Корреляционный анализ

множества объектов матрицу парных корреляций R получают в ходе следующих

преобразований матриц:

где Z – матрица стандартных значений, а ее элементы получают:

корреляции Ro представляет собой численную характеристику силы связей отклика со

всеми факторами.

параметрами сложной системы.
Коэффициент парной корреляции является мерой тесноты линейной

связи между двумя случайными величинами. В общем случае его величина меняется от 0 до 1. Если коэффициент = 0, то связь отсутствует, а если 1, то связь линейная.

(для обычных технических расчетов  принимается равной 0,95 или 0,99)

и числу степеней свободы f=N-2 определяется критическое значение коэффициента парной корреляции (rкр).
Выбор значений rкр производится по таблице , имеющейся в приложении. В случае, если абсолютная величина коэффициента парной корреляции не меньше критического, то линейная связь между параметрами считается статистически значимой.
В противном случае линейная связь статистически не значима и, следовательно, необходимо переходить более сложным математическим зависимостям.

рассчитать по следующим формулам (за х и у можно принять

ту или другую величину):

параметр, который будет определяться экспериментально, и по которому будет осуществляться

оптимизация технологического процесса.
Оценку линейных связей параметров необходимо осуществлять с учетом абсолютного значения коэффициента парной корреляции.
При прочих равных условиях предпочтение отдается тем параметрам, для которых метод определения более прост или позволяет проводить измерения с высокой точностью.
Для упрощения анализ полученных результатов регрессионное уравнение может быть представлено в графическом виде.

переменной у и группой факторов х1; х2; ....... хl. Для

оценки используют:
а) коэффициент множественной корреляции.
б) коэффициент парциальной корреляции

независимых переменных
R – матрица парных корреляций
R11 – алгебраическое дополнение определителя

R к элементу ryy .
Для l – независимых переменных и n измеренных значений у:

переменных последовательно

алгебраические дополнения к элементам
Для частных случаев можно воспользоваться формулами



Другие

коэффициенты получают циклической перестановкой индексов

опыты на точках, то:

где это число степеней свободы.
При

наличии линейной связи проводят проверку по критерию Фишера:

Можно пользоваться корреляционным отношением:
где m – количество измерений
на одну точку

и межчастичным расстоянием (х2) после 5 режимов обработки при испытании

трех образцов получено: n=15
1 = числу свободных переменных = l.
2= 15-2-1=12

Парциальные корреляции:

Вывод: по коэффициенту множественной корреляции оба параметра оказывают влияние на прочностные свойства. По парциальной корреляции влияет только межчастичное расстояние.

статистическим методам анализа связей между массовыми явлениями и процессами. Если

рассматривается зависимость между одним результативным показателем Y и одним фактором X, то речь идет о парной корреляции. Когда имеется несколько переменных X и одна переменная У, проводится множественный корреляционный анализ для установления и измерения степени связи между переменными. Каноническая корреляция — это распространение парной корреляции на случай, когда имеется несколько результативных показателей Y и несколько факторов X. Основная цель применения этого метода состоит прежде всего в поиске максимальных корреляционных связей между группами исходных переменных: показателями-факторами и результативными качественными показателями. Кроме того, метод канонических корреляций дает возможность сократить объем исходных данных за счет отсева малозначимых факторов.

Y2, Yp — результативные показатели.
Так как на практике количество факторов

значительно пре­восходит количество результативных показателей, то будем предполагать, что р < g.
Каноническая корреляция — это корреляция между новыми компонентами (каноническими
переменными) U и V:

корреляцией теснота связи между каноническими переменными будет определятся каноническими коэффициентами:



cov

- некоторое число
Е – математическое ожидание величины.
Pij– совместная вероятность х и у.
var – дисперсия случайной величины (вспомним 2 случая среднеквадратических отклонения). var(х) = 0.

х и у (размерность).
(S12 – g x p и S21

– p x g)
S21 – результат транспонирования S12 .
S11 – ковариационная матрица исходных переменных, ее размер g x g.
S22 – ковариантная матрица у, p x p.

Y – матрицы исходных значений.
А, В – векторы коэффициентов.
Если предположить,

что средние
значения канонических переменных U и V равны нулю, а их дисперсии равны единице, r
Для упрощения расчетов, считаем, что каждая из переменных имеет единичную дисперсию и нулевое математическое ожидание, следовательно знаменатель этого выражения = 1.

экстремума (λ – множитель Лагранжа), продифференцируем функцию Лагранжа по компонентам

векторов А и В и приравняем их к нулю, получим систему:


Домножим полученные выражения на λ и обратную матрицу соответсвенно, получим:



Умножив обе части на , получим
Рассуждая аналогично

характеристические векторы. Из предположения, что р < g, вытекает, что

размерность вектора В меньше размерности вектора А. Можно определить вектор А из 1 уравнения системы:

Для того чтобы найти компоненты вектора А, необходимо определить векторы В и .
Значения 2 находятся как собственные значения матрицы С:

Можно показать, что =r

1

1

=r

матрица имеет размер 2 х 2, то она будет иметь

два собственных значения, и два собственных вектора.

матрица имеет размер 2 х 2, то она будет иметь

два собственных значения, и два собственных вектора.

Коэффициент корреляции:
аналогично

для данного числа степеней свободы сравнивают с табличными:



для числа

степеней свободы (p-1)(g-1)=2, и уровня значимости 0,95.

исходным данным, необходимо помнить, что мы все дисперсии приравняли к

1 =>

Т.о., все остальные коэффициенты будут равны:
a2=0.03004 a3=0.0021
b1=-0.7147 b2=0.1764

Уравнение канонических корреляций будет выглядеть следующим образом:
U1=0,9553x1+0,0304x2+0,0021x3
V1=-0,7147y1+0,176y2
В том случае, если нельзя ограничиться одним выходным параметром, то необходимо перейти к обобщенному параметру оптимизации.

факторами.
Сами факторы Y тесно связаны между собой (их корреляция

0,53), также высокую сязь имеют факторы Х1 и Х3 (0,52)
Второй коэффициент корреляции не велик и говорит о том, что другие линейные комбинации маловероятны.
В обеих линейных комбинациях наиболее значима величина Х3, коэффициенты при других величинах существенно меняются по величине и меняют знак, т.е. достоверно только влияние фактора Х3.
Для уточнения результатов следует повторить расчеты для других сочетаний факторных и результативных переменных, можно отбрасывать одну из переменных, и рассчитывать новые коэффициенты.
В случае определения канонических корреляций нет необходимости добиваться независимости исходных переменных.