Лекции 1-2. Электрическое поле системы неподвижных зарядов в вакууме. Теорема

Гаусса для электростатического поля

линии.
Принцип суперпозиции и его применение к расчету поля системы неподвижных

зарядов.
Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Потенциал поля.
Циркуляция вектора напряженности.
Связь напряженности и потенциала.
Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах. (Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей).
Уравнение Пуассона.

из основных, первичных, неотъемлемых характеристик (m, q, s) элементарных частиц
Элементарный

электрический заряд (е= 1,6.10-19Кл)
Заряд частицы:
электрон qe=  e протон qp= +e нейтрон qn= 0
Из этих элементарных частиц построены атомы и молекулы любого вещества. Обычно частицы, несущие заряды разных знаков, присутствуют в равных количествах и распределены в теле с одинаковой плотностью. В этом случае тело в целом остается электрически нейтральным.

Электрический заряд - квантуется
Если каким –либо внешним образом (например, путем трения) создать в теле избыток заряженных частиц одного знака (и соответственно недостаток частиц с зарядом противопо-ложного знака) – тело окажется заряженным, т. е. приобретет некоторый электрический заряд Q, который можно представить как:
Q = ± N.e , где N – число элементарных заряженных частиц

заряд очень мал, то образующийся в теле макроскопический заряд Q

можно считать изменяющимся непрерывно. Поэтому с целью упрощения дальнейших математических расчетов заменяют истинное распределение элементарных дискретных зарядов фиктивным непрерывным распределением и вводят соответствующую геометрии тела плотность электрического заряда:
линейная плотность заряда, [Кл/м],
поверхностная плотность заряда, [Кл/м2],
объемная плотность заряда, [Кл/м3],
где dq – элементарный заряд, заключенный соответственно на элементарной длине dl, на элементарной поверхности dS или в элементарном объеме dV.

заряда не зависит от того, движется этот заряд или покоится,

т.е. величина заряда, измеряемая в различных инерциальных системах отсчета, оказывается одинаковой (инвариантной).

Закон сохранения электрического заряда
Суммарный заряд электрически изолированной системы не изменяется.
Электрические заряды всегда возникают или исчезают парами с противоположными знаками. Например, электрон и позитрон при встрече аннигилируют, превращаясь в нейтральные фотоны; при этом исчезают заряды «-е» и «+е». А в ходе процесса, называемого рождением электронно-позитронной пары, фотон, попадая в поле атомного ядра и взаимодействуя с протоном, превращается в электрон и позитрон; при этом возникают заряды «-е» и «+е».
Замечание: Закон сохранения электрического заряда тесно связан с его релятивистской инвариантностью. Так как, если бы величина заряда зависела от его скорости, то, приведя в движение заряды одного знака, мы изменили бы суммарный заряд изолированной системы в целом.

и отрицательный; их существование проявля-ется в силовом взаимодействии, которое, как

эксперимен-тально (на крутильных весах) установил в 1785 г. О. Кулон, подчиняется закону:


Сила взаимодействия двух неподвижных точечных зарядов (q1, q2) пропорциональна величине каждого из зарядов и обратно пропорциональна квадрату расстояния между ними (r); направление этой центральной силы зависит от знаков зарядов.

Закон Кулона

зарядов не изменяется, если вблизи них поместить другие заряды. Иначе

говоря, результирующая сила F, с которой действуют на некоторый выбранный заряд qa все N-другие заряды qi определяется как:
сила, с которой действует на заряд qa заряд qi в отсутствие остальных (N-1)-зарядов.

взаимо-действие между покоящимися зарядами осуществляется через электрическое поле. Всякий неподвижный

электрический заряд q изменяет определенным образом свойства окружающего его пространства, как говорят, создает в пространстве электростатическое поле. Это поле проявляет себя в том, что помещенный в какую-либо его точку другой, пробный заряд qпр. испытывает действие силы Кулона F:



Замечание: Под пробным зарядом qnp. следует понимать единичный, точечный, неподвижный, положительный заряд.

