Линейные дифференциальные уравнения высших порядков Линейные однородные ДУ второго порядка

уравнения высших порядков
Линейные однородные ДУ второго порядка
1/20

ДУ высших порядков можно записать:


Общее решение ДУ n – ого

Начальные условия для ДУ n – ого порядка задаются в виде:

Решение, получающееся из общего решения при конкретных значениях произвольных постоянных, называется частным решением:

или

если его можно разрешить относительно старшей производной.

2/20

порядков является метод понижения порядка.
Рассмотрим 3 вида уравнений, допускающих понижение

Общее решение данного уравнения находится с помощью последовательного интегрирования :

3/20

В результате получается ДУ на порядок ниже. Проинтегрировав уравнение n раз, получим искомую функцию.

(1)

содержащее явно искомой функции y,
5/20
Сделаем замену переменной:
(2)
тогда
и получим уравнение первого

Пусть:

- решение данного уравнения.

Заменим функцию p на

Это уравнение вида (1), поэтому:

В общем случае, порядок уравнения:

можно понизить на k единиц с помощью подстановки:

с разделяющимися переменными.
Найдем С1 с помощью начального условия:
Найдем С2 с

замену переменной:
(3)
тогда
Теперь уравнение (3) запишется в виде:


Пусть:
- решение данного ДУ

(по начальному условию), получим:
- линейное уравнение 1 порядка.

линейным ДУ n – ого порядка

(4)
Оно содержит искомую функцию и

Если свободный член уравнения g(x) = 0, то уравнение называется однородным, в противном случае неоднородным.

Разделив уравнение (4) на b0(x), получим приведенное линейное ДУ:

(5)

порядка:
11/20
и установим некоторые свойства его решений.
Теорема 1

(6)
Если дифференцируемые функции y1(x)

где С1 и С2 – произвольные постоянные.

(7)

Для того, чтобы функция (7) являлась также общим решением ДУ (6), функции y1(x) и y2(х) должны удовлетворять некоторым дополнительным условиям.

определитель вида:
12/20
(8)
Этот определитель называется определитель Вронского.
Если на интервале (a,

Теорема 2

является общим решением ДУ (6).

Функции y1(x) и y2(х) , для которых определитель Вронского не равен нулю, называются линейно независимыми, в противном случае – линейно зависимыми.

y1(x) и y2(х) ЛОДУ второго порядка определяет фундаментальную систему решений

13/20

Например, функции

Эти функции являются линейно независимыми, так как определитель Вронского, составленный из них не равен нулю:

и

являются частными решениями ЛОДУ :

Поэтому общим решением уравнения является функция:

линейных однородных уравнений является ЛОДУ с постоянными коэффициентами.
14/20
Будем искать частные

Для нахождения общего решения уравнения (9) достаточно найти два его частных решения, образующих фундаментальную систему решений.

(предложено Эйлером)

(9)

Подставим функцию

в уравнение (9):

уравнением ЛОДУ (9). Для его составления достаточно в уравнении (9)

При решении уравнения (10) возможны следующие случаи:

(10)

Корни уравнения (10) k1 и k2 действительны и различны:

В этом случае частными решениями уравнения (9) будут функции:

поэтому общим решением уравнения (9) будет:
Функции


Составим характеристическое уравнение:

Корни уравнения

В этом случае имеем лишь одно частное решение

уравнения (9) будет функция
(можно доказать, подставив в уравнение)
Функции
образуют фундаментальную

Поэтому, общим решением уравнения (9) будет:

Составим характеристическое уравнение:

и k2 комплексные:
В этом случае частными решениями уравнения (9) будут

По формуле Эйлера:

имеем:

уравнения (9) . Для этого составим две линейные комбинации решений

Функции

являются решениями уравнения (9) и

образуют фундаментальную систему решений, поэтому общим решением будет: