Классическая электродинамика. Введение в классическую электродинамику

Основное внимание - электромагнитным волнам и их оптическому диапазону. Связь

теории электромагнитного поля с другими разделами физики. Оптические среды.
Роль электромагнитных волн. Сравнение с акустическими и другими волнами (теория волн). Фотоны – элементарные частицы (а не квазичастицы, как фононы). Эфир и вакуум.
Линейные и нелинейные волны.

Гаусса и открытая для законов Фарадея и Ампера (ее границей

является замкнутый контур). – электрический заряд внутри объема V, ограниченного поверхностью S.
– электрический ток, протекающий через поверхность S.

= E, B = H

В среде материальные уравнения могут иметь

вид нелокальных по времени и пространству и нелинейных соотношений (будут приведены позже).

вакууме. Проверить выполнение всех уравнений Максвелла.

Найти напряженность эл. поля шара

с равномерной плотностью заряда.

Найти напряженность эл. поля кольцевого слоя с равномерной плотностью заряда. - дом. задание

Найти распределение плотности заряда, если известно распределение напряженности эл. поля
где А и n – постоянные,
Пояснить физический смысл результата при n = -3.

(с конечной энергией)
Интегрируем по времени в бесконечных пределах
– «площадь» электрич.

поля – безвихревой вектор

Интегрируем по пространству (объему) в бесконечных пределах

– «площадь» магнитного поля – сохраняется

Эти общие (для любого вида материальных уравнений) соотношения полезны для контроля точности моделирования динамики поля.

ρ = 0, j = 0
Условия применимости:
Инерциальная система отсчета
Гравитационные

эффекты
Квантовые ограничения для слабых и сильных полей

Учебное пособие: Н.Н. Розанов. Специальные разделы мат. физики. Ч.I. Электромагнитные волны в вакууме. 2005.

описанию. Поэтому для их справедливости число фотонов в основных модах

N должно быть велико: N >> 1. Этот фактор важен при анализе шумов излучения и сжатых состояний электромагнитного поля (квантовая оптика).

рождения электрон-позитронных пар и эффекты
поляризации вакуума. Необходимое условие пренебрежения этими

эффектами:
(изменение энергии заряда |e| в поле напряженности E на расстоянии равном комптоновской длине волны электрона RC = h /(mc) = 2.4 10^(-10) см должно быть много меньше mc^2 , m – масса электрона, h – постоянная Планка, ħ = h / 2π ). В мощных лазерных установках достигаются напряженности полей, близкие к критическим. Последовательная теория дается квантовой электродинамикой.
Приближенно электромагнитное поле в электрон-позитронном вакууме описывается уравнениями электродинамики сплошных сред. Комптоновская длина волны электрона описывает его «размазанность», при меньших расстояниях классическая теория неприменима.

без зарядов.
Равноправность направлений течения времени
(в классическом вакууме нет диссипации

энергии)

j – полярные трехмерные векторы
H, B – аксиальные трехмерные векторы
При

зеркальном отражении направление полярных векторов не меняется, а для аксиальных сменяется противоположным. Ср. с силой Лоренца

Различие полярных и аксиальных векторов существенно для записи нелинейных восприимчивостей.

Максвелла, поскольку эти решения могут не удовлетворять уравнению

. Фактически это соотношение накладывает ограничения на поляризационную структуру излучения. Таким образом, при исключении из уравнений Максвелла магнитных величин к волновому уравнению следует добавить уравнение

– по начальным данным определяется последующие значения полей.
Динамических уравнений два

(содержащих временную производную 1-го порядка; частотной дисперсией здесь пренебрегаем). Два «статических» уравнения ограничивают вид начальных условий.
Пример – вакуум без зарядов ( )

первого порядка. Поэтому задания напряженностей Е и Н в начальный

момент времени достаточно для определения дальнейшей динамики поля (+ граничные условия).

Метод численного расчета: FDTD – finite-difference time-domain. – тема для итоговой презентации

то и в последующие моменты времени значения
останутся нулевыми, так

как {div rot V = 0}

Из-за уравнений Максвелла с div произвольно можно задавать только по две компоненты векторов Е0 и Н0, эти уравнения определяют вид третьих компонент. Например, пусть заданы
Тогда (f – произвольная функция своих аргументов)

времени, то начальные условия позволяют определить значения напряженностей электрического и

магнитного полей в последующие моменты времени.
Разложения Тейлора для малых интервалов времени:

частотой ω
Фиксированная (линейная) поляризация. Одна из компонент поля f

(пример Адамара)

направлением вдоль оси z
Зададим при z = 0 значения f

и

Решение уравнения Гельмгольца
(разделение переменных)

есть решение, стремящееся при конечных z к бесконечности. Но при

таких начальных данных есть и нулевое решение.
Нет непрерывной зависимости решения от начальных данных.
Постановка задачи некорректна.
Физ. смысл – встречные волны.

При конечных z

магнитного полей не абсолютны и имеют разную величину в различных

инерциальных системах отсчета, движущихся относительно друг друга со скоростью V.
Задача – показать релятивистскую инвариантность уравнений Максвелла и найти преобразования Лоренца для электромагнитного поля.
Форма записи уравнения будет релятивистски инвариантной, если оно записано в терминах скаляров, 4-векторов и тензоров, для которых известны преобразования Лоренца.

0, 1, 2, 3
Другая инерционная система координат

Преобразование Лоренца в частном

случае , когда скорость V имеет только x-компоненту

полей не составляют 4-вектора.

при i = k и

0 в противном случае.
- плотность э.-м. энергии, - плотность потока энергии.

Тензор энергии-импульса (поля и среды) служит источником искривления пространства-времени в уравнениях тяготения Эйнштейна.

постоянной скоростью.
Проверить инвариантность величин

и (E,H).
Проверить, что ковариантная запись уравнений Максвелла приводит к стандартной записи при различном выборе индексов.

- это все дом. задания

 

есть по начальным данным
(при t = 0) о напряженностях

поля определяли последующую
динамику поля. Это возможно, так как уравнения Максвелла в вакууме содержат только первые временные производные напряженностей. Более общая постановка задачи динамики:


Уч. пособие, стр. 13-17