точке А пространства используют вектор напряженности Е, который задают как:

Т.е.

вектор напряженности можно определить как силу, действующую на пробный заряд, помещенный в данную точку поля. В связи с этим напряженность Е считают силовой характеристикой электрического поля.
Напряженность поля точечного заряда
Из формул (1) и (2) следует, что напряженность электростатического поля точечного заряда пропорциональна величине этого заряда q и обратно пропорциональна квадрату расстояния r от заряда до рассматриваемой точки поля, т.е.


Замечание: Размерность вектора Е в системе СИ – [В/м].

Напряженность электростатического поля

характеризуемое совокупностью векторов Е в каждой точке пространства. Геометрически принято

изображать векторное поле Е с помощью линий напряженности - их называют силовыми линиями электрического поля. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота (плотность) линий, пронизывающих единичную ортогональную площадку в данной точке, была равна модулю этого вектора. По полученной картине силовых линий легко судить о конфигурации (топологии) и величине (интенсивности) электрического поля.



Свойство силовых линий: Линии Е - незамкнутые линии, они нигде, кроме зарядов, не начинаются и не заканчиваются.

– система из двух одинаковых по величине разноименных точечных зарядов

(+q, -q), находящихся друг от друга на достаточно малом расстоянии l.

Силовые линии

зарядов
Принцип суперпозиции электрических полей
Определение: Напряженность поля системы точечных неподвижных зарядов

равна векторной сумме напряженностей полей, создаваемых каждым из зарядов системы в отдельности, т.е.:


где ri – расстояние между зарядом qi системы и рассматриваемой точкой поля.
Общая задача электростатики
С помощью принципа суперпозиции и знания величины заряда q можно решить общую задачу электростатики:
по известной форме заряженного объекта и закону распределения заряда (дискретно или непрерывно) – рассчитать электрическое поле объекта.

зарядов
Метод расчета электростатических полей
В случае непрерывного распределения заряда по объему

тела V его протяженные заряды разбивают на достаточно малые элементы величиной dq = ρ .dV, поля которых вычисляют по формуле (3), и вместо суммирования по формуле (4) проводят интегрирование по всему заряженному объему:




Замечание: В общем случае расчет по формуле (5) требует значительных вычислительных затрат: для нахождения вектора Е надо сначала вычислить интегралы для его проекций Ex, Ey, Ez. И только в тех случаях, когда система зарядов обладает той или иной симметрией, задача упрощается.

условию: заряд q > 0 равномерно распределен по тонкому кольцу

радиуса R.
Найти: напряженность Е поля на оси кольца как функцию расстояния z от его центра.
Решение: легко сообразить, что в силу симметрии задачи, вектор Е направлен по оси кольца; выделим на кольце около т. А элемент контура dl и запишем выражение для проекции dEz напряженности поля от этого участка в т. С:
здесь λ = q/2.π.R – линейная плотность заряда на кольце, cosα= z/r = z/√(R2+z2); с учетом постоянства r и α для всех элементов кольца интегрирование (6) дает

dEz

dE

A

r

z

R

C

0

α

dl

Принцип суперпозиции и его применение к расчету поля системы неподвижных зарядов

q

перемещении заряда
Рассматривается поле, создаваемое неподвижным точечным зарядом q. В любой

точке А этого поля на помещенный пробный заряд qnp действует сила Кулона:


Работа этой центральной силы не зависит от траектории, а определя- ется только положением начальной т. 1 и – конечной т. 2 перемещения заряда qnp, т.е. А12= Ã12, и вычисляется как:


Работа сил консервативного поля может быть представлена также как убыль потенциальной энергии:

A12= WP1 - WP2 (10)

потенциальная энергия пробного заряда в поле заряда q:


Отношение WP /qnp

не зависит от пробного заряда и используется для характеристики поля, его принято называть потенциалом электрического поля в данной точке:


