Слайд 1Литература
1. Математика для гуманитариев [Текст] : учеб. / ред. К. В. Балдин.
- 2-е изд. - М. : Дашков и К, 2009.
- 512 с. (20 экз., абонемент)
2. Гиль В.Т. Элементы математических теорий для юристов [Электронный ресурс]: учебное пособие/ В.Т. Гиль— Электрон. текстовые данные.— Омск: Омская академия МВД России, 2009.— 71 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/36114.html.— ЭБС «IPRbooks»
3. Буцык С.В. Математика для гуманитариев [Электронный ресурс]: учебно-методическое пособие/ С.В. Буцык— Электрон. текстовые данные.— Челябинск: Челябинский государственный институт культуры, 2010.— 72 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/56432.html.— ЭБС «IPRbooks»
Слайд 24. Буцык С.В. Математика для студентов-гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие/
С.В. Буцык— Электрон. текстовые данные.— Челябинск: Челябинский государственный институт культуры,
2011.— 92 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/56433.html.— ЭБС «IPRbooks»
5. Информатика и математика для юристов (2-е издание) [Электронный ресурс]: учебник для студентов вузов, обучающихся по юридическим специальностям/ С.Я. Казанцев [и др.].— Электрон. текстовые данные.— М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2015.— 558 c.— Режим доступа: http://www.iprbookshop.ru/52474.html.— ЭБС «IPRbooks»
Слайд 3
Тема 1
Элементы теории множеств
Слайд 4Можно ли дать определение понятию «Множество»?
Множество – одно из фундаментальных
первичных понятий математики. Его нельзя определить через другие понятия.
Множество можно
представить как совокупность объектов.
Слайд 5
«Множество есть многое, мыслимое нами как единое»
Основоположник
теории множеств, немецкий математик
Георг Кантор
(1845-1918)
Слайд 6Множества принято обозначать заглавными латинскими буквами (А,B,…)
Объекты, которые образуют множество,
называют элементами множества и для обозначения элементов используют, как правило,
малые буквы латинского алфавита (a,b...).
Слайд 7Примеры множеств:
множество учащихся в данной аудитории;
множество людей, живущих на нашей
планете в данный момент времени;
множество точек данной геометрической фигуры;
множество чётных
чисел;
множество корней уравнения.
Слайд 8Множество корней уравнения (x-1)(x+2)(x-3)(x+4)=0
Составьте множество из соответствующих элементов
4
- 4
3
1
-1
- 2
-
3
2
Слайд 9Принадлежность элемента множеству
Если элемент x принадлежит множеству X, то записывают
x Х ( — принадлежит). В противном случае, если
a не принадлежит множеству А, будем использовать обозначение .
Слайд 10Подмножество
Говорят, что множество А содержится в множестве В или
множество А является подмножеством множества В, если каждый элемент множества
А одновременно является элементом множества В .
В этом случае пишут А В.
Слайд 11Способы задания множеств
Множество может быть задано перечислением всех его
элементов или списком. В этом случае элементы множества записывают внутри
фигурных скобок, например: или A={студент А., рабочий Л., школьник М.}.
2. Множество может быть задано описанием свойств его элементов. Чаще всего при этом используют запись, которую читают следующим образом: «A есть множество элементов b таких, что для них выполняется свойство B».
3. Множество можно задать порождающей процедурой, например, множество натуральных чисел:
А={а/а=2k, k-любое натуральное число}.
Слайд 12Например, перечислением заданы следующие множества:
А={1,2,3,5,7} — множество чисел
Х={x1,x2,...,xn}
— множество некоторых элементов x1,x2,...,xn
N={1,2,...,n} — множество натуральных чисел
Z={0,±1,±2,...,±n} — множество целых чисел
А={х | х2-5х+6=0}.
Слайд 13N – множество всех натуральных чисел;
Z– множество всех целых чисел;
Q
– множество всех рациональных чисел;
R – множество всех действительных чисел
Слайд 14Задайте перечислением элементов множество:
1) A = {x / x
N, x2 – 4 = 0};
2) B = {x
/ x Z, | x | < 5};
3) C = {x / x N, x ≤ 20, x = 5k, k Z}.
