Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Лекция 3 Случайные величины
Содержание
- 1. Лекция 3 Случайные величины
- 2. Случайные величины Одним из важнейших понятий теории вероятностей
- 3. Случайные величины (сокращенно: СВ) обозначаются прописными латинскими
- 4. Случайной величиной X называется числовая функция, определенная
- 5. Закон распределения дискретной случайной величины Пусть X —
- 6. Для ДСВ X закон распределения может быть
- 7. Так как события несовместны и образуют полную группу, то сумма их вероятностей равна единице
- 8. ПримерОпределить, какая из таблиц может быть рядом распределения некоторой СВ:1.2.
- 9. ПримерСВ задана рядом распределения:Найти значение
- 10. Функция распределения и ее свойства Универсальным способом задания
- 11. Функцией распределения СВ X называется функция
- 12. Свойства функции распределения1. ограничена, т.е. 2.
- 13. Слайд 13
- 14. ПримерНайти функцию распределения СВ X, заданной рядом распределенияРешение.
- 15. Плотность распределения и ее свойства Случайную величину X
- 16. Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей
- 17. Функцию называют также дифференциальной функцией распределения;
- 18. Свойства плотности распределения
- 19. 3. Функция распределения НСВ может быть выражена
- 20. ПримерЗадана функция распределения НСВ X:Найти: а) плотность распределения СВ и построить графикиБ)
- 21. Решение.
- 22. Числовые характеристики случайных величин Закон распределения полностью характеризует
- 23. Математическое ожидание случайной величины Математическим ожиданием (или средним
- 24. Математическим ожиданием НСВ X с плотностью вероятностей
- 25. Дисперсия Дисперсией (рассеянием) СВ X называется математическое ожидание
- 26. Свойства дисперсииДисперсия постоянной равна нулю. Постоянный множитель
- 27. Среднее квадратическое отклонение Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата
- 28. ПримерНайти числовые характеристики СВ X, заданной рядом распределенияРешение.
- 29. Основные законы распределения случайных величинБиномиальный закон распределения Дискретная
- 30. Числовые характеристики Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей биномиальное распределение равно дисперсия:среднеквадратическое отклонение
- 31. Распределение Пуассона Дискретная случайная величина X имеет распределение
- 32. Числовые характеристики Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей распределение Пуассона равно дисперсия:
- 33. Равномерный закон распределения Непрерывная СВ X имеет равномерное
- 34. Функция распределения имеет вид:График функции распределения имеет вид:
- 35. Числовые характеристики Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей равномерное распределение равно дисперсия:Вероятность попадания СВ в интервал
- 36. Скачать презентанцию
Случайные величины Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным событием и вероятностью) является понятие случайной величины. Под случайной величиной понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение,
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Случайные величины
Одним из важнейших понятий теории вероятностей (наряду со случайным
событием и вероятностью) является понятие случайной величины.
понимают величину, которая в результате опыта принимает то или иное значение, причем неизвестно заранее, какое именно.
Слайд 3 Случайные величины (сокращенно: СВ) обозначаются прописными латинскими буквами: X, Y,…
а
принимаемые ими значения соответственно малыми буквами: x, y,…
Случайная величина,
принимающая конечное или счетное множество значений, называется дискретной (сокращенно: ДСВ).Если же множество возможных значений СВ несчетно, то такая величина называется непрерывной (сокращенно: НСВ).
Слайд 4 Случайной величиной X называется числовая функция, определенная на пространстве элементарных
событий
которая каждому элементарному событию
ставит в соответствие число Пример. Опыт состоит в бросании монеты 2 раза. Рассмотрим СВ — число появлений герба в данном опыте.
Слайд 5Закон распределения дискретной случайной величины
Пусть X — ДСВ, которая принимает
значения с некоторыми вероятностями
Закон
распределения ДСВ удобно задавать с помощью формулы определяющей вероятность того, что в результате опыта СВ примет значение
Слайд 6 Для ДСВ X закон распределения может быть задан в виде
таблицы распределения:
где первая строка содержит все возможные значения (обычно в
порядка возрастания) СВ, а вторая — их вероятности. Такую таблицу называют рядом распределения.
Слайд 7 Так как события
несовместны и образуют полную группу, то сумма
их вероятностей равна единице
Слайд 10Функция распределения и ее свойства
Универсальным способом задания закона распределения вероятностей,
пригодным как для дискретных, так и для непрерывных случайных величин,
является ее функция распределения, обозначаемая
Слайд 11 Функцией распределения СВ X называется функция
которая для любого числа равна вероятности события
Таким образом,
по определениюГеометрически это равенство означает, что случайная точка X попадет в интервал
Слайд 12Свойства функции распределения
1. ограничена, т.е.
2. — неубывающая функция
, т. е. если , то
обращается в ноль на минус бесконечности и равна единице в плюс бесконечности.Вероятность попадания СВ X в проме-жуток равна приращению ее функции распределения на этом промежутке, т. е.
