Лек.7Эха

с конечной скоростью. Это придает процессам, происходящим в электрических цепях,

волновой характер, т.е. токи и напряжения в электрической цепи оказываются зависящими не только от времени t, но и от координаты сечения цепи x, т.е. U(x,t); i(x,t).
Eсли >L, то цепь с сосредоточенными параметрами.
Если  Примерами цепей с распределенными параметрами являются:
- воздушно-двухпроводная линия13.1а;
- витая пара рис. 13.1б;
- электрический кабель;
- коаксиальный кабель 13.1в;
- полосковая линия, прямоугольный или круглый волновод и т.д.
Цепи с распределенными параметрами часто называют длинными линиями.

Рассмотрим воздушную двухпроводную линию, длина которой

соизмерима или больше длины электромагнитной волны (рис. 9.1, а). При протекании тока по проводам вокруг них возникает магнитное поле Н, что свидетельствует о наличии индуктивности, распределенной вдоль линии. Между проводами возникает электрическое поле, что говорит о емкости. Провода и диэлектрик между проводами нагреваются, что свидетельствует о наличии потерь, т.е. говорит о сопротивлении.

Количественно физические параметры длинной линии характеризуются следующими погонными (первичными) параметрами, приходящимися на единицу длины, на метр:
L0 – погонная индуктивность. Определяется как индуктивность короткозамкнутого отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Гн/м.
R0 – погонное сопротивление. Определяется как сопротивление короткозамкнутого отрезка проводов длиной 1 м. Единица измерения Ом/м.
C0 – погонная емкость. Определяется как емкость между проводами разомкнутого на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения Ф/м.
G0 – поперечная проводимость. Определяется как проводимость между проводами, разомкнутыми на конце отрезка линии длиной 1 м. Единица измерения См/м.

длинной линии, для длинной линии без потерь (рис. 9.2). Запишем

выражения относительно приращений напряжения и тока:

В общем случае решение волновых уравнений можно представить выражениями:
где , f1 и f2 дважды дифференцируемые функции зависят от начальных и граничных условий, т.е. от сигналов, которые подводятся к длинной линии, но главное, эти функции должны быть

Первое слагаемое называется прямой волной, а второе – обратной волной. С физической точки зрения, прямая волна характеризует сигнал, который распространяется в направлении х, а обратная волна – сигнал, который распространяется вдоль линии в противоположном направлении (рис. 9.3)

полубесконечную длинную линию при гармоническом воздействии e(t) = Em cosωt (рис. 9.4). В такой

линии нет условий для распространения обратной волны, а потому существует лишь прямая, ее называют падающей волной.




Установившиеся процессы в такой линии в произвольном сечении являются гармоническими, но появляется фазовый сдвиг, который связан с конечной скоростью распространения волны. Напряжение и ток в любом сечении определяются из соотношений:
где v0 = λ/Т = (L0C0)–2 – скорость распространения сигнала в длинной линии;
β = ω/v0 – коэффициент фазы, он характеризует фазовый сдвиг волны на единицу длины линии, иногда его называют пространственной частотой сигнала, так как β = 2π/λ , где λ – длина волны (это название дано по аналогии с тем, что ω = 2π/Т – временная частота).
Отношение комплексной амплитуды напряжения к комплексной амплитуде тока прямой волны называют волновым сопротивлением линии Zв = Um / Im. Волновое сопротивление линии без потерь имеет чисто резистивный характер . Иногда ρ называют характеристическим сопротивлением.
Параметра (v0, β, Zв) называются волновыми, или вторичными, параметрами длинной линии.
Таким образом, в длинной линии без потерь сигнал в любом сечении не изменяет своей формы и амплитуды, но наблюдается запаздывание вследствие конечной скорости распространения. В линии с потерями наблюдается не только запаздывание во времени, но и затухание сигнала по амплитуде с возрастанием х.

в любой точке определяется суммой падающей и отраженной волн напряжения,

а мгновенные значения тока – разностью падающей и отраженной волн тока. Знаки в суммах связаны с тем, что положительные направления напряжений Uпад, Uотр выбраны одинаково (сверху вниз), а у токов Iпад, Iотр – встречно, поэтому они вычитаются:
U(x,t) = Uпад+ Uотр; I(x,t) = Iпад – Iотр,
где U(x,t),Uпад, Uотр , I(x,t) , Iпад, Iотр – комплексные амплитуды.
Процессы, происходящие в длинной линии, определяются не только волновыми параметрами, которые характеризуют собственные свойства линии, но и коэффициентами отражения, которые зависят от согласования линии с нагрузкой.
В установившемся режиме в линии присутствуют две волны. Эти волны распространяются в двух взаимно противоположных направлениях. Волна, движущаяся от генератора к нагрузке, называется прямой, или падающей. Волна, движущаяся от нагрузки к генератору, называется обратной, или отраженной. Появление обратной волны связано с отражением падающей волны от нагрузки. Таким образом, в длинной линии в каждый момент времени в каждой точке сечения присутствует алгебраическая сумма двух волн – падающей и отраженной.

Комплексным коэффициентом отражения длинной линии называют отношение комплексных амплитуд напряжений и токов отраженной и падающей
волн в произвольном сечении линии:
комплексный коэффициент отражения напряжения;

комплексный коэффициент отражения тока.

На практике часто используются линии конечной длины. Пусть однородная линия длиной L нагружена на конце (x = L) на сопротивление Zн. При x = 0 линия питается от генератора гармонической ЭДС с внутренним сопротивлением Ri. Волновое сопротивление линии Zв = .

ρ и сопротивления нагрузки Zн в длинной линии возможны три

режима работы:
1. Режим бегущих волн в линии имеет место, когда в ней распространяется только падающая волна напряжения и тока, а отраженная волна во всех сечениях равна нулю. В этом режиме вся энергия от источника питания передается в нагрузку, отражение отсутствует, следовательно, Uотр= 0 и Рu = 0.
2. Режим стоячих волн имеет место, когда происходит полное отражение волны от нагрузки, т.е. в линии одновременно присутствуют две волны, амплитуды которых одинаковы: Uотр = Uпад, следовательно ‌‌| Рu |‌‌ = 1. В этом режиме энергия в нагрузке не выделяется.
3. Режим смешанных волн. В этом режиме энергия частично выделяется в нагрузке, а частично отражается, т.е. в линии одновременно присутствуют две волны, амплитуды которых не одинаковы.

нагрузки:
а) полубесконечная длинная линия (рис. 9.6). В ней нет конца, а потому

и нет отраженной волны.Рис. 9.6
б) линия нагружена на сопротивление, равное волновому Zн = ρ (рис. 9.7, а).
Коэффициент отражения равен нулю


В линии без потерь в режиме бегущих волн распределение амплитуд напряжения и тока по длине линии постоянно (рис. 9.7, б, в), а в линии с потерями амплитуды напряжения и тока убывают по экспоненте.
Входное сопротивление линии в режиме бегущих волн равно волновому сопротивлению линии и не зависит от ее длины.
В режиме бегущих волн передача энергии происходит только в одном направлении – от источника сигнала в нагрузку, такая нагрузка называется согласованной.

от нагрузки. Мощность, выделяемая на нагрузке, равна нулю. Режиме стоячих

волн Рu = 1 возникает в следующих трех случаях (рис. 9.8):
1) линия, разомкнутая на конце Zн = ∞.
2) Zн = 0
3) Zн = jX

Рис. 9.90ll0Zн = Ux/UmaxIx/Imaxxxабвl – 3/4l – /4l – l – /2УзелПучность
Коэффициент отражения по напряжению Рu = 1. Это означает, что на конце линии волна по напряжению полностью отражается, т.е. амплитуда падающей волны равна амплитуде отраженной волны, причем знак отраженной волны совпадает с падающей, что приводит к удвоению напряжения на конце линии.
Коэффициент отражения по току Рi = –1. Это означает, что на конце линии ток равен нулю.
Распределение амплитуд напряжения и тока вдоль линии в режиме холостого хода приведены на рис. 9.9, б.
Точки максимума напряжения или тока называются пучностями напряжения или тока, а точки, в которых амплитуда напряжения или тока равны нулю, называются узлами.
В режиме холостого хода на конце линии имеет место пучность напряжения и узел тока.
б) линия короткозамкнутая на конце: Zн = 0. Коэффициенты отражения . Рi = 1.Рис. 9.100l0Zн = 0Ux/UmaxIx/Imaxxxабвl – 3/4l – /4l – l – /2УзелПучность
Графики распределения амплитуд напряжения и тока показаны на рис. 9.10, б, в. На конце линии имеет место пучность тока и узел напряжения.
в) линия нагружена на реактивное сопротивление Zн = jX.
Коэффициенты отражения и – комплексные величины, а их модули равны │Рu│=│Рi│=1. Это означает, что амплитуды прямой и отраженной волн в линии одинаковы, но на конце нет ни пучности, ни узла.

РИИТ
(кафедра Радиоэлектроники и информационно-измерительной техники)


Электротехника и электроника