Курс высшей математики

Содержание

1. Курс высшей математики
2. Лекция 2Алгебра матриц I. Операции над матрицами.
3. Операции над матрицами. Определим несколько
4. III. Умножение матрицы на число. IV. Умножение матриц. Здесь:
5. Слайд 5
6. Правило умножения матриц : 1. Перемножать
7. Пример.
8. Слайд 8
9. Свойства операции сложения: Рассмотрим
10. 2. 3. 4. 5. 6. (AB)T
11. Обратная матрица. (
12. Теорема существования и
13. Убедимся, что по указанной формуле находится именно обратная матрица. Вычислим произведение
14. Точно также можно показать, что Таким образом, действительно
15. б)Единственность (показать самостоятельно). Пример.Решение.1. 2. 3. 4.
16. Решение матричных уравнений. Пусть А– известная квадратная
17. Точно также решаются и другие типы
18. Обозначим- матрица столбец из неизвестных,– матрица из
19. Систему (*) тогда можно записать в виде:
20. Если А– невырожденная матрица, то существует единственное решение этого матричного уравнения или, в поэлементной записи(1)(2)
21. Здесь- определитель системы, -определитель, полученный
22. Вывод: Если определитель системы n линейных
23. Ранг матрицы
24. Слайд 24
25. Слайд 25
26. Слайд 26
27. Найдите ранг матрицы:
28. Найдите ранг матрицы
29. МИКРОТЕСТ 21. Квадратную матрицу A 4-го
30. 5.Написать решение уравнения ХA=B.2) Можно ли использовать
31. Скачать презентанцию

Лекция 2Алгебра матриц I. Операции над матрицами. 2. Обратная матрица. 3. Решение матричных уравнений. 4. Невырожденные системы n линейных уравнений с n неизвестными. 5. Ранг матрицы и его вычисление методом

Главная
Разное
Курс высшей математики

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Курс высшей математики
Часть 1
УГТУ-УПИ
2004г.

Слайд 2Лекция 2
Алгебра матриц
I. Операции над матрицами.

2. Обратная матрица.
3. Решение матричных уравнений.
4. Невырожденные

системы n линейных уравнений с n неизвестными.

5. Ранг матрицы и его вычисление методом элементарных преобразований.

Слайд 3 Операции над матрицами.
Определим несколько операций над матрицами.
I.

Равенство матриц .
II. Сложение матриц .
Результатом сложения

матриц А и В называется
матрица С, элементы которой являются суммой
соответствующих элементов исходных матриц :

Операции над матрицами. Определим несколько операций над матрицами. I. Равенство матриц . II. Сложение матриц .

Слайд 4 III. Умножение матрицы на число.
IV. Умножение матриц.
Здесь:

Слайд 5

Слайд 6Правило умножения матриц :
1. Перемножать можно лишь

матрицы определённых
размеров (число столбцов матрицы левой равно числу

строк матрицы правой ).

2. Размер матрицы С равен произведению числа строк матрицы А на число столбцов матрицы В, т.е.
(m x n).

Правило умножения матриц : 1. Перемножать можно лишь матрицы определённых размеров (число столбцов матрицы левой

Слайд 7Пример.

Слайд 8

Слайд 9Свойства операции сложения:
Рассмотрим матрицы размера

(m x n) :
1.

2.

Свойства операций умножения на

число и умножения матриц:

(В общем случае сомножители менять
местами нельзя).

Свойства операции сложения: Рассмотрим матрицы размера (m x n) : 1. 2. Свойства операций

Слайд 102.

3.

4.

5.

6. (AB)T = BT AT

7. det(AB) = det(A) det(B)

Слайд 11 Обратная матрица.
(

квадратные матрицы, Е – единичная

матрица).

матрица А называется невырожденной.

Слайд 12 Теорема существования и единственности

обратной матрицы.

Для всякой невырожденной матрицы существует
единственная обратная матрица, вычисляемая по
формуле :

Доказательство

а) Существование.

По условию

Слайд 13 Убедимся, что по указанной формуле находится именно

обратная матрица.
Вычислим произведение

Слайд 14 Точно также можно показать, что
Таким образом, действительно

Слайд 15б)Единственность (показать самостоятельно).
Пример.
Решение.
1.

2.

3.

4.

Слайд 16Решение матричных уравнений.
Пусть А– известная квадратная матрица порядка n

,

В– известная матрица размера (n x m) ,

X– неизвестная матрица

размера (n x m) .

AX=B – матричное уравнение.

Если А– невырожденная матрица,

Решение матричных уравнений. Пусть А– известная квадратная матрица порядка n ,В– известная матрица размера (n x m)

Слайд 17 Точно также решаются и другие типы уравнений :

Невырожденные системы n линейных
уравнений с n

неизвестными .

(*)

Точно также решаются и другие типы уравнений : Невырожденные системы n линейных

Слайд 18Обозначим
- матрица столбец из неизвестных,
– матрица из коэффициентов

перед неизвестными,
– матрица столбец из свободных членов.

Слайд 19Систему (*) тогда можно записать в виде:

Слайд 20Если А– невырожденная матрица, то существует
единственное решение этого матричного

уравнения
или, в поэлементной записи
(1)
(2)

Слайд 21 Здесь
- определитель системы,
-определитель, полученный из определителя
системы заменой

i-столбца на столбец
свободных членов.
Формулы (2) называются формулами Крамера.
Подробнее:

Здесь- определитель системы, -определитель, полученный из определителясистемы заменой i-столбца на столбец свободных членов.Формулы (2) называются

Слайд 22Вывод:
Если определитель системы n линейных уравнений
с

n неизвестными отличен от нуля, то существует единственное решение такой

системы.

Оно может быть найдено одним из трёх способов:

1. матричным способом.

3. методом Гаусса (приведение системы к треугольному виду).

2. по формулам Крамера.

Вывод: Если определитель системы n линейных уравнений с n неизвестными отличен от нуля, то существует

Слайд 23 Ранг матрицы и его вычисление

методом
элементарных

преобразований.

Выделим в матрице размера (m x n) произвольные
k – строк и k - столбцов.

Элементы матрицы, стоящие на их пересечении,
образуют определитель порядка k.

Такой определитель называется минором k- порядка,
этой матрицы.

(Ранг матрицы – это наибольший порядок отличного
от нуля её минора).

Рангом матрицы А называется такое целое число r,
что среди миноров порядка r матрицы А есть хотя бы
один отличный от нуля, а все миноры более высокого
порядка равны нулю.