Лекция 4. Электрический ток

является сила тока I, т. е. величина заряда, пере-носимого через

рассматриваемую поверхность S в единицу времени:
Единицей измерения силы тока в системе СИ является 1[А].
Электрический ток может быть распределен по поверхности неравномерно. Поэтому для более детальной характеристики тока вводят вектор плотности тока j. Модуль этого вектора равен отношению:
где dI – сила тока через элементарную площадку dS, расположенную в данной точке перпендикулярно направлению движения носителей.
За направление вектора j принимают направление вектора скорости упорядоченного движения (дрейфа) положительных носителей.

в одном направлении (и-) эквивалентен переносу такого же по величине

положительного заряда dq+ в противоположном направлении (и+). Поэтому, если ток создается носителями обоих знаков, то через данную поверхность S за время dt пройдет ток с силой:
Или этот ток можно трактовать также через плотность тока:
где е+, е- - элементарные положительные и отрицатель-ные заряды, п+, п- - концентрации положительных и отрицательных носителей, и+, и- - направленные ско-рости движения положительных и отрицательных носителей (эти вектора – противоположны), +, - - объемные плотности зарядов положительных и отрица-тельных носителей.
Замечание: Из-за разных знаков у + и - оба слагаемых в (4) имеют одно направление, поэтому выражение (4) в скалярном виде выглядит также: j = +∙u+ + |-|∙u-.

изобразить графически с помощью линий тока (линий вектора j), которые

проводятся так же, как и линии вектора Е.

Зная вектор плотности тока j в каждой точке пространства (интересующей нас поверхности S), можно найти силу тока через поверхность:

Причем, сила тока - величина алгебраическая (может быть +I, -I), и ее знак зависит от выбора направления нормали п к поверхности S.
Ток, не изменяющийся со временем, называется постоянным, для него справедливо равенство:
где q – заряд, переносимый за конечное время t через рассматриваемую поверхность.

ток через замкнутую поверхность S, для которой определим положительную внешнюю

нормаль п. Тогда интеграл
определяет заряд, выходящий в единицу времени из объема V, ограниченного рассматриваемой поверхнос-тью.
В силу закона сохранения заряда эта величина должна быть равна скорости убывания заряда, содержащегося в объеме V, т. е. имеет место:
Выражение (6) – это интегральная форма уравнения непрерывности, является, по существу, аналитическим выражением закона сохранения заряда в изолированной системе.

представим заряд как а поток
согласно теореме Остроградского-Гаусса как
тогда получаем:
так

как плотность заряда зависит от времени и от координат, а интеграл зависит только от времени.
Последнее равенство должно выполняться при произвольном выборе объема dV, а это возможно лишь тогда, когда в каждой точке пространства будет выполняться условие:
Это дифференциальная форма записи уравнения непрерывности.

j имеет место (т. е. ≠ 0), существуют

источники вектора j (источники тока) и происходит убывание заряда.
В случае стационарного тока, когда ( = const), получаем:
Последнее часто называют условием стационарности тока, т. е. в этом случае вектор j не имеет источников, а линии тока нигде не начинаются и нигде не заканчиваются (они – замкнуты сами на себя внешним образом) и, соответственно,

S

dq/dt = 0

j

Если в проводнике создать электрическое поле и не принять мер

для его поддержания, то перемещение носителей тока приведет очень быстро к тому, что поле внутри проводника исчезнет (потенциал – выравнится) и ток прекратится.
Для того, чтобы поддерживать ток достаточно длительное время, нужно от конца проводника с меньшим потенциалом φ2 (сами носители – положительные) непрерывно отводить приносимые сюда током заряды, а к концу с большим потенциалом φ1 – непрерывно их подводить (см. рис.). Иными словами, необходимо осуществлять круговорот зарядов, при котором они двигались бы по замкнутому пути. Это согласуется с тем, что линии постоянного тока – замкнуты.

φ1

φ2

φ1 > φ2

→Е

Циркуляция вектора Е электростатического поля равна 0, т. е.

Поэтому в замкнутой цепи наряду с участками, на которых положительные носители движутся в направлении Е (т. е. в сторону убывания потенциала), должны быть участки, где перенос положительных зарядов происходит в направлении возрастания потенциала, т.е. против кулоновских сил электроста-тического поля.
Перемещение зарядов на этих участках возможно лишь с помощью сил неэлектростатической природы, называемых сторонними силами. Сторонние силы могут иметь химическую, фотоэлектрическую, электромагнитную и прочую природу (эти силы реализуются в гальванических элементах, аккумуляторах, солнечных элементах, динамо-машине).
Таким образом, для поддержания тока постоянным необходимы сторонние силы, действующие либо на всей цепи, либо на ее отдельных участках.

