Лекция 2. Работа с векторами и матрицами в MATLAB

и матрицами.
Одномерный массив – вектор;
Двумерный массив – матрица.

Работа с векторами:

или Получение элемента вектора:

Работа с матрицами:





Быстрые способы задания векторов:
(применяются при дискретизации расчетной области, задании «сеток» и пр.)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Лекция 2

A=[1 3 5 -2]

A=[1,3,5,-2]

>> A=[1:6]
A =
1 2 3 4 5 6

>> A=[0:0.5:2]
A =
0 0.5 1 1.5 2

>> B=[1 2 3; 4 5 6]
B =
1 2 3
4 5 6

>> B=[1, 2, 3; 4, 5, 6]
B =
1 2 3
4 5 6

>> A(2)
ans =
3

>> B(2,1)
ans =
4

ZEROS(N) ZEROS(M,N)

ONES(N) ONES(M,N)




EYE(N) EYE(M,N)





RAND(M,N) – случайные числа

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Лекция 2

>> zeros (3)
ans =
0 0 0
0 0 0
0 0 0

>> zeros (3,2)
ans =
0 0
0 0
0 0

>> ones(2)
ans =
1 1
1 1

>> ones(2,3)
ans =
1 1 1
1 1 1

>> eye(3)
ans =
1 0 0
0 1 0
0 0 1

>> eye(2,3)
ans =
1 0 0
0 1 0

Работа с размерностью

SIZE( ) LENGTH( ) NDIMS(A)






Конец массива ( end )
Динамическая работа с памятью

A =
0 1 2
1 2 3
>> size(A)
ans =
2 3

A =
0 1 2
1 2 3
>> length(A)
ans =
3

A =
0 1 2
1 2 3
>> ndims(A)
ans =
2

>> x=[1 2 3]
x =
1 2 3
>> x(end) x(length(x))
ans =
3
>> x(end+1)=6
x =
1 2 3 6

выбирать целые строчки или столбцы или их части:












МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Лекция 2
>>

B=[1, 2, 3; 4, 5, 6]

>> B(1,:)
ans =
1 2 3

>> B(:,2)
ans =
2
5

>> B(2,2:3)
ans =
5 6

>> B(end+1,:)=[0 -1 2]
B =
1 2 3
4 5 6
0 -1 2

Рассмотреть пример с матрицей большой размерности… (например, перестановка строк или умножение всей строки на число или вставка единичной матрицы в центр более крупной)

Удаление строк и столбцов
Используется запись [ ]:












Функция « sum (X) »
Как найти разность всех элементов массива?
Как сумму всех четных элементов массива?

>> x=[1 2 3 4 5 6 7]

>> x(3)
ans =
3

>> x(3)=[]
x =
1 2 4 5 6 7

>> length(x)
ans =
6

>> B=[1, 2, 3; 4, 5, 6]
B =
1 2 3
4 5 6

>> B(:,2)=[]
B =
1 3
4 6

независимых векторов. Сортировка элементов в рамках какого-то вектора по возрастанию-убыванию:

SORT(X,DIM,MODE)

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Лекция 2

B = [1 2 -3; 4 5 -6; 0 -1 -2]

B =
1 2 -3
4 5 -6
0 -1 -2
>> sort(B)
ans =
0 -1 -6
1 2 -3
4 5 -2

>> sort(B,2)
ans =
-3 1 2
-6 4 5
-2 -1 0

Фукция « max »

MAX(X)
[Y,I]=MAX(X)
MAX(X,Y)
MAX(X,[],DIM)









Фукция « min »
Аналогично функции max

Как найти самый большой элемент в матрице?

B = [1 2 -3; 4 5 -6; 0 -1 -2]

>> max(B)
ans =
4 5 -2

>> [Y,I]=max(B)
Y =
4 5 -2
I =
2 2 3

MODE:
‘ascend‘ – по возрастнию
‘descend' – по убыванию

] )
Объединение (cat(dim, A1, A2, A3, A4 ...)) -  объединяет

множество исходных массивов Ai вдоль размерности dim. При этом если dim =1, объединение вдоль строк; dim =2, объединение вдоль столбцов.
Транспонирование (Транспонирование матрицы, так же как и вектора, производится при помощи «.’»)
Сложение (+)
Вычитание (-)
Умножение (деление) , Возведение в степень
(- а вот a*b, a/b, a^b - этo мaтpичныe oпepaции! (cм. пpaвилa yмнoжeния/дeлeния/cтeпeни матриц) Эти операции требуют определеных свойств входных параметров )
Поэлементная операция умножения (деления) (a.*b, a./b, a.^b - этo пoэлeмeнтныe oпepaции!) . Иные поэлементные операции (сложение-вычитание, возведение в степень и пр.)
Обозначение: .* ./ .^

Математические функции:
Нахождение обратной матрицы ( INV(x) или символ « ‘ »)
Определитель матрицы ( det(A) )
Собственные значения матрицы

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Лекция 2

специального вида
ZEROS - формирование массива нулей
ONES - формирование массива единиц
EYE - формирование единичной

матрицы
RAND - формирование массива элементов, распределенных по равномерному закону
RANDN - формирование массива элементов, распределенных по нормальному закону
CROSS - векторное произведение
KRON - формирование тензорного произведения
LINSPACE - формирование линейного массива равноотстоящих узлов
LOGSPACE - формирование узлов логарифмичесокй сетки
MESHGRID - формирование узлов двумерной и трехмерной сеток
: - формирование векторов и подматриц

Операции над матрицами
DIAG - формирование или извлечение диагоналей матрицы
TRIL - формирование нижнетреугольной матрицы (массива)
TRIU - формирование верхнетреугольной матрицы (массива)
FLIPLR - поворот матрицы относительно вертикальной оси
FLIPUD - поворот матрицы относительно горизонтальной оси
ROT90 - поворот матрицы на 90 градусов
RESHAPE - преобразование размеров матрицы
Специальные матрицы
COMPAN - сопровождающая матрица характеристического многочлена
HADAMARD - матрица Адамара (Hadamard matrix)
HANKEL - матрица Ганкеля (Hankel matrix)
HILB, INVHILB - матрица Гильберта (Hilbert matrix)
MAGIC - магический квадрат
PASCAL - матрица Паскаля (Pascal matrix)
ROSSER - матрица Рессера (Rosser matrix)
TOEPLITZ - матрица Теплица (Toeplitz matrix)
VANDER - матрица Вандермонда (Vandermonde matrix)
WILKINSON - матрица Уилкинсона (Wilkinson matrix)

3-мя методами: Метод простой итерации, Метод половинного деления, Метод Ньютона.

Задание

2: Решить систему линейных алгебраических уравнений методом Крамера, методом Гаусса, методом обратной матрицы с использованием модификаций Гаусса.

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МЕТОДЫ. Лекция 1