Слайд 15 По числу элементов, входящих в множество, множества делятся на три
класса:
1 – конечные,
2 – бесконечные,
3 – пустые.
Слайд 16Множество является КОНЕЧНЫМ, если оно состоит из конечного числа элементов
Пример
Множество гласных букв в слове “математика” состоит из трёх элементов
– это буквы “а”, “е”, “и”, причем, гласная считается только один раз, т.е. элементы множества при перечислении не повторяются.
Слайд 17Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов
Пример
Множество натуральных чисел бесконечно.
Пример
Множество точек отрезка [0;1] бесконечно.
Слайд 18Множество, не содержащее ни одного элемента, называется ПУСТЫМ. Символически оно
обозначается знаком
Пример
Множество действительных корней уравнения x2 +1=0.
Пример
Множество людей,
проживающих на Солнце.
Слайд 19Мощность множества
Число элементов конечного множества называют мощностью этого множества и
обозначают символом m(A).
С точки зрения мощности множество чисел
{-2,
0, 3,8} и множество букв {с, х, ф, а} эквивалентны, так как они содержат одинаковое число элементов.
Слайд 20УНИВЕРСАЛЬНОЕ МНОЖЕСТВО
В любой конкретной задаче приходится иметь дело с подмножествами
некоторого, фиксированного для данной задачи, множества, состоящего из допустимых для
этой задачи объектов.
Его принято называть универсальным (универсумом) и обозначать символом U.
Например, если мы рассматриваем множество действительных корней уравнения, то в качестве универсального можно взять множество всех действительных чисел.
Слайд 21Наглядное представление множеств
Наглядно свойства множеств, операции над множествами и отношения
между множествами изображают при помощи рисунков, называемых КРУГАМИ ЭЙЛЕРА (или
диаграммами Эйлера – Венна).
Для этого множества, сколько бы они ни содержали элементов, представляют в виде кругов или любых других замкнутых кривых (фигур)
Слайд 22Диаграммы Венна
При графическом изображении множеств удобно использовать диаграммы Венна, на
которых универсальное множество обычно представляют в виде прямоугольника, а остальные
множества в виде овалов, заключенных внутри этого прямоугольника
Слайд 23Отношения на множествах и между множествами
Слайд 24БИНАРНЫЕ ОТНОШЕНИЯ
Отношения между парами объектов называются бинарными.
Примеры:
Равенство
Неравенство
Принадлежности
Включения
«Быть братом», делиться
на какое-либо число
Слайд 25ОТНОШЕНИЕ РАВЕНСТВА
Два множества А и В называются равными ( А
= В ), если они состоят из одних и тех
же элементов, то есть каждый элемент множества А является элементом множества В и наоборот, каждый элемент множества В является элементом множества А .
Слайд 26ОТНОШЕНИЕ ВКЛЮЧЕНИЯ
Если множество А является подмножеством множества В (А
В ), то отношение между множествами называется включением.
Для
любого множества А имеют место включения:
А и А А .
Слайд 27Определить как между собой соотносятся множества A = {1, 2,
3, 5, 7}, B ={1, 3, 5}, С= {5, 3,
1}.
Слайд 29Объединение множеств
Сумма ( объединение ) множеств А и В (
пишется АВ ) есть множество элементов, каждый из которых принадлежит
либо А , либо В. Таким образом, е А В тогда и только тогда, когда либо е А , либо е В .
Слайд 30Операции над множествами
объединение
Например, если А={1,2,4}, B={3,4,5,6},
то А
B = {1,2,3,4,5,6}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Слайд 32Пересечение множеств
Пересечением множеств А и В называется множество А ∩
В, элементы которого принадлежат как множеству А, так и множеству
В.
Слайд 33Операции над множествами
пересечение
Например, если А={a,b,c}, B={b,c,f,e},
то А ∩
В = {b}
Слайд 35 Разностью
множеств А и В называется множество А\В, элементы которого
принадлежат множеству А, но не принадлежат множеству В.
Слайд 36Операции над множествами
разность
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6}
то А\В = {1,2}
1
2
4
А
4
3
5
6
В
Слайд 39Операции над множествами
Симметрической разностью множеств А и В называется множество
А Δ В, являющееся объединением разностей множеств АВ и ВА,
то есть А Δ В = (А\В) (В\А).