Сторонние силы принято характеризовать работой, которую они совершают над перемещающимися

по цепи зарядами.
Определение: Величина, равная работе сторонних сил над единичным положительным зарядом, называется электродвижущей силой (э. д. с.) действующей в цепи
(или на ее участке): E =
Размерность э. д. с. в СИ – [B], как у потенциала.
По аналогии с электростатическим полем Е, проявляющим себя в кулоновском силовом взаимо-действии зарядов, вводят поле сторонних сил и его
напряженность Е*, как:
где F*- вектор сторонней силы, q – единичный положи-тельный заряд.

По определению работа сторонних сил над зарядом q
на участке цепи

1-2: а разделив на q, получаем э. д. с., действующую на этом участке:

E12 =

А взяв циркуляцию вектора напряженности поля сторонних сил, получаем э. д. с., действующую во всей цепи:
Таким образом, в электрической цепи, состоящей из системы проводников и источников тока, в общем случае, действует как кулоновское поле с напряженностью Е, так и поле сторонних сил с напряженностью Е*, т.е. – результирующее поле Е = Екул + Е*, которое воздействует на заряд q с силой:

E =

F = Fкул + F* = q∙(Eкул + E*) (13)

Работа, совершаемая этой силой над зарядом на участке цепи 1-2:
Определение:

Величина, численно равная работе, совершаемой кулоновскими и сторонними силами при перемещении единичного положительного заряда, называется падением напряжения ( или просто напряжением) на данном участке цепи 1-2:
Участок цепи, на котором не действуют сторонние силы, называется однородным, для такого участка: U12 = φ1 – φ2.
Участок цепи, на котором на носители тока действуют сторонние силы, называется неоднородным, для него: U12 = (φ1 – φ2) + E12 .

E12 (14)

E12 (15)

в интегральной форме
Немецкий физик Г. Ом в

1826 г. экспериментально установил закон, согласно которому:
сила тока, протекающего по однородному проводнику (в смысле отсутствия сторонних сил), пропорциональна разности потенциалов на его концах, т. е. напряжению на проводнике:
Здесь U = φ1 – φ2, R – электрическое сопротивление проводника. Выражение (16) принято рассматривать как интегральную форму закона Ома.
Единицей измерения сопротивления в СИ является 1[Ом] = 1[B] / 1[A]. Сопротивление R зависит от формы и размеров проводника, свойств материала, температу-ры, распределения тока по объему проводника.
Так для однородного цилиндрического проводника имеем: где  - удельное электрическое сопротивление материала проводника в [Ом.м], l – его длина, а S – сечение проводника.

в дифференциальной форме
Рассмотрим изотропный проводник, в котором упорядоченное

движение носителей тока происходит в направлении вектора Е или иначе: вектора j и E сонаправлены. Выделим мысленно в окрестности некоторой точки проводящей среды элементарный цилиндрический объем с образующими, параллельными векторам j и E, основанием dS и длиной dl.

На основании интегрального закона Ома I= U/R, подставляя выражение для тока, текущего через сечение dS с плотностью j, как I =j∙dS, напряжение на цилиндри-ческом элементе U = E∙dl и его сопротив-ление R = ∙dl/dS, имеем:
отсюда получаем плотность тока

Таким образом, получаем дифференциальную форму закона Ома в векторном

виде:
где σ = 1/ - электропроводность материала проводника (размерность σ в СИ: 1 [См/м]).
Замечание: Если электроток обусловлен носителями одного знака, то можно записать j = e∙n∙u и, сравнивая с (17), заключаем: скорость дрейфа u пропорциональна напряжен-ности поля Е, т. е. силе, сообщающей носителям это движение. А из механики известно, что пропорциональность скорости приложенной к телу силе наблюдается в тех случаях, когда кроме силы, вызвавшей само движение, на тело также дейст-вует сила сопротивления среды. В нашем случае протекания тока в среде эта сила определяется взаимодействием носителей тока с частицами среды (проводника) и обусловливает электро-сопротивление проводника. В связи с этим дополнительно носители характеризуются подвижностью b, которая определяется как отношение b = u / E .

