Лекция № 9

действия над высказываниями.
Высказывание – это предложение, относительно которого имеет смысл

говорить истинно оно или ложно.
Высказывания могут быть представлены с помощью математических, химических и прочих знаков.

Джордж Буль).
Высказывания обозначают прописными латинскими буквами: А, В, X, Y.
Три

основные логические операции с высказываниями: сложение, умножение, отрицание.
Определены аксиомы (законы) алгебры логики для выполнения этих операций.
Действия, которые производятся над высказываниями, записываются в виде логических выражений.

а с точки зрения их истинности или ложности.

Высказывание может принимать

только два значения:
ИСТИНА (обозначим 1)
ЛОЖЬ (обозначим 0)

и не содержит логические операции (два результата — либо «истина»,

либо «ложь»).
Сложное логическое выражение содержит высказывания, объединенные логическими операциями (содержит аргументы, которыми являются высказывания).

следующие:

НЕ (логическое отрицание, инверсия);
ИЛИ (логическое сложение, дизъюнкция);
И (логическое умножение, конъюнкция).

одно высказывание.
Логическое сложение и умножение — двуместные операции, в них

участвует два высказывания.
Существуют и другие операции (например, операции следования и эквивалентности), правила работы которых можно вывести на основании основных операций.

результат выполнения операции для всех возможных логических значений исходных высказываний.
Количество

вариантов, отражающих результат применения операций, зависит от количества высказываний в логическом выражении.

значения аргумента — «истина» (1) и «ложь» (0) и два

соответствующих им значения функции, в таблице истинности;
двуместной логической операции — четыре строки: 4 различных сочетания значений аргументов — 00, 01, 10 и 11 и 4 соответствующих им значения функции.

качестве которого может быть и простое, и сложное логическое выражение.

Результатом операции «НЕ» является следующее:
если исходное выражение истинно, то результат его отрицания будет ложным;
если исходное выражение ложно, то результат его отрицания будет истинным.

not А.
Результат операции отрицания «НЕ» определяется следующей таблицей истинности:

или

вращается вокруг Солнца» ложно.
Высказывание «Уравнение у = 4х + 3

в промежутке -2 < х < 2 не имеет корня» ложно. Высказывание «Уравнение у = 4х + 3 в промежутке -2 < х < 2 имеет корень» истинно.
«4 — не простое число» истинно.
Принцип работы переключателя настольной лампы таков: если лампа горела, переключатель выключает ее, если лампа не горела — включает ее (электрически аналог операции отрицания).

высказываний, в качестве которых может быть и простое, и сложное

логическое выражение.
Высказывания, являющиеся исходными для логической операции, называют аргументами.
Результатом операции «ИЛИ» является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинно будет хотя бы одно из исходных выражений.

или В; A \/ В; A or В.
Результат операции «ИЛИ»

истинен, когда истинно А, либо истинно В, либо истинно и А, и В одновременно, и ложен тогда, когда аргументы А и В — ложны.

или встретить знакомого». Это высказывание формально можно представить так: С

= A \/ В, где высказывание А — «В библиотеке можно взять книгу», а В — «В библиотеке можно встретить знакомого». Объединение этих высказываний при помощи операции логического сложения означает, что события могут произойти как отдельно, так и одновременно.

сдачи экзаменов». Успешно сдать экзамен может тот, кто все знает,

или тот, кому повезло (например, вытянут единственный выученный билет), или тот, кто все знает и при этом выбрал «хороший» билет.

параллельным соединением лампочек, знает, что гирлянда будет светить до тех

пор, пока цела хотя бы одна лампочка.

Логическая операция «ИЛИ» схожа с работой подобной гирлянды, ведь результат операции ложь только в одном случае — когда все аргументы ложны.

(аргументов), в качестве которых может быть и простое, и сложное

логическое выражение.
Результатом операции «И» является выражение, которое будет истинным тогда и только тогда, когда истинны оба исходных выражения.

и В; A /\ В; A and В.
Результат операции «И»

истинен тогда и только тогда, когда истинны одновременно высказывания А и В, и ложен во всех остальных случаях.

справедливым». Это высказывание формально можно представить так: С - А

/\ В, где высказывание А — «Учитель должен быть умным», а В — «Учитель должен быть справедливым». Объединение этих высказываний при помощи операции логического умножения означает, что учитель должен быть одновременно и умным, и справедливым.

достижению цели».
Достижение цели возможно только при одновременной истинности двух предпосылок

— умения и настойчивости.

соединением лампочек в гирлянде.
При наличии хотя бы одной неработающей лампочки

электрическая цепь оказывается разомкнутой, то есть гирлянда не работает.
Ток протекает только при одном условии — все составляющие цепи должны быть исправны.

из которых первое является условием, а второе — следствием из

этого условия.
Применяемые обозначения: если А, то В; А влечет В; if A then В; А –> В.

когда предпосылка А истинна, а заключение В (следствие) ложно.

улице сыро». Здесь исходные высказывания «Идет дождь» и «На улице

сыро». Если не идет дождь и не сыро на улице, результат операции следования — истина. На улице может быть сыро и без дождя, например, когда прошла поливочная машина или дождь прошел накануне. Результат операции ложен только тогда, когда дождь идет, а на улице не сыро.

9}, В {х делится на 3}. Операция А –> В

означает следующее: «Если число делится на 9, то оно делится и на 3. Рассмотрим возможные варианты:
А — ложно, В — ложно (1-я строка таблицы истинности). х = 4, 17, 22.
А — ложно, В — истинно (2-я строка таблицы истинности). х = 6, 12, 21.
А — истинно, В — ложно (3-я строка таблицы истинности). Невозможно найти такие числа, которые делились бы на 9, но не делились на 3.
А — истинно, В — истинно (4-я строка таблицы истинности). х = 9, 18, 27.

истинности:






Результат операции эквивалентность истинен только тогда, когда А и В

одновременно истинны или одновременно ложны.

солнце скрывается за горизонтом»;
«Добиться результата в спорте можно тогда и

только тогда, когда приложено максимум усилий».

высказывание? Приведите примеры высказываний.
Какие виды логических выражений вы знаете?
Что такое

таблица истинности?
В чем отличие одноместной и двуместной операции?
Что такое логическое отрицание? Приведите свои примеры.
Что такое логическое сложение? Приведите свои примеры.
Что такое логическое умножение? Приведите свои примеры.
Что такое импликация? Приведите свои примеры.
Что такое эквивалентность? Приведите свои примеры.