Лекция Функция нескольких переменных 01.03.2019 1

Функция нескольких переменных

z  = f (х, у)   

явно, в виде формулы
z=f(x; y),
    F(x; y; z) =

либо неявно

Пример
z2+ax3+lg y = 1 задана неявно

Пример: Z = ln(x2 + y2 – 1) -задана явно

2.Геометрический. Графиком функции двух переменных z=f(x; y) в прямоугольной декартовой системе координат в пространстве является в общем случае поверхность.

3. Табличный Функция задаётся в виде таблицы

меньшем , называется -окрестностью точки M0 . Обозначим U(M0,).
-окрестность точки

При n = 1

U(M0,) = {M  Ox |  |M0M| = |x – x0| < } = (x0 – , x0 + ) .

-окрестность точки M0

в её окрестности  есть как точки, принадлежащие области G ,

Определение Если граница принадлежит области D , то область называется замкнутой (границу будем  обозначать сплошной линией).
В противном случае область D  –  открытая (не замкнутая).
В этом случае  границу будем обозначать пунктирной линией.

Логарифмическая функция определена только при положительном значении аргумента.

Определение. Точка А называется внутренней точкой множества G , если существует - окрестность точки , целиком принадлежащая множеству (т.е. )

f(x) при x стремящемся к x0, если
>0 >0 такое,

Определение d - окрестностью т.М0 называется круг с центром в т.М0 и радиусом d:

Определение Число А ℝ называется пределом функции z = f(x; y) = f(M), если для любого числа

"e>0$ d>0

.

для f(M) выполняется неравенство | f(M) – A | 

двух переменных существует глубокое различие между ними.

В случае функции

при

Теорема Если существуют

, то:

где предельная точка

может быть конечной
или бесконечной.

M0 ℝn .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Функция f(M) называется непрерывной в точке M0

в этой точке, то она непрерывна в этой точке по

Обратное утверждение неверно.
Пример. Докажем, что функция непрерывна в точке по каждой переменной и , но не является непрерывной в этой точке по совокупности переменных.

это означает, что

.

непрерывна в точке 0(0,0)

по переменной

Покажем, что предел

не существует

приближаясь к точке 0(0,0)

по различным прямым,
соответствующим разным значениям k

получаем разные предельные значения

Отсюда следует, что предел данной функции не существует, функция не непрерывна

Область состоящая из внутренних точек и всех граничных точек, называется

Пусть M0(x0,y0)D .
Придадим x0 приращение x, оставляя значение y0 неизмененным (так,

z = f(x,y) по переменной x в точке M0(x0,y0).
Обозначают:
или

Операция нахождения для функции z = f(x, y) ее частных производных называется дифференцированием функции z = f(x,y) по переменной x и y соответственно

какой-либо переменной является производной функции этой одной переменной при фиксированных

имеет в M0(x0,y0) частную произ- водную по x (y).
Пусть поверхность

и , определенные на D 

переменных.
Продолжая этот процесс, назовем частными производными порядка n функции

Частные производные высших порядков, взятые по разным аргументам, называются смешанными.

z = f(x,y) в некоторой области D  x O y  имеет

Замечание Необходимым условием для существования частных производных является непрерывность функции по соответствующим аргументам.

область
(т.е. открытое связное множество).
Пусть M0(x0,y0)D .
Придадим x0 и y0

полное приращение в этой точке может быть записано в виде
z(M0) = A  x + B  y + 1  x + 2  y , (1)
где

x0  f (x0);
2) y = f(x) дифференцируема в x0  y = f(x) непрерывна

соответственно в виде:
(3)
(4)
где 1,2 – бесконечно малые при x  0, y  0,

где 1,2 – бесконечно малые при x  0, y  0.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Если

– фиксированная точка на поверхности S,
P – текущая точка на

в этой точке, называется нормалью к поверхности в точке P0.
1)

причем хотя бы одна из ее частных производных не обращается

получает аппликата точки P0(x0,y0,f(x0,y0)) касательной плоскости к поверхности z = f(x,y), когда

полным дифференциалом функции z = f(x,y) и обозначают dz или df(x,y).
Полный дифференциал

частные производные  и
 
то функция z=f(x;y) является дифференцируемой в точке

Главная часть приращения функции линейная относительно
приращения аргументов называется полным дифференциалом
функции z = f(x; y) и обозначается:

Ее дифференциал dz(M) – функция переменных x, y, dx, dy.
Далее

как дифференциал от ее диффе- ренциала порядка n – 1. Обозначают: d nz, d nf(x,y).
Замечание

получим:

– сложная функция независимых переменных u и v.
ТЕОРЕМА ( о

z – сложная функцией одной переменной t.
Если f(x,y), 1(t), 2(t)

U точки x0, непрерывную функцию y = f(x).
Тогда

M0(x0,y0)D .
ОПРЕДЕЛЕНИЕ Точка M0(x0,y0) называется точкой максимума

только внутренние точки области D.

Понятия экстремумов носят локальный характер.

В

M0(x0,y0) имеет экстремум, то в этой точке либо обе ее

z = f(x,y) и в некоторой окрестности точки M0 функция имеет непрерывные

точке (x0, y0) есть экстремум
экстремума нет.

ответ на вопрос о наличии в M0 экстремума даст знак

их к нулю:
u = x2 + 2y2 +x.  
Решение 
Критической для данной

Вычисляем значения А, В, и С в этой точке:

Значит, в точке имеет место

экстремум. Так как A = 2 > 0,  то в этой точке функция достигает минимума

y=0, но экстремума нет. Такая особенность функции называется седлом.

Определение

.

называют ее экстремум при условии, что точки берутся на заданной кривой

и линия
на этой поверхности, являющаяся пересечением
с цилиндрической поверхностью

требуется найти экстремальную аппликату, т.е. аппликату, являющуюся наибольшей или наименьшей среди аппликат соседних точек.
Точки поверхности

У точек линии

, не принадлежащие линии

, в расчет не принимаются

.
называется множителем Лагранжа,
- критическая точка функции
при наложении

Критическая точка может оказаться точкой условного экстремума, но не обязательно каждая (условие не достаточное).

критическая тоска – точка условного минимума,
если
- точка условного