Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
В-сплайн и некоторые наиболее часто используемые базисы
Двумерные финитные функции на треугольной сетке
Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция8_Финитные функции.ppt
Содержание
- 1. Лекция8_Финитные функции.ppt
- 2. 08/13/2019Базис из финитных функцийФинитной называется функция
- 3. 08/13/2019Построение базисаОбласть разбивается на конечные элементы, на каждом из которых определена финитная функция
- 4. 08/13/2019Построение базиса
- 5. 08/13/2019Хорошие свойства базиса из финитных функций1. Ввиду
- 6. 08/13/2019Представление искомой функцииПри таком выборе базиса естественно
- 7. 08/13/20190bxku(x)ak=u(xk)ϕk(x)akϕk(x)xk+1akϕk(x)+ ak+1ϕk+1(x)
- 8. 08/13/2019Теория Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциямиИзложим основные идеи
- 9. 08/13/2019Нормированные финитные функцииϕ1
- 10. 08/13/2019Базисные Финитные функцииКонечные элементы:Базисные финитные функции = сдвиги стандартной финитной ф-ии
- 11. 08/13/2019ПримерНа рис. представлены стандартная финитная функция и базис из сдвигов этой функции для n=4, p=2, N=7
- 12. 08/13/2019Теорема Стренга-Фикса (один из вариантов) Допустим, что
- 13. 08/13/2019В-сплайны и некоторые наиболее часто используемые базисыШенберг
- 14. 08/13/2019Базис из ступенек В-сплайн степени s=0
- 15. 08/13/2019Базис из ступенекбазис представляет собой набор сдвигов
- 16. 08/13/2019Базис из крышекВ-сплайн степени s=1:Аппроксимация по норме
- 17. 08/13/2019Аппроксимация ломанойxf
- 18. 08/13/2019В-сплайн степени s=3получается сверткойАппроксимация кубической параболой
- 19. 08/13/2019Атомарные функцииКласс бесконечно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям теории
- 20. 08/13/2019Эрмитовы базисыЧтобы сохранить точность при фиксированном p=1,
- 21. 08/13/2019Двумерные финитные функции на треугольной сеткеКаждая пара
- 22. 08/13/2019Финитная функция на треугольных конечных элементахопределим кусочно-линейную
- 23. 08/13/2019Базисные финитные функции
- 24. 08/13/2019Финитные функции на тетраэдрахТрехмерная область Ω при
- 25. 08/13/2019Тетраэдр
- 26. 08/13/2019Конец
- 27. Скачать презентанцию
08/13/2019Базис из финитных функцийФинитной называется функция , определенная для всех
Слайды и текст этой презентации
Слайд 108/13/2019
Тема 8. Финитные функции и аппроксимация
Базис из финитных функций
Теория
Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
Двумерные финитные функции на треугольной сетке
Слайд 208/13/2019
Базис из финитных функций
Финитной называется функция
, определенная для всех
, но отличная от нуля лишь на некоторой конечной области Ωk⊂Ω, называемой конечным носителем
Слайд 308/13/2019
Построение базиса
Область разбивается на конечные элементы,
на каждом из которых
определена финитная функция
Слайд 508/13/2019
Хорошие свойства базиса из финитных функций
1. Ввиду квазиортогональности
матрица проекционного уравнения
сильно разрежена. Более того, если условие
выполняется только для смежных носителей, то матрица получается ленточной.2. Возможность выбора специфических приграничных конечных элементов и связанных с ними финитных функций, учитывающих особенности границы, позволяет эффективно решать краевые задачи на достаточно произвольной области.
Слайд 608/13/2019
Представление искомой функции
При таком выборе базиса естественно поставить вопросы о
его полноте, выборе вида функций и аппроксимационных свойствах разложения искомого
решения в видеНа эти вопросы частично отвечает Теория Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
Слайд 808/13/2019
Теория Стренга-Фикса аппроксимации финитными функциями
Изложим основные идеи этой теории для
функций одной переменной с регулярными конечными элементами
Область
покрываем равномерной сеткой:
Слайд 1008/13/2019
Базисные Финитные функции
Конечные элементы:
Базисные финитные функции = сдвиги стандартной финитной
ф-ии
Слайд 1108/13/2019
Пример
На рис. представлены стандартная финитная функция и базис из сдвигов
этой функции для n=4, p=2, N=7
Слайд 1208/13/2019
Теорема Стренга-Фикса (один из вариантов)
Допустим, что
и существует преобр. Фурье
Тогда существуют такие , что при
Наличие такой центральной теоремы, а также еще ряда доказанных Стренгом-Фиксом теорем, в частности о существовании функций, удовлетворяющих условиям (6.7), дает алгоритм для построения базисных финитных функций, обладающих необходимыми аппроксимационными свойствами
Слайд 1308/13/2019
В-сплайны и некоторые наиболее часто используемые базисы
Шенберг предложил один интересный
класс функций, удовлетворяющих условию теоремы Стренга-Фикса
Функцию
называют В-сплайном (Шенберга) степени s=0,1,…, если ее преобразование Фурье имеет видКак легко заметить, это преобразование удовлетворяет всем условиям теоремы.
Слайд 1508/13/2019
Базис из ступенек
базис представляет собой набор сдвигов стандартной ступеньки
, а функция
представляет собой разрывную ступенчатую функцию (N=n). Аппроксимация по норме имеет порядок . Такой базис может быть выбран в качестве второго базиса при использовании метода Галеркина-Петрова
Слайд 1608/13/2019
Базис из крышек
В-сплайн степени s=1:
Аппроксимация по норме
имеет второй порядок
по норме - первый
Слайд 1908/13/2019
Атомарные функции
Класс бесконечно-дифференцируемых функций, удовлетворяющих условиям теории Стренга-Фикса как естественное
обобщение В-сплайнов, был введен в 1971 г В.Л. Рвачевым. и
В.А Рвачевым.
Слайд 2008/13/2019
Эрмитовы базисы
Чтобы сохранить точность при фиксированном p=1, вводят на одном
носителе не одну, а несколько линейно независимых, ортогональных стандартных финитных
функций, например таких
Слайд 2108/13/2019
Двумерные финитные функции на треугольной сетке
Каждая пара треугольников имеет либо
одну общую вершину, либо одну общую сторону, либо не пересекается.
Объединение
Узлы
сетки обозначим
Слайд 2208/13/2019
Финитная функция на треугольных конечных элементах
определим кусочно-линейную функцию
, которая
в точке Pk равна единице, а в точках Pi, Pj равна нулю
Слайд 2408/13/2019
Финитные функции на тетраэдрах
Трехмерная область Ω при выборе базиса вместо
треугольной сетки покрывается сеткой из тетраэдров ∆kijl. Конечный элемент Ωk
, связанный с узлом Pk(xk, yk, zk), состоит из тетраэдров, имеющих вершину Pk. Финитная функция ϕk(x, y, z) строится из кусочно линейных функций тетраэдраКоэффициенты находятся из решения системы
