КИЇВСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ТАРАСА ШЕВЧЕНКА ФАКУЛЬТЕТ ВІЙСЬКОВОЇ

заняття:
завідувач кафедри, кандидат технічних наук, доцент підполковник запасу ГЛУХОВ Сергій

Іванович

2016 р.

забезпечення. Заняття №1. Основні поняття і визначення теорії ймовірностей.

2. Вивчити характеристики випадкових величин.

ВИХОВНА МЕТА:
1. Виховувати у студентів культуру

поведінки.
2. Виховувати студентів у дусі патріотизму.

….....................................70 хв.

1. Основні поняття і визначення теорії ймовірностей ….....................................

25 хв.
2. Основні властивості ймовірноcтей .........25 хв.
3. Випадкові величини. Дискретні і безперервні випадкові величини...........................................20 хв.

III. Заключна частина .......................................5 хв.

вимірювань, виборі засобів вимірювань по точності, визначенні законів розподілу похибок

вимірювань і та інші.
Теорія ймовірностей вивчає загальні закономірності в масових випадках явищах незалежно від їх конкретної природи і дає методи кількісної оцінки впливу випадкових чинників на різні явища. Методи теорії ймовірностей пристосовані для дослідження масових випадкових, передбачених явищ, які відбуваються багаторазово при незмінних основних умовах. Вони дають можливість передбачити середній результат маси однорідних випадкових явищ.

відбуваються в природі, важливо встановити можливі зв’язки між явищами-причинами і

явищами-наслідками.
При цьому експериментально відтворюють явища-причини і шляхом спостереження за явищами-наслідками встановлюють результат.
В теорії ймовірностей будь-який фізичний процес, в ході якого здійснюється реалізація явищ-причин, називається випробуванням або дослідом.

називається подією.
Подія, яка в даному випробуванні (досліді) здійснюється обов’язково,

називається достовірною подією. Наприклад, наявність похибки в результаті вимірювання.
Неможлива подія – подія, яка в даному досліді не може здійснитись. Наприклад, вимірювання без похибки.
Випадкова подія – подія, яка в даному досліді може виникнути, або не виникнути. Наприклад, перевершення похибки вимірювання заздалегідь встановленого значення.
Повна група подій – сукупність таких подій, з яких хоча б одна повинна здійснитись в результаті досліду.

здійснення двох подій разом.
Несумісні події – такі події в даному

досліді, коли ніякі дві з них не можуть здійснитись разом.
Протилежні події – дві несумісні події, які створюють повну групу.
Рівноможливі події – такі події в даному досліді, коли немає підстави важати яке з них більш можливе, ніж будь-яке інше.

класичне і статистичне.
Класичне визначення ймовірності засноване на рівній (однаковій) можливості

наслідків випробувань.
Ймовірність Р (А) події А – це відношення числа m випадків сприятливих появі події А, до загальної кількості рівноможливих випадків n:

(1)

Однак в теорії ймовірностей застосовується таке поняття як частота появи даної події Р*(А).
Відносною частотою події називається відношення числа випробувань m, в яких подія А здійснилась, до загальної кількості проведених випробувань:

(2)

Відносну частоту Р*(А) називають частістю події А в n дослідах, а також статистичною ймовірністю.

випадок – випадок, поява якого тягне за собою появу події.
Однорідні

події – події, які здійснюються при одних і тих же умовах, при одному і тому ж комплексі чинників.
Кількісною характеристикою можливості появи однорідної події в тих, або інших умовах, які можуть повторюватись необмежену кількість разів, є ймовірність події. Ймовірність події дозволяє кількісно порівняти між собою події за ступенем можливості їх появи. Вона (ймовірність) – це число, яке тим більше, чим більша можливість появи даної події.

однорідних незалежних випробувань з практичною достовірністю можна стверджувати, що частість

події буде мало відрізнятись від її ймовірності в окремому випробуванні, тобто при:
(3)

Ймовірність здійснення події А при умові, що здійснилась подія В, називається умовною ймовірністю події А і позначається:

(4)

де зліва від дробової риски позначення події, ймовірність якої обчислюється, а справа - позначення події, яка за умовою мала місце.

чи ні інша подія, то такі події називаються незалежними.

Сумою декількох

подій називається подія, яка складається в появі хоча б однієї з цих подій.

Добутком декількох подій називається подія, яка складається в сумісній появі всіх цих подій.

величини безрозмірні.
2. Ймовірність достовірної події дорівнює одиниці, тобто при кожному

випробуванні дана подія здійснюється, таким чином m = n і частість дорівнює:

і (5)
3. Ймовірність довільної випадкової події є додатне число, яке не перевершує одиниці. Діапазон зміни частості і ймовірності випадкової події визначається виразом:

і (6)
4. Ймовірність неможливої події дорівнює нулю, т.б.т m=0, і, слід:
і (7)

А1, А2, …, Аn визначається за формулою:
6. Ймовірність суми

n несумісних подій А1, А2, ….,Аn визначається за допомогою формули:

тобто ймовірність суми несумісних подій дорівнює сумі ймовірностей цих подій.

Якщо несумісні події А1, А2, … ,Аn створюють повну групу, то

(10)

(9)

(8)

(11)

7. Теорема множення ймовірностей. Ймовірність добутку n залежних подій А1, А2, … Аn дорівнює добутку ймовірностей цих подій. При цьому ймовірність наступної за порядком події обчислюється при умові, що всі попередні мали місце:
(12)
ймовірність добутку n незалежних подій А, А, …. ,Аn дорівнює добутку ймовірностей цих подій:
(13)
Із останньої формули слідує, що ймовірність добутку двох залежних подій А і В дорівнює добутку ймовірності одного з них на умовну ймовірність іншого, обчисленого при умові, що перше мало місце:
Якщо події А і В незалежні, то
(14)
; (15)
(16)

– протилежні події, то їх сума дорівнює одиниці:

Якщо А і

ймовірність наслідку кожного з дослідів не залежить від того, які

наслідки мали інші досліди:

Висновок: в даному питанні розглянуті основні властивості ймовірностей, які далі будуть використовуватись при розгляді законів розподілу випадкових величин.

(17)

події нерідко зручніше, ніж застосування випадкових подій.
Випадкові величини (ВВ) –

будь-яка кількісна характеристика досліду, яка в його результаті може приймати одне або інше значення, причому наперед невідомо, яке саме. Значення, які приймає випадкова величина в результаті досліду, називають її можливими значеннями.
Для позначення випадкових величин застосовують прописні літери латинського алфавіту: X, Y, Z ….. , а для її можливих значень – строкові: x, y, z… Запис Х= хі означає, що в результаті і-го досліду випадкова величина Х набула конкретного значення хі.

перерахувати. Дискретна ВВ Х може набувати тільки кінцеву і рахункову

множину можливих значень і ймовірність кожного з них відмінна від нуля.
Неперервна випадкова величина Х, яка набуває будь-які значення з деякого інтервалу. Можливі значення такої ВВ безперервно заповнюють деякий інтервал і їх неможливо перерахувати наперед.

Висновок: Випадкові величини можуть бути дискретними і безперервними. Значення дискретної ВВ можуть бути перераховані. Значення безперервної ВВ заповнюють деякий інтервал. Випадкові похибки вимірювань відносяться до безперервних випадкових величин.