Определение 1: Потенциал численно равен потенциальной энергии, которой обладал бы в данной точке поля единичный положительный точечный заряд. Поэтому потенциал рассматривается как энергетическая характеристика поля.
Потенциал точечного заряда q:

Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Потенциал поля

точечных зарядов
При рассмотрении электростатического поля, создаваемого системой точечных зарядов {q1,q2,…qi,…qN}

можно утверждать, что работа сил этого поля над пробным зарядом равна алгебраической сумме работ сил, обусловленных действием каждого заряда qi системы в отдельности:


После «нормировки» выражения энергии Wp для некоторой точки на qnp получаем потенциал электрического поля системы зарядов как алгебраическую сумму потенциалов, созданных каждым из зарядов в отдельности:

следует, что заряд q, находящийся в точке поля с потенциалом

φ, обладает потенциальной энергией Wp= q . φ. Следовательно, работу сил поля над зарядом q можно представить через разность потенциалов:

Если заряд q из точки с потенциалом φ удаляется на бесконечность (где φ∞= 0), то эта работа будет:

Определение 2: Потенциал численно равен работе, которую совершают силы поля над единичным положительным зарядом при удалении его из данной точки поля на бесконечность.
Замечание: Единицей измерения потенциала φ в системе СИ является 1 [B] – это такой потенциал в точке поля, для перемещения в которую из бесконечности заряда q = 1 Кл нужно совершить работу А = 1 Дж.

Работа электростатического поля при перемещении зарядов. Потенциал поля

Е, работу по перемещению заряда qnp можно определить как линейный

интеграл:

Как известно, работа кулоновских сил (как консервативных сил) не зависит от направления перемещения (от пути), т.е. А1а2= Ã1в2. Следовательно можно утверждать, что работа этих сил по замкнутому контуру равна 0. Для этого определяют линейный интеграл по замкнутому контуру L, который в «теории поля» принято называть циркуляцией:

Представление интеграла (19) в виде суммы двух линейных интегралов и с учетом, что А2в1=-Ã1в2, доказывает положение о работе по замкнутому контуру:

Циркуляция вектора напряженности

(19) на величину qnp получаем выражение для записи теоремы о

циркуляции вектора Е:


Определение: Циркуляция вектора напряженности электростати-ческого поля равна нулю.
Замечание: Принято называть векторное поле, подчиняющееся условию (21) – потенциальным. Следовательно, электростатическое поле – потенциальное поле.
Теорема о циркуляции вектора Е подтверждает положения о конфигурации электростатического поля: силовые линии поля (линии Е) не могут быть замкнутыми, эти линии всегда начинаются на положительных зарядах и заканчиваются на отрицательных (или уходят в бесконечность). Если бы это было не так – мы сразу же пришли бы к противоречию с теоремой о циркуляции и получили бы интеграл вида (21), неравный нулю.

пропорцио-нальна силе, действующей на заряд, а потенциал φ пропорционален потенциальной

энергии заряда, то между Е и φ должна существовать связь, аналогичная известной связи между потенциальной энергией и силой, т.е.


После подстановки в (22) выражений для силы F = q . Е и энергии Wp= q . φ и сокращения на постоянную величину q окончательно получаем:
Раскрыв оператор набла, можно записать для проекций вектора Е:

Аналогично для проекции вектора Е на направление силовой линии:

Связь напряженности и потенциала

работы сил поля по перемещению заряда q из т. 1

в т. 2: и приравняем его выражению для той же работы через разность потенциалов: A12= q.(φ1-φ2).
После сокращения на величину q получаем связь разности потенциалов между рассматриваемыми точками электри-ческого поля и его напряженностью:


Эквипотенциальные поверхности и силовые линии поля
Определение: Поверхность, во всех точках которой потенциал имеет одно и то же значение, называется эквипотенциальной.
Так как вдоль этой поверхности dφ = 0, то и составляющая вектора Е, касательная к поверхности, также

Таким образом, вектор Е в каждой точке поля направлен по нормали к эквипотенциальной поверхности, проходящей через данную точку.

