Классическая электродинамика

– необходимо изучить классическую электродинамику (классическое электромагнитное поле)
Электромагнитное поле:
что

такое электромагнитное поле;
как оно генерируется;
как распространяется в вакууме и в веществе;
как отражается и поглощается;
какова квантовая природа электромагнитного поля;
каковы специфические свойства квантового электромагнитного поля;
наконец, как использовать ЭМ в различных приложениях

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2010

в пустом пространстве (вакууме)
Дж.Максвелл (1831-1879)
Все электрические и магнитные явления, открытые

экспериментально, могут быть описаны единым образом, если ввести понятие электромагнитного поля
Дж. Максвелл

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2010

классическая механика – описывает точечные объекты, состояния описываются набором координат

и импульсов

Эволюция точечных объектов описывается уравнением Ньютона:

квантовая механика – описывает дуальные объекты, состояния описываются уже не координатами и импульсами (они одновременно, согласно принципу неопределенности Гейзенберга, не существуют), а волновой функцией

Эволюция дуальных объектов описывается уравнением Шредингера:

ИНФОРМАЦИЯ К РАЗМЫШЛЕНИЮ

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

которые определяют непрерывное изменение в пространстве и во времени различных

гидродинамических величина (мы это изучали ранее). Поле, по своему определению, это непрерывно изменяющееся в пространстве и во времени поведение некоторых величин, удобных для описания такого объекта.
Теперь мы обратимся к полям иной природы – электромагнитным
Состояние электромагнитного поля характеризуется заданием его векторных характеристик – напряженностей электрического и магнитного полей.

Электродинамика – наука о поведении в пространстве и времени электромагнитных полей, которые описываются векторными функциями

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

ФОТОНИКА

интегральных характеристики этого поля поток вектора и его циркуляция (в

каждой точке пространства):

Покажем, что по потоку и циркуляции можно восстановить и само поле. Пусть - известная функция координат, тогда, согласно теореме Гаусса-Остроградского:

Отсюда, поскольку объем интегрирования произволен, имеем:

Таким образом, задание потока вектора через замкнутую поверхность в каждой точке пространства эквивалентно заданию дивергенции этого вектора.

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

ФОТОНИКА

- известная векторная функция координат
Оператор набла
Способы

интегрирования

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

системе СИ (МКСА)
Соотношения между системами единиц:
ФОТОНИКА
© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

потенциалы
Вернемся к уравнениям ЭМ поля в вакууме и введем другое

представление, удобное в некоторых случаях – потенциалы ЭМ поля ( в гауссовой системе).
Вектор магнитного поля всегда соленоидален – его дивергенция равна нулю, откуда можно записать

Вектор носит название вектора-потенциала, который является функцией координат и времени. Подставляя в уравнение Максвелла

получим:

Таким образом, вектор под операцией rot является потенциальным вектором, т.е. может быть представлен в виде скалярного потенциала:

не может быть представлен в виде градиента потенциала, поскольку имеет

и вихревую составляющую. Отсюда электрическое поле – можно записать в виде суммы скалярного и векторного потенциала:

Электрическое поле определено двумя функциями, поэтому, используя другие уравнения Максвелла получим:

Используя приведенные выше соотношения для оператора набла, имеем

Или для вектора-потенциала

Для скалярного потенциала

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

и rot, необходимо найти соотношение для дивергенции вектора-потенциала.
Введем так называемое

условие (калибровку) Лоренца:

Отсюда сразу получаем независимые уравнения для вектора-потенциала и скалярного потенциала:

Полученные уравнения для потенциалов совершенно эквивалентны исходным уравнениям Максвелла. Если заданы распределения плотности заряда и плотности тока, удовлетворяющие закону сохранения заряда

то интегрирование уравнений (со звездочками) позволяет найти вектор-потенциал м скалярный потенциал, а следовательно, электрическое и магнитное поля

решение которого можно получить в общем случае (аналогично, и для

вектора-потенциала).
В частных случаях, если правая часть равна нулю (нет свободных зарядов), получаем волновое уравнение:

Если потенциала не зависит от времени (электростатика), имеем уравнение Пуассона для распределения потенциала:

Уравнения для потенциалов существенно проще, чем исходные уравнения Максвелла – это основной метод нахождения электромагнитных полей !!!

