Лекция 5

Теорема Фишера.
5.Проверка гипотезы о нормальном распределении случайной величины.
1.Проверка

а) при известных

б) при неизвестных

и

и

случайные величины
- случайные выборки
Вычислены:
и
, оказалось, что
Следует ли отсюда неравенство

?

Примеры.
Сравнение производительности технологических линий
Сравнение доходности предприятий с различной формой управления
Обоснование эффективности нового метода лечения
Обоснование эффективности новых операций
Определение эффективности внесенных удобрений

и

Если верна основная гипотеза H0, то Z имеет стандартное нормальное

(5.1)

значение критерия и принимаем статистическое решение:
, то Н0 отвергается.

то Н0 не отвергается

Если

случайные величины
- случайные выборки
Вычислены:
и
и оказалось, что
Следует ли отсюда неравенство математических

?

и

и дополнительном условии

Если верна основная гипотеза H0, то Tk имеет распределение
Стьюдента с

( или

)

В этой формуле

(5.2)

оказалось, что
Следует ли отсюда неравенство дисперсий?
?
Примеры.
1.Сравнение точности приборов
2.Стабильность технологических

Если верна основная гипотеза H0, то F имеет распределение Фишера

(5.4)

принимаем статистическое решение
Если
, то Н0 отвергается, различие между выборочными

, то Н0 не

отвергается.

Если

технологических линий получены следующие результаты (в единицах продукции за 1

Можно ли считать, что производительности линий одинаковы в предположении, что обе выборки получены из нормально распределенных генеральных совокупностей?

Решение. Введем обозначения:
Х – производительность линии А; У – производительность линии В

статистический критерий
Если верна гипотеза Н0, то случайная величина
имеет
распределение Фишера с

4.Определяем правостороннюю критическую область из условия:

k1=5-1=4 k2=5-1=4

По таблице критических точек распределения находим

дисперсий статистически незначимо.
2. Проверяем гипотезу о равенстве математических ожиданий
1.Формулируем основную

2.Принимаем

(уровень значимости)

3.Статистический критерий

Теорема. Если верна основная гипотеза, то случайная величина

имеет распределение Стьюдента с числом степеней свободы

принимаем решение
Нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу
(различие выборочных средних статистически

случайной величины (то есть проверить предположение о виде закона

Дифференциальную функцию можно представить в виде

- параметр ( k- мерный вектор).

– число независимых повторений некоторого испытания, в

. Пусть заданы вероятности событий Ai:

Тогда при

случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с параметром

(асимптотически распределена по закону хи-квадрат)

- эмпирические частоты

- теоретические частоты

раз. Можно ли считать монету симметричной?
Решение. Пуст А1={герб}, A2= {цифра},

1) H0: P(A1)=1/2 P(A2)=1/2

2) a=0,05

3)

4) Критическая область

5) Наблюдаемое значение критерия:

Предположение о симметрии монеты согласуется с экспериментальными данными

независимых повторений некоторого испытания, в котором

. Пусть заданы вероятности событий Ai

Тогда при

случайная величина

имеет распределение хи-квадрат с параметром

где

- неизвестный k-мерный параметр

Здесь

- статистическая оценка параметра Q

выборки и гистограмма относительных частот
pi
x
x0
p1
p2
pk-1
pk
x1
xk-1
xk
Вид гистограммы позволяет сделать

Фишера
дифференциальная функция определена на всей числовой оси
Если
, то
события Аi составляют

- параметр

- статистическая оценка параметра

проверить гипотезу о том, что выборочные данные получены из нормально

n (теорема Фишера) случайная величина
имеет распределение хи-квадрат

Здесь m – число интервалов, к – размерность параметра, (к=2)

4.Определяем критическую область:

нормальном распределении признака согласуется с опытными данными (не противоречит опытным