Лекционный курс по дисциплине: Статистические методы обработки данных

получить на экзамене от 4 до 9 баллов.

того, чтобы отнести объект или индивидуум в определенный класс (Распределения

значений, то математическое ожидание случайной величины определяется как среднее значение

ожидания, называется дисперсия

характеристики меры рассеяния значений случайной величины относительно математического ожидания пользуются

математического ожидания генеральной совокупности:
Выборочная дисперсия, служащая несмещенной оценкой дисперсии генеральной

Выборочное среднеквадратическое (стандартное) отклонение:

устанавливает зависимость между возможными значениями случайной величины и их вероятностями

графика, таблицы или аналитического выражения:
P = f(x)

Характеристики распределения Гаусса:
Нормальное распределение величины x описывается следующей функцией:

x, определяется выражением

закону с математическим ожиданием  и средним квадратическим отклонением ,

рассматриваемую гипотезу необходимо выработать некоторый критерий, который называют критерием согласия

общее число наблюдений, pk ─ вероятность появления k-го значения в

Критерий согласия 2 (хи-квадрат)

В качестве меры расхождения между эмпирическим и теоретическим законами распределения Пирсоном была предложена статистика

критериев основано на использовании рангов наблюдений.
Рангом наблюдения называют тот номер,

выборки встречаются совпадающие. В этом случае обычно используют средние ранги.

используется случайная величина
Здесь Rj – ранги наблюдений второй выборки в

об однородности выборок при альтернативной гипотезе H1: Fx(x) > Fy(y)

Гипотезу об однородности выборок следует отвергнуть с уровнем значимости α, если рассчитанное значение статистики W больше критического значения.

следующий:
Вычисляются абсолютные разности наблюдений в паре:


Осуществляется ранжирование этих разностей в

рангов, которая образует статистику T.

Проверяется, принадлежит ли вычисленное значение T

статистики T


то гипотеза об однородности двух выборок отклоняется при уровне

При альтернативной гипотезе H1: распределение разности смещено вправо относительно нуля, гипотеза об однородности отклоняется, если вычисленное значение статистики T превышает критическое значение

величину
Рассмотрим простейший случай дисперсионного анализа, когда изучается влияние на исследуемую

оценка дисперсии генеральной совокупности

гипотезы любая из выборочных дисперсий дает одинаково хорошую оценку. Поэтому

совокупности по выборочным средним. Поскольку мы предположили, что все выборки

Отсюда находим межгрупповую оценку дисперсии

проверки гипотезы H0 сводится к проверке гипотезы о равенстве дисперсий

в случае справедливости нулевой гипотезы подчиняется F-распределению с l1 = k-1 и l2 = k(n-1) числом степеней свободы.

на исследуемый признак считается значимым с уровнем значимости α, если
т.

в общем случае обычно представляют в виде следующей таблицы

величину могут оказывать влияние два фактора A и B, каждый

пересекающимися, если в плане эксперимента предусмотрены все возможные сочетания факторов.

каждый уровень фактора B сочетается не более, чем с одним

выборку из генеральной совокупности, получим оценку генерального среднего в виде
и

совокупности сумму квадратов можно представить в виде суммы четырех отдельных

характеризует разброс наблюдаемых значений между столбцами (уровнями фактора A) таблицы данных

характеризует разброс наблюдаемых значений между строками (уровнями фактора B) таблицы

квадратов

каждой суммы квадратов, получим следующие выражения для оценок дисперсий:

α2 = ... = αk = 0 проверяется с помощью

Гипотеза H0 : β1 = β2 = ... = βn = 0 проверяется с помощью отношения

факторами (гипотеза об аддитивности) проверяется с помощью отношения

таблицей

сочетается не более, чем с одним уровнем фактора A.
Двухфакторный дисперсионный

виде следующей таблицы

вид:
для гипотезы H0: σb(a) = 0
для гипотезы H0: все αi

y выражается функцией y = f(x), где каждому значению x

Для случайных величин X и Y такую зависимость можно установить не всегда. Связь между случайными величинами является не функциональной, а случайной (стохастической), при которой изменение переменной X влияет на значения переменной Y через изменение закона распределения случайной величины Y.