Слайд 13 непрерывна слева.
Всякая
функция F(x), обладающая свойствами 1-3, 5, может быть функцией распределения
некоторой случайной величины.Функция распределения ДСВ имеет вид
Слайд 15Плотность распределения и ее свойства
Случайную величину X называют непрерывной, если
ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду,
кроме, может быть, отдельных точек.Важнейшей характеристикой непрерывной случайной величины (помимо функции распределения) является плотность распределения вероятностей.
Слайд 16 Плотностью распределения вероятностей (плотностью распределения, плотностью вероятностей или просто плотностью)
непрерывной случайной величины X называется производная ее функции распределения.
Обозначается плотность
распределения НСВ: 
Слайд 17 Функцию называют также дифференциальной функцией распределения;
она является одной
из форм закона распределения случайной величины,
существует только для непрерывных
случайных величин.
Слайд 18Свойства плотности распределения
неотрицательная,
т.е.
2. Вероятность попадания НСВ в промежуток равна
определенному интегралу от ее плотности в пределах от a до b т. е.
Слайд 193. Функция распределения НСВ может быть выражена через ее плотность
вероятности по формуле
4. Условие нормировки: несобственный интеграл от плотности вероятности
НСВ в бесконечных пределах равен единице, т. е.Геометрически свойство нормировки означает, что площадь фигуры, ограниченной кривой распределения и осью абсцисс, равна единице.
Слайд 20Пример
Задана функция распределения НСВ X:
Найти: а) плотность распределения СВ и
построить графики
Б)
Слайд 22Числовые характеристики случайных величин
Закон распределения полностью характеризует случайную величину. Однако
при решении многих практических задач достаточно знать лишь некоторые числовые
параметры, характеризующие отдельные существенные свойства закона распределения СВ. Такие числа принято называть числовыми характеристиками СВ.
Слайд 23Математическое ожидание случайной величины
Математическим ожиданием (или средним значением) ДСВ X,
имеющей закон распределения
называется число, равное сумме произведений всех ее
значений на соответствующие им вероятности:Вероятностный смысл математического ожидания состоит в том, что оно является средним значением СВ.
Слайд 24 Математическим ожиданием НСВ X с плотностью вероятностей p(x) называется число
Свойства
математического ожидания
Математическое ожидание постоянной равно самой этой постоянной.
Постоянный множитель выносится
за знак МО.МО суммы СВ равно сумме их МО.
МО отклонения СВ от ее МО равно нулю.
Слайд 25Дисперсия
Дисперсией (рассеянием) СВ X называется математическое ожидание квадрата ее отклонения
от своего математического ожидания. Обозначается дисперсия
Дисперсия характеризует разброс значений СВ
относительно ее МО. Из определения дисперсии следуют формулы для ее вычисления:
Слайд 26Свойства дисперсии
Дисперсия постоянной равна нулю.
Постоянный множитель можно выносить за
знак дисперсии, возводя его в квадрат.
Дисперсия СВ не изменится,
если к этой СВ прибавить постоянную.
Слайд 27Среднее квадратическое отклонение
Дисперсия D(X) имеет размерность квадрата СВ что
в сравнительных целях неудобно. Когда желательно, чтобы оценка разброса (рассеяния)
имела размерность СВ, используют еще одну числовую характеристику — среднее квадратическое отклонение.Средним квадратическим отклонением или стандартным отклонением СВ X называется квадратный корень из ее дисперсии, обозначают:
Слайд 29Основные законы распределения случайных величин
Биномиальный закон распределения
Дискретная СВ X имеет
биномиальное распределение, если она принимает значения 0, 1, …, n
с
вероятностями:где 0
Слайд 30Числовые характеристики
Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей биномиальное распределение
равно
дисперсия:
среднеквадратическое отклонение
Слайд 31Распределение Пуассона
Дискретная случайная величина X имеет распределение Пуассона, если ее
возможные значения: 0,1,2,… (счетное множество значений), а соответствующие вероятности выражаются
формулой Пуассона
Слайд 32Числовые характеристики
Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей распределение Пуассона
равно
дисперсия:
Слайд 33Равномерный закон распределения
Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на отрезке
[a;b], если её плотность вероятности p(x) постоянна на этом отрезке,
а вне его равна нулю:![Равномерный закон распределения Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на отрезке [a;b], если её плотность вероятности p(x) постоянна](/img/thumbs/44236ef4f6c985077a5f776cfbb4095f-800x.jpg "Лекция 3 Случайные величины Равномерный закон распределения Непрерывная СВ X имеет равномерное распределение на отрезке [a;b],")
Слайд 35Числовые характеристики
Математическое ожидание дискретной случайной величины X, имеющей равномерное распределение
равно
дисперсия:
Вероятность попадания СВ в интервал