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

поля, заряды и токи
Найдем работу, которую производит ЭМ над зарядами

и токами. Пусть заряды и токи непрерывно распределены в объеме, тогда изменение работы со временем есть:

S

Работа магнитного поля равна нулю – магнитная сила перпендикулярна скорости частиц (токам). Используя уравнения Максвелла, можно записать

Но

V

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

временем в некотором объеме равна работе сил поля и потоку

через поверхность:

Изменение энергии поля

Поток через поверхность

Работа сил поля

Понятно, что поток через поверхность можно интерпретировать как поток энергии ЭМ поля. Заметим, что он отличен от нуля, даже если заряженные частицы и токи не пересекают этой поверхности! Отсюда можно ввести вектор

- вектор Пойнтинга

Вектор Пойнтинга – поток энергии ЭМ поля через единичную поверхность; он перпендикулярен векторам электрического и магнитного поля и образует с ними правовинтовую систему координат

Дж. Пойнтинг (1852-1914)

взаимодействующих частиц: плотность энергии (под интегралом) отлична от нуля даже

в области пространства, где нет ни зарядов, ни токов!

Перепишем уравнение в виде

Не путать вектор Пойнтинга с поверхностью!

Важно, что ЭМ убывает от любого источника поля по закону

При этом интеграл от вектора Пойнтинга, взятый даже по бесконечно удаленной поверхности не стремится к нулю, т.е.

Физически это означает, что система, теряющая энергию ЭМ поля, излучает!!!

электронов в поле (классический случай)
Г.С.Ом (1789-1854)
Э. фон Сименс (1816-1892)
П. Друде

(1863-1906)

Теория Друде (классический случай) (1900г.) – объяснение закона Ома

-закон Ома

излучение? Что является источником электромагнитных волн?
Ответы может дать только квантовая

теория. Именно генерация ЭМ волн привело к открытию квантовых законов природы. Само понятие «квант» было введено Максом Планком в связи с излучением нагретых тел.
Однако и в классической физике Максвелл, Лоренц и Герц сумели создать модель излучения Ее преимущества – простота и наглядность.
А. Опыт Герца
Излучение ЭМ волн впервые было продемонстрировано на устройстве, называемом «вибратором Герца»

Вибратор Герца (1883г.)

Впервые обнаружены электромагнитные волны, предсказанные Максвеллом (1873г.)

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

Х. Герц
(1857-1894)

света на много порядков выше – 1014- 10 15 Гц.

Отсюда вытекал вывод – размер генератора электромагнитных волн оптического диапазона чрезвычайно мал – возможно, это атомы или молекулы.

Б. Классическая модель излучения атома

Движение электрона в поле E описывается уравнением для координаты смещения:

Важной величиной является дипольный момент, определяемый как:

Можно строго показать, что покоящийся или равномерно движущийся заряд не излучает (силовые линии электрического поля везде прямые линии, выходящие из центра заряда – поле везде продольное, а электромагнитные волны – поперечные!).
ОТСЮДА: излучает только ускоренный заряд !!!

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

ускорение заряда q, с –скорость света, θ – угол между

радиусом-вектором, проведенном в точку наблюдения поля и направлением движения заряда. Переменное электрическое поле порождает магнитное поле, причем выполняется в силу уравнений Максвелла:

Плотность потока электромагнитной энергии есть:

Направление вектора совпадает с направлением :

Структура поля излучения диполя

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

момент совершает гармонические колебания:
Используя формулы Максвелла, можно получить выражения для

поля излучения

Полученные соотношения показывают, что излучение диполя линейно поляризовано. Вектор потока энергии есть

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

во всех направлениях. Для этого надо проинтегрировать по сфере вокруг

диполя. Тогда, если записать элемент поверхности сферы в виде

Полная мощность излучения есть

Окончательно получаем

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

колебания диполя подвержены затуханию, которое называют радиационным. Время радиационного затухания

можно определить как отношение начальной мощности диполя к мощности излучения:

Оценка времени затухания для оптических частот колебаний электронов в атоме

Тогда

Фактически это и есть время высвечивания отдельного атома, что подтверждается и опытом.

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

ЭМ ПОЛЯ
РАСПРОСТРАНЕНИЕ
ЭМ ПОЛЯ
ВЗАИМОДЕЙСТВИЕ ЭМ ПОЛЯ
С ЧЕМ-ЛИБО…
+
+
+
-
-
Рассмотрим как распространяется ЭМ

поле в вакууме (нет зарядов и токов!), т.е.

Уравнения Максвелла в этом случае есть

Эти уравнения имеют решения даже в отсутствие зарядов и токов, следовательно могут существовать ЭМ поля в пустоте – это и есть электромагнитные волны
ВАЖНО: ЭМ волны – переменные во времени, т.е.

Если

решения для ЭМ поля обращаются в нуль!

вектора-потенциала (см. выше) есть
1.3.1. Плоские ЭМ волны в вакууме
Если поля

зависят только от одной пространственной переменной, то такие поля (волны) называются плоскими. В этом случае уравнение имеет следующий вид:

где под функцией f понимается любая компонент ЭМ поля. Уравнение можно записать в форме

Если ввести новые переменные

Получим уравнение

решения следующий. Если, например, имеем

, то

В каждой точке x=const поле меняется со временем; в каждый данный момент времени поле различно для разных значений координаты x. Однако, если при t=0 поле имело некоторое значение, то через промежуток времени t то же самое значение поле имеет на расстоянии ct вдоль оси x от первоначальной точки. Таким образом, поле распространяется в пространстве вдоль оси x со скоростью света c в виде плоской электромагнитной волны, бегущей в положительном направлении оси x. Аналогично, часть поля

поле, распространяющееся со скоростью света в отрицательном направлении вдоль оси x. Таким образом, общее поле представляет собой электромагнитное поле, распространяющееся со скоростью света в виде плоской волны в обе стороны вдоль оси x.
Если рассмотреть плоскую волну в положительном направлении оси x, можно и уравнений Максвелла записать:

во второе, получим
- электрическое и магнитное поля плоской волны перпендикулярны

к направлению распространения

Таким образом, электромагнитные волны являются поперечными. Кроме того, электрическое и магнитное поля в плоской волне перпендикулярны друг другу и одинаковы по абсолютной величине!

Вектор Пойнтинга (плотность энергии) в плоской волне есть

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

того, поскольку плотность энергии
Имеем
Вектор Пойнтинга переносит плотность энергии в данном

направлении со скоростью света. При этом импульс единицы объема ЭМ поля есть

Для плоской ЭМ волны

1.3.2. Монохроматические плоские ЭМ волны в вакууме

Если ЭМ поле – периодическая функция времени, то такие плоские ЭМ волны называются монохроматическими. В таких волнах все величины (потенциалы, компоненты полей) зависят от множителя:

где - циклическая частота волны

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

есть
Для монохроматической плоской волны, распространяющейся вдоль положительного направления оси

x, все величины будут периодической функцией от аргумента

Векторный потенциал такой волны можно записать в форме

Информация к размышлению

Удобно использовать комплексное представление, используя формулу Эйлера:

комплексное представление
- некоторый постоянный комплексный вектор. Понятно, что и ЭМ

поле будет иметь такой же вид

Если ввести величины, называемые длиной волны и волновым вектором, согласно соотношениям

Тогда

Пользуясь соотношениями для связи вектора-потенциала с полями, получим

необходимо понять, как направлено поле в ЭМ монохроматической волне. Возьмем,

для примера, электрическое поле

Представим амплитуду поля в форме

Тогда

Если представить вектор в виде

Поскольку квадрат вектора – вещественен, то

Если выбрать направление вектора вдоль оси y, а - вдоль оси z, то имеем

следует, что
Последнее соотношение – уравнение для эллипса. Таким образом, в

общем случае, в каждой точке пространства вектор электрического поля вращается в плоскости, перпендикулярной направлению распространения волны, причем его конец описывает эллипс.
Такая волна называется эллиптически поляризованной. При этом вращение происходит в направлении по или против направления винта, ввинчиваемого вдоль оси x, соответственно при знаке плюс или минус.
Если , то эллипс превращается в круг, т.е. вектор электрического поля вращается, оставаясь постоянным по величине. В этом случае говорят о круговой поляризации волны. Наконец, если

- волна называется линейно поляризованной. В такой волне поле везде и всегда параллельна (или антипараллельна) одному и тому же направлению. Естественно, эллиптически поляризованную волну можно представить как наложение двух линейно поляризованных волн.