Слайд 40Операции над множествами
симметрическая разность
Например, если А={1,2,3,4}, B={3,4,5,6},
то
А Δ В = {1,2} ∪ {5,6} = {1,2,5,6}
Слайд 42Операции над множествами
Абсолютным дополнением множества называется множество всех элементов, не
принадлежащих A, т.е. множество U\A, где U – универсальное множество
Слайд 43Свойства операций над множествами:
Слайд 44П р и м е р ы
Множество детей является подмножеством
всего населения.
Пересечением множества целых чисел с множеством положительных чисел является
множество натуральных чисел.
Объединением множества рациональных чисел с множеством иррациональных чисел является множество действительных чисел.
Нуль является дополнением множества натуральных чисел относительно множества неотрицательных целых чисел.
Слайд 45Даны множества
Найти: объединение, пересечение, разность, симметрическую разность
Слайд 51Формула мощности объединения непересекающихся конечных множеств (1)
Если конечное множество А
представимо в виде объединения N попарно непересекающихся конечных множеств А1,
А2 …АN, то его мощность
m(A)=m(A1)+m(A2)+…+m(AN)
Слайд 52Формула включений и исключений для двух множеств (2)
Для любых
двух конечных А и В справедливо равенствo
n(AUB)=n(A)+n(B)-n(A B)
Слайд 53Формула включений и исключений для трех множеств (2)
Для любых
трех конечных А, В и С справедливо равенствo
m(А U В
U С) = m(А )+ m(В)+ m(С)-
m(AB)- m(AC ) - m(BC) +
+ m(ABC)
Слайд 54Задача
На вступительном экзамене по математике были предложены три задачи: по
алгебре, планиметрии и стереометрии. Из 1000 абитуриентов задачу по алгебре
решили 800, по планиметрии — 700, а по стереометрии — 600 абитуриентов. При этом задачи по алгебре и планиметрии решили 600 абитуриентов, по алгебре и стереометрии — 500, по планиметрии и стереометрии — 400. Все три задачи решили 300 абитуриентов. Существуют ли абитуриенты, не решившие ни одной задачи, и если да, то сколько их?
Слайд 55Решение.
Пусть U — множество всех абитуриентов, А —. множество
абитуриентов, решивших задачу по алгебре, В — множество абитуриентов, решивших
задачу по планиметрии, С — множество абитуриентов, решивших задачу по стереометрии. По условию m(U) =1000, m(A) = 800, m(В)=700, m(С)=600, m(AB)= 600, m(AC) = 500, m(BC) = 400, m(ABC) =300. В множество ABC включены все абитуриенты, решившие хотя бы одну задачу.
По формуле включений и выключений (3) имеем:
m(А U В U С) =800 + 700 + 600 - 600 - 500 - 400 + 300= =900.
Отсюда следует, что не все поступающие решили хотя бы одну задачу. Ни одной задачи не решили
m(U) - m(AUBUC)=1000 - 900=100 (абитуриентов).
Слайд 56Декартово (прямое) произведение множеств
Декартовым произведением множеств А и В называется
множество всех пар, первая компонента которых принадлежит множеству А, а
вторая компонента принадлежит множеству В.
![Литература1. Математика для гуманитариев [Текст] : учеб. / ред. К. В. Балдин. - 2-е изд. - М. : Дашков](/img/thumbs/189e6aaeb49ce554dba5d622730eae74-800x.jpg "Презентация на тему Литература1. Математика для гуманитариев [Текст] : учеб. / ред. К.")
![4. Буцык С.В. Математика для студентов-гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие/ С.В. Буцык— Электрон. текстовые данные.— Челябинск: Челябинский](/img/tmb/3/220847/7f79ae28eb8414b5764e58cca3ffded8-800x.jpg "Литература 4. Буцык С.В. Математика для студентов-гуманитариев [Электронный ресурс]: учебное пособие/ С.В.")
![Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов ПримерМножество натуральных чисел бесконечно.ПримерМножество точек отрезка [0;1]](/img/tmb/3/220847/bd274b5070d45117af8ea631e093e0a7-800x.jpg "Литература Множество является БЕСКОНЕЧНЫМ, если оно состоит из бесконечного числа элементов ПримерМножество")
