равно

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй-
не более 9 человек ?

Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:

Подгруппа из 3 человек

Подгруппа из 4 человек

Подгруппа из 5 человек

назад

в результате осуществления какого-либо определенного комплекса условий. Осуществление комплекса условий

называется опытом или испытанием. Событие- результат испытания.
Случайным событием называется событие, которое может произойти или не произойти в результате некоторого испытания (при бросании монеты может выпасть орел , а может и не выпасть).
Достоверным событием называется событие, которое обязательно произойдет в результате испытания (извлечение белого шарика из ящика с белыми шарами).
Невозможным считается событие, которое не может произойти в результате данного испытания (извлечение черного шарика из ящика с белыми шарами).

далее

события А влечет за собой появление события В.
События А и

В называются не совместными, если в результате данного испытания появление одного из них исключает появление другого (испытание: стрельба по мишени ; А-выбивание четного числа очков; В- не четного).
События А и В называются совместным, если в результате данного испытания появление одного из них не исключает появление другого (А- в аудиторию вошел учитель; В- вошел студент).

назад

далее

если не появление одного из них в результате испытания

влечет появление другого( отрицание А).
Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.
События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое (А-орел; В-решка).

назад

далее

хотя бы одного из них в результате испытания.
Пример: в

ящике находится красный, черный и белый шары.
А - извлечение черного шара
В - извлечение красного шара
С - извлечение белого шара
А+В – извлечен черный или красный шар
В+С – извлечен красный или белый шар
А+С – извлечен черный или белый шар

назад

далее

наступлении всех этих событий в результате испытания.

Пример:

происходят следующие события:
А- из колоды карт вынута ”дама”
В- вынута карта пиковой масти
А∙В – событие – вынута карта “дама пик”

назад

возможности его появления. Если имеется полная группа попарно несовместных и

равновозможных событий, то вероятность Р(А) наступления события А вычисляется как отношение числа исходов, благоприятствующих наступлению события, к числу всех исходов испытания.

N – число всех исходов испытания
М – число исходов благоприятствующих событию А

Свойство вероятности:
1) Вероятность достоверного события равна 1

2) Вероятность невозможного события равна 0

3) Вероятность события А удовлетворяет двойному неравенству

Пример задачи

1 шар , какова вероятность что шар будет белым, черным

?
N=10; М=6; А- Извлечение белого шара
N=10; М=4; А- Извлечение черного шара

2) В ящике 10 шаров 2 черных, 4 белых, 4 красных, извлекают 1 шар. Какова вероятность, что он:
А- черный; В- белый; С- красный; D- зеленый

N=10; М=2

N=10; М=4

N=10; М=0

N=10; М=4

назад

отношение М/N, где N - число опытов; М - число

появления события. Было замечено , что при многократном повторении опытов относительная частота появления события в этих опытах стремится к устойчивости. При увеличении опытов относительная частота появления события будет практически сколь угодно мало отличаться от некоторого постоянного числа, которое и принимается за вероятность события в отдельном опыте. Относительную частоту появления события называют статистической вероятностью. Относительную частоту при достаточно большем числе опытов , можно считать приближенным значению вероятности.
Геометрической вероятностью события называется отношение меры области, благоприятствующей появлению события , к мере всей области.

равна сумме вероятностей этих событий:

Р(А+В)=Р(А)+Р(В)
Вероятность появления одного из нескольких попарно несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий:

Сумма вероятностей попарно несовместных
событий, образующих полную группу, равна 1.

далее

Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий

равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного наступления:

назад

называется вероятность события В, вычисленная

в предположении, что событие А уже наступило.
Вероятность совместного появления двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, вычисленную в предположении, что первое событие уже наступило:

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

далее

из них на условные вероятности всех остальных, причем условная вероятность

каждого последующего события вычисляется в предположении, что все предыдущие уже наступили:
Р(А1А2А3…Аn)=Р(А1)РА1(А2)РА1А2(А3)…РА1А2А3 …Аn-1(Аn);
РА1А2А3…Аn-1(Аn) – вероятность появления события Аn , вычисленная в предположении, что события А1А2А3…Аn-1 произошли

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

назад

только при условии появления одного из событий H1, H2, H3,…,Hn

, образующих полную группу попарно несовместных событий, равна сумме произведений вероятностей каждого из событий H1, H2, H3,…,Hn на соответствующую условную вероятность события А :

Формула полной вероятности

далее

образуют полную группу событий и при наступлении каждого из них

Вi событие А может наступать с некоторой условной вероятностью

Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А

Сколько бы не было вероятностей:

назад

далее

при условии появления одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn

, которые образуют полную группу событий. Если событие А уже произошло то вероятность событий может быть переоценена по формуле Байеса, формуле вероятности гипотез:

назад

из которых вероятность появления события равна Р , Р(0

событие наступит К раз безразлично в какой последовательности, вычисляется по формуле Бернулли

q=1-p ; q- вероятность противоположного события

или

нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая

асимптотическую формулу , позволяет вычислить вероятность приближенно.
Теорема: Если вероятность наступления события А в каждом из n независимых испытаниях равна p и отлична от нуля и единицы, а число испытаний достаточно велико, то вероятность Рn(m) того, что в n испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна значению функции

далее

к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема:
Если

вероятность р наступления события А в каждом испытании постоянна, но близка к нулю, число независимых испытаний n достаточно велико, а произведение np= , то вероятность Рn(m) того, что в n независимых испытаниях событие А наступит m раз, приближенно равна

назад

4 фотографии. Сколькими способами это можно сделать , если ни

одна страница газеты не должна содержать более одной фотографии ?

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

назад