электрического поля

плоской монохроматической волне напряженность электрического поля есть регулярная функция координат

и времени. Такая волна называется полностью поляризованной или просто поляризованной. В общем случае, она эллиптически поляризована, а характеристики эллипса поляризации определяются амплитудами и фазами ортогональных компонент ЭМ поля Ei.
На самом деле ограниченность ЭМ пучка (апертура) и немонохроматичность приводят к отличию от такой идеальной картины. Если, например, лазерное излучение (см. ниже) бывает близко по своей структуре к поляризованной волне, то нелазерные источники содержат более сложную структуру излучения. Поле немонохроматической волны естественно рассматривать как случайный процесс. Для таких волн направление вектора поля волны случайным образом меняется со временем в плоскости фронта. Если все направления оказываются равновероятными, то ЭМ поле называется естественно поляризованным. Примерами являются солнечный свет или излучение лампы накаливания. Если же все-таки существует преимущественное направление вектора поля, то излучение называется частично поляризованным.

пространственно некогерентные; например, лампа накаливания
Газоразрядные – квазимонохроматические, пространственно некогерентные; например,

Na лампа
Светоэмиттирующие диоды (LED) – монохроматические, пространственно некогерентные

ЛАЗЕРНЫЕ
Непрерывные лазеры – монохроматические, пространственно когерентные; например, HeNe, Ar, лазерные диоды
Импульсные лазеры –квазимонохроматические, пространственно когерентные

ансамблю таких осцилляторов.





















Главная проблема – суммирование вкладов отдельных осцилляторов.

В силу того, что в реальной среде таких осцилляторов огромное количество, необходимо использование статистических методов. Пусть необходимо вычислить поле в данной точке (A) от системы (ансамбля) осцилляторов. Напряженность поля в точке A можно представить в виде (N – число осцилляторов):

Если переписать суммарное поле в виде , где

где - среднее по ансамблю осцилляторов значение поля. Если считать величины - независимые случайные величины, то имеем

ФОТОНИКА

© Дмитриев А.С. МЭИ. 2007

1.4.1. Излучение ансамбля осцилляторов

Следовательно
Итак, вследствие хаотическое распределения фаз, среднее значение напряженности ЭМ поля,

создаваемого ансамблем осцилляторов, равно нулю. Поэтому интенсивность излучения равна сумме средних интенсивностей излучения отдельных осцилляторов

где

мощностей отдельных осцилляторов
Кроме того, вследствие хаотической ориентации дипольных моментов осцилляторов,

диаграмма направленности излучения изотропна. Можно также показать, что по этой же причине, излучение ансамбля осцилляторов имеет естественную поляризацию.

1.4.2. Статистика излучения ансамбля независимых осцилляторов

Рассмотрим поле напряженностью

Одну из компонент поля можно записать в виде:

Определим понятия огибающей А, фазы и интенсивности:

Здесь - означает усреднение по периоду колебаний T.

поля все параметры в приведенных соотношениях являются случайными для большого

ансамбля осцилляторов. В этом случае мы может говорить только о статистических свойствах излучения ансамбля осцилляторов. В этом случае можно показать, что имеет место гауссово распределение вероятности:

- распределение Рэлея,
фаза – прямоугольное,
интенсивность –

экспоненциальное распределение.

1.4.3. Спектр излучения ансамбля независимых осцилляторов

Излучение ансамбля независимых осцилляторов естественно рассматривать как стационарный случайный процесс. В этом случае спектр излучения определяется следующим соотношением:

Таким образом, получаем основные характеристики нелазерного (например, теплового) источника ЭМ поля распределения вероятности различных величин следующие:

можно представить как сумму монохроматических волн. Удобнее при этом представить

такую сумму или как дискретную или как интеграл по всем частотам (разложение Фурье).

А. Разложение по дискретным частотам
Если имеем периодическое (не обязательно монохроматическое) поле, то

квадрат поля (средняя интенсивность волны) представляется в виде суммы интенсивностей

монохроматических компонент

В более общем (непериодических) функций можно разлагать поле в ряды Фурье (для этого необходимо только условие, чтобы поле обращалось в нуль при ):

Б. Разложение по непрерывному спектру

При этом имеет место соотношение