для неоднородного участка цепи
На неоднородном участке электроцепи

на носители тока действуют, кроме кулоновских сил Fкул = е∙Е, еще и сторонние силы F* = e∙E*, которые также вызывают направленное движение зарядов. Очевидно, что средняя скорость u в этом случае пропорциональна суммарной силе е∙(Е + Е*). Соответственно и плотность тока на таком участке будет пропорциональна сумме (Е + Е*):
j = σ∙( Е + Е*) (18)
Выражение (18) является дифференциальной формой закона Ома для неоднородной цепи.
Для случая тонких проводников (или контура тока в объемном проводнике) и совпадения направления тока с осью проводника плотность тока j можно считать постоянной во всех точках сечения провода S. Разделив (18) на σ и умножив скалярно на элемент провода dl, взятый по направлению от сечения 1 к сечению 2, получаем при последующем интегрировании по длине 1-2:

алгебраическая величина: если э. д. с. способствует движению положительных носителей

в выбранном направлении (1-2), E12 > 0, а если – препятствует, то E12 < 0. R – это полное сопротивление цепи (с учетом rисточ).

Законы Ома и Джоуля-Ленца в интегральной и дифференциальной формах

Далее записав сумму двух интегралов в последнем выражении как (φ1 – φ2) + E12 и заменив σ = 1/,
где jl = I / S, причем I = const (по условию); получаем левый интеграл где - полное сопротивление участка цепи между сечением 1 и сечением 2.
Таким образом, интегральное уравнение преобразу-ется к виду:
I∙R = (φ1 – φ2) + E12 (19)
или [(φ1 – φ2) + E12] (20)
Выражения (19) и (20) являются интегральными фор-мами закона Ома для неоднородного участка цепи.

в интегральной форме
В случае, когда проводник с

током неподвижен в пространстве и в нем не происходит химических превращений, работа постоянного тока, определяется как: A = U∙I∙t (21)
где I∙t = q – заряд, прошедший за время t через каждое сечение проводника, U – напряжение, приложенное к концам проводника. Причем для однородного участка цепи эта работа равна A = (φ1 – φ2)∙q , а для неоднородного участка цепи - A = (φ1 – φ2)∙q + E12∙q.
Работа (21) затрачивается на увеличение внутренней энергии проводника, в результате чего он – нагревается. Принято говорить, что при протекании тока в проводнике выделяется тепло в количестве Q = U∙I∙t, а заменив по закону Ома напряжение U = I∙R, приходим к интегральной форме закона Джоуля-Ленца:
Q = R∙I2∙t (22)

в интегральной форме
В случае переменной во времени

силы тока джоулево тепло рассчитывается по формуле:

Закон Джоуля-Ленца в дифференциальной форме
Для характеристики локального тепловыделения используется понятие удельной тепловой мощности тока
([Дж/м3.с]). Выделим в проводнике элементарный цилиндрический объем.

Согласно закону Джоуля-Ленца в форме (23) за время dt выделяется элемен-тарное тепло δQ = R∙I2∙dt =
где dV = dS∙dl.

в дифференциальной форме
Разделив последнее выражение на (dV∙dt), определим количество тепла,

выделяющегося в единице объема в единицу времени: = ∙j2 или = j2/σ (24)
Выражения (24) являются дифференциальной формой закона Джоуля-Ленца. Это наиболее общая форма записи данного закона – работает для любых проводников вне зависимости от их формы, однородности и природы сил, возбуждающих электрический ток.

Если на носители тока действуют только электрические силы, то (24) можно переписать как = j∙E = σ∙E2.

называется точка, в которой сходятся более чем два проводника.

Правило № 1
Алгебраическая сумма токов, сходящихся в узле, равна нулю: ∑ Ii = 0 (25)
Замечание. Правило вытекает из уравнения
непрерывности.
Правило № 2
Алгебраическая сумма произведений сил токов в отдель-ных участках произвольного замкнутого контура на их сопротивления равна алгебраической сумме э.д.с., дейст-вующих в этом контуре: ∑ Ii.Ri = ∑ Ei (26)

Замечание. Уравнение (26) является след-ствием закона Ома для неоднородного участка цепи.
Задавшись направлением обхода контура, составляют систему уравнений:
I1.R1 = φ2 – φ3 + E1
I2.R2 = φ3 – φ1 + E2
I3.R3 = φ1 – φ2 – E3
----------------------
∑ Ii.Ri = ∑ Ei