Связь напряженности и потенциала

сам вектор Е направлен по касательной к силовой линии поля,

то и силовые линии (линии Е) в каждой точке ортогональны эквипотенциальным поверхностям. Причем в соответствии с фундаментальной связью Е и φ эти линии направлены в сторону уменьшения потенциала поля.
Замечание: Эквипотенциальную поверхность можно провести через любую точку поля; следовательно, таких поверхностей может быть проведено бесконечное множество. Однако, целесообразно их проводить так, чтобы разность потенциалов (φ1- φ2) для двух соседних поверхностей была бы постоянной. Тогда по густоте эквипотенциальных поверхностей (или их сечений плоскостью рисунка – эквипотенциалей) можно судить о значении напряженности поля в разных точках. Чем гуще располагаются поверхности (эквипотенциали), тем быстрее изменяется потенциал при перемещении вдоль нормали к поверхности, а значит больше Е – силовые линии сгущаются.

Поле
точечного заряда

некоторого вектора Е через замкнутую поверхность S интеграл вида:


Так как

густота силовых линий поля численно равна модулю вектора Е, то можно считать, что число силовых линий, пронизы- вающих малую площадку dS, представляет элементарный поток вектора Е: dФЕ=Е .dS, а поверхностный интеграл (27) можно рассматривать как полное число силовых линий поля, пронизывающих всю поверхность S
Теорема Гаусса в электростатике
Определение: Поток вектора Е через замкнутую поверхность равен алгебраической сумме зарядов, заключенных внутри этой поверхности, деленной на ε0.

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах

заряд произвольной замкнутой поверхностью S и определим поток вектора Е

сквозь ее элемент dS:


Вводя телесный угол dΩ, лучи которого выходят из заряда и опираются на площадку dSп, перпендикулярную радиусу- вектору r (по которому направлен Е), и в соответствии с геометрическим соотноше- нием dSn=r2.dΩ выражение (29) принимает вид:

Интегрирование последнего выражения сводится к интегрированию по всему телесному углу Ω и приводит к доказательству теоремы:

r

dΩ

dS

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах

S

E

q

dSn

его знак совпадает со знаком заряда q. Отсутствие каких-либо зарядов

в объеме V, ограниченном замкнутой поверхностью S (или их полная компенсация), определяет нулевой поток Е через рассматриваемую поверхность; на рисунке это изображается одним и тем же количеством силовых линий поля, вошедших в объем и вышедших из него.
В случае, когда электрическое поле созда- ется системой зарядов {q1,q2,…,qi}, то согла- сно принципу суперпозиции Е=Е1+Е2+…,+Еi поток результирующего вектора Е:



Последний результат еще раз доказывает теорему Гаусса.

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах

объемной плотностью заряда ρ, можно считать, что каждый элементарный объем

dV содержит элементарный заряд dq =ρ.dV, и тогда в правой части выражения (28) для теоремы Гаусса имеем вместо суммы точечных зарядов интеграл по объемному заряду, а теорема Гаусса в целом принимает так называемую интегральную форму:

Дифференциальная форма теоремы Гаусса
Согласно теореме Остроградского-Гаусса имеем:
Приравнивая правые части последнего выражения и формулы (30), получаем уравнение которое будет выполняться для любого произвольного объ-ема при соблюдении условия:
Формула (31) является дифференциальной формой теоремы Гаусса
Замечание: Дивергенция определяет удельную мощность источников (или стоков) рассматриваемого векторного поля.

Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема Гаусса в интегральной и дифференциальной формах

всех точках плоскости равна σ. Из симметрии задачи следует, что

вектор Е перпендикулярен заряженной плоскости, одинаков по модулю и противоположен по направлению в симметричных относительно плоскости точках.
Выбрав в качестве замкнутой поверхности цилиндрическую поверхность с образующими, перпендикулярными к плоскости, и основаниями величиной ∆S, применим теорему Гаусса. Поток Е через боковую поверхность цилиндра равен 0, а - через каждое основание ФЕ0=Е. ∆S; следовательно суммарный поток ФЕ=2ФЕ0=2Е.∆S. Заряд, заключенный внутри цилиндра σ.∆S, таким образом, согласно теореме Гаусса имеем уравнение:
2Е.∆S = σ.∆S/ε0 или Е = σ/2ε0
Полученный результат свидетельствует об однородности поля.

Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

∆S

E

E

поверхностью радиуса r0, заряженной равномерно так, что на единицу ее

длины приходится заряд λ.
Из соображений симметрии следует, что поле здесь имеет радиальный характер, т.е. Е ┴ ОО’, а модуль – Е(r). Выбрав в качестве гауссовой поверх- ности коаксиальный цилиндр радиуса r, определим поток вектора Е через его боковую поверхность: ФЕ= Еr.2πr.h где Еr – радиальная проекция Е (поток через основания цилиндра равен 0). Таким образом, согласно теореме Гаусса получаем уравнение для случая r ≥ r0: Еr.2πr.h = λ.h/ε0 , откуда следует, что Е(r) = Er= λ/2πε0r .
В случае r < r0 гауссова поверхность не содержит внутри себя зарядов, поэтому в этой области поле отсутствует: Е = 0.

Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

шара радиуса R. Поле такого заряженного объекта, очевидно, - центрально-симметричное,

т.е. для него Е = f(r) и, следовательно, в качестве гауссовой поверхности здесь следует выбрать концентрическую сферу радиуса r.

Применение теоремы Гаусса для расчета электростатических полей

В случае r ≤ R гауссова поверхность будет «охватывать» заряд величиной q.(r/R)3 (так как он пропорционален объему рассматриваемой сферы 4/3.πr3, а весь заряд равномерно распределен по объему шара V= 4/3.πR3 ), поэтому здесь имеем: Еr.4πr2 = 1/ε0.q(r/R)3; откуда следует, что
Er= q/4πε0.(r/R3).
Для случая поля вне шара при r > R имеем уравнение, отвечающее теореме Гаусса: Еr.4πr2 = q/ε0 , откуда следует, что
Е(r) = Er= q/4πε0r2.

зарядов неизвестно, но заданы потенциалы проводников (заряженных тел), их форма

и относительное расположение. Требуется определить потенциал φ(r) в любой точке электрического поля между проводниками.
Определим дифференциальное уравнение, которому должна удовлетворять потенциальная функция φ(r). Для этого в дифференциальную форму теоремы Гаусса ▼.Е = ρ/ε0 вместо вектора Е подставим его выражение через потенциал Е = ▼φ, в результате получим общее дифференциальное уравнение для потенциала – уравнение Пуассона:
▼.(▼φ) = ρ/ε0 или ▼2φ =  ρ/ε0 , (32)
где оператор Лапласа в декартовой системе координат
Уравнение Лапласа
Если между проводниками нет зарядов (ρ=0), то уравнение (32) переходит в более простое уравнение Лапласа:
▼2φ = 0 (33)

которая во всем пространстве между проводниками удовлетворяет либо уравнению Пуассона,

либо уравнению Лапласа, а на поверхностях самих проводников принимает известные значения: φ1,φ2 и т.д. Эта задача имеет единственное решение.
В теории это утверждение носит название теоремы единственности. С физической точки зрения этот вывод очевиден: если решение не одно, то будет не один потенциальный «рельеф», следовательно, в каждой точке поле Е, вообще,- неоднозначно… Т.е. мы пришли к физическому абсурду.
По теореме единственности можно также утверждать, что заряд на поверхности проводника в статическом случае распределяется тоже единственным образом.
Решение уравнений (32) или (33) – задача очень сложная. Однако использование теоремы единственности весьма облегчает решение ряда электростатических задач. А, если решение найдено и оно удовлетворяет тому, или иному уравнению, то можно утверждать, что полученное решение является правильным и единственным.