Уравнение с двумя переменными. Диофантовы уравнения

самому простому виду. 

Л.Н.Толстой

Уравнение с двумя переменными. Диофантовы уравнения.

что он жил в III в.н.э.
Из работ Диофанта самой

важной является «Арифметика» (из 13 книг сохранилось только 6).
В сохранившихся книгах содержится 189 задач с решениями.

и камень Мудрым искусством его скажет усопшего век. Волей богов шестую часть

жизни он прожил ребенком. И половину шестой встретил с пушком на щеках. Только минула седьмая, с подругой он обручился. С нею, пять лет проведя, сына дождался мудрец; Только полжизни отцовской возлюбленный сын его прожил. Отнят он был у отца ранней могилой своей. Дважды два года родитель оплакивал тяжкое горе, Тут и увидел предел жизни печальной своей.

ax + by = c, a ≠

0; b ≠ 0

Если с = 0, то х = 0, у = 0.

Если с ≠ 0, и решение (х0 ; у0 ), то целое число
ax0 + by0 делится на d = (a ; b), поэтому с так же должно делиться на общий делитель a и b.

Например:

3х + 6у = 5

не имеет целых решений, так как d(3; 6) = 3, а
с = 5 не делится на 3 без остатка.

имеет решение (х0 ; у0 ), и

d (a ; b) = 1, то все решения уравнения задаются формулами

х = х0 + bn; y = у0 – an,

где n - любое целое решение.

Например: 3х + 5у = 13, d(3; 5) = 1,

значит уравнение имеет бесконечно
много решений, х0 =1; у0 =2

x = 1 +5n

y = 2 – 3n

чисел , удовлетворяющие
данному уравнению
называют «пифагоровыми» числами.

3, 4, 5;

5, 12, 13; 10, 24, 26; ...

популярных  теорем   математики. Доказательство

теоремы искали многие математики более трёхсот лет. Окончательно доказана в  1995 году
Эндрю Уайлсом.

Метод разложения на множители.

Решить в

целых числах уравнение


Решение. Запишем уравнение в виде

3х² + 4ху – 7у²= 13.
Решение:
3х² - 3ху + 7ху – 7у²= 13,

3х(х – у) +7у(х – у) = 13,

(х – у)(3х + 7у) = 13
Так как 13 имеет целые делители ±1 и ±13,
то уравнение равносильно совокупности систем:

1.

2.

3.

4.

)
Но (9,2 ; - 3,8) не является целочисленным решением
(2; 1)

- целочисленное решение уравнения

Две другие системы решите самостоятельно !