между отдельными группами переменных и установление тесноты (силы) связи между

отношения ρ2xy переменной X по Y. Однако между ρ2yx и

Очевидно, что 0 ≤ ρ2yx ≤ 1. Стремление ρ2yx к нулю означает, что доля дисперсии, обусловленная функциональной связью, очень мала. Наоборот, стремление ρ2yx к единице показывает, что случайными изменениями Y можно пренебречь и вся дисперсия обусловлена функциональной зависимостью Y = ϕ(X).

носит название корреляционного отношения, которое является показателем статистической связи между

r2 связаны неравенствами
При этом возможны следующие варианты:
r2 = ρ2yx=1 только

связи между двумя случайными количественными переменными X и Y следует

переменными величинами следует решить следующие задачи:

подобрать класс функций, в котором

линейная модель, имеющая следующий вид:

где εi – некоррелированные между собой

регрессии, определяющих наиболее удовлетворяющую экспериментальным данным прямую линию:

применяется метод наименьших

Согласно методу наименьших квадратов оценки параметров a и b находят из условия минимизации суммы квадратов отклонений значений yi по вертикали от “истинной” линии регрессии:

по a и b:

В результате получим следующую систему уравнений для

в виде:

Простая линейная регрессия

можно записать в виде:

линии регрессии дается выражением (остаточная дисперсия)

Простая линейная регрессия

реализацией случайной величины, математическое ожидание которой равно нулю, т. е.

Проверку значимости линии регрессии можно провести с помощью дисперсионного анализа.

следующей таблице дисперсионного анализа

то, что никакая другая модель не дает значимого улучшения в

Если все значения откликов получены при разных значениях x, т. е. нет нескольких значений отклика, полученных при одинаковых xi, то можно провести лишь ограниченную проверку адекватности линейной модели. Основой для такой проверки являются остатки:

- отклонения от установленной закономерности:

детерминации R2, показывающий, какую часть (долю) сумма квадратов, обусловленная регрессией

Чем ближе R2 к единице, тем лучше регрессия аппроксимирует экспериментальные данные, тем теснее наблюдения примыкают к линии регрессии. Если R2 = 0, то изменения отклика полностью обусловлены воздействием неучтенных факторов, и линия регрессии параллельна оси x-ов. В случае простой линейной регрессии коэффициент детерминации R2 равен квадрату коэффициента корреляции r2 .

достигнуто только в случае, когда наблюдения проводились при различных значениях

Коэффициент детерминации

рассматривать только при наличии в уравнении регрессии свободного члена a,

Коэффициент детерминации

двум выборкам. Это можно сделать тремя способами:

Сравнить коэффициенты наклона b
Сравнить

наклоне двух прямых регрессии, критерий Стьюдента t вычисляется по формуле:

где

Затем вычисленное значение t сравнивают, с критическим значением, имеющим n1+n2–4 степени свободы.

наблюдений, то стандартная ошибка разности

Если же объемы выборок различны, следует

Тогда стандартная ошибка разности

а2. В этом случае
где a1–a2 — разность коэффициентов сдвига, a

Затем вычисленное значение t сравнивают, с критическим значением, имеющим n1+n2–4 степени свободы.

следующий:
Построить прямую регрессии для каждой из выборок.
По остаточным дисперсиям

множественной линейной регрессии аналогичны тем, которые применялись для простой линейной

наименьших квадратов нужно минимизировать по этим параметрам выражение

нормальных уравнений для нахождения оценок параметров:

из коэффициентов b0 , b1, …, bk , y –

для D можно представить в матричном виде:
тогда вектор оценок b

решение которой имеет вид:

проводится в следующей таблице: