ЛОГИКА ПРЕДИКАТОВ

переменной, которое превращается в высказывание при замене переменной некоторым значением

из множества Х, называется одноместным предикатом.

Р(х) – одноместный предикат.

определения предиката.

Определение: Множество Т, элементы которого превращают предикат в истинное

высказывание, называется множеством истинности предиката.

«Саша любит кашу» можно написать один предикат «Икс любит кашу»

и договориться, что вместо неизвестного «Икс» могут быть либо Маша, либо Даша, либо Саша. Подстановка вместо Икс имени конкретного ребенка превращает предикат в обычное высказывание.
Р(х) – «Икс любит кашу» – одноместный предикат;
Х = Маша, Даша, Саша – область определения одноместного предиката.

– одноместный предикат.

X = R

– область определения одноместного предиката.

– множество истинности одноместного предиката, так как х = – 2 является корнем данного уравнения.

одноместные, двухместные, трехместные и другие предикаты.

Определение: Предложение с n

переменными, которое превращается в высказывание при замене переменных некоторыми значениями из множества Х, называется
n -местным предикатом.

Р(х1, х2, …, хn) – n-местный предикат.

валюта России»;
С: «Доллар – валюта США».
Высказывания А и С истинны,

а В – ложно. Если вместо конкретных наименований валюты в выражениях А и В подставить переменную х и определить ее на множестве наименований денежных единиц х  рубль, доллар, фунт стерлингов, …, марка, то получим одноместный предикат:
Р(х): « х – валюта России»;
Х =  рубль, доллар, фунт стерлингов, …, марка;
Т =  рубль.

валюты и государства подставить соответственно переменные х и у, где

у  Россия, США, Англия, …, Германия, то получим двухместный предикат:

Р(х, у) – « х – валюта у».
Х =  рубль, доллар, фунт стерлингов, …, марка;
У =  Россия, США, Англия, …, Германия.
Т =  (рубль, Россия), (доллар, США), (фунт стерлингов, Англия), … , (марка, Германия).

– двухместный предикат.


Пример 3:


Р(х, у, z):

– трехместный предикат.

другие предикаты, то такой предикат называется элементарным, в противном случае

он называется составным.

Пример:
Р(х): «Город Х находится на территории России и в нем более 1000000 жителей» – составной предикат;
А(х): «Город Х находится на территории России»;
В(х): «В городе Х более 1000000 жителей».
Оба предиката А(х) и В(х) имеют одну и ту же область определения – множество городов России, а области истинности у них различны.

разнообразные логические формулы – предикатные формулы. Исследование предикатных формул и

способов установления их истинности является основным предметом логики предикатов. Логика предикатов вместе с входящей в нее логикой высказываний является основой логического языка математики. С ее помощью удается формализовать и точно исследовать основные методы построения математических теорий. Логика предикатов является важным средством построения развитых логических языков и формальных систем (формальных теорий).

том же множестве Х, можно образовать конъюнкцию

Это предложение будет

обращаться в истинное высказывание при тех и только тех значениях х  Х , при которых обращается в истинное высказывание каждый из предикатов.

же множестве Х, можно образовать дизъюнкцию

Это предложение будет обращаться

в истинное высказывание при тех и только тех значениях х  Х , при которых обращается в истинное высказывание хотя бы один из предикатов.

предикат , который принимает

значение «истина» при всех значениях х  Х, при которых предикат А(х) принимает значение «ложь», и принимает значение «ложь» при тех значениях х  Х, при которых предикат А(х) принимает значение «истина».

множеств Х и TA, где TA – множество истинности предиката

А(х). (дополнение)

В(х), который является ложным при тех значениях переменной х ,

при которых предикат А(х) принимает значение «истина», а предикат В(х) – значение «ложь», и принимает значение «истина» во всех остальных случаях.

Для этого достаточно в предикат подставить какое-нибудь значение переменной.

Существуют и

другие способы получения высказываний из предикатов.

= 8 получим высказывание Р(8): «Число 8 кратно 4»

– истинное высказывание.
О предикате нельзя сказать, истинный он или ложный.
Поставим перед предикатом слово «любое», получим предложение «Любое число х кратно 4». Относительно этого предложения уже можно сказать, истинно оно или ложно. Таким образом, «Любое число х кратно 4» – это уже высказывание и оно ложно. Поставим перед Р(х) слово «некоторые». Опять получим высказывание «Некоторые числа х кратны 4». Это высказывание истинно. В математике слова «все», «некоторые» и их синонимы называют кванторами.

этого символа к предикату P(x) – «навешивание квантора всеобщности».

Квантор общности

выражается с помощью слов «каждый», «всякий», «любой».

х Р(х) – для всех (любого) х истинно Р(х).

этого символа к предикату P(x) – «навешивание квантора cуществования».

Квантор существования выражается словами «некоторые», «найдётся», «существует» и др.

х Р(х) – существует х, такой что истинно Р(х).

любят кашу» – истинное высказывание.

Замечание:
Квантор общности произошел от английского слова

All и обозначается буквой A, перевернутой вверх ногами. Квантор существования произошел от английского Exist и обозначается буквой E, которую вверх ногами переворачивать бесполезно, поэтому ее повернули кругом.

переменная называется свободной.

Определение:
Выражение, на которое навешивается квантор х или х,

называется областью действия квантора.

x меньше 180см».
Рассмотрим все варианты навешивания кванторов, определим их истинность:
("x)

P(x) – «У всех людей рост меньше 180 см» - Л ($x) P(x) – «У некоторых людей рост меньше 180 см» - И

корнем уравнения 2x+3=9»

- Л ($x) Q(x) –«Существует действительное число, которое является корнем уравнения 2x+3=9» - И

25).
Определите истинность высказывания, считая, что все переменные принадлежат множеству действительных

чисел.

Данную запись можно представить высказыванием:
«существует х и существует y, такие что x2+ y2 > 25».
Высказывание является истинным, т.к. можно найти пару чисел х и y, для которых будет выполняться выражение x2+ y2 > 25
(например, х = 3 и y = 5).

форме, введя предикаты.

х – множество всех улиц
y – множество всех

праздников
Введем предикат P(x, y): « x имеет свой y ».

Данное высказывание в символичной форме запишется в виде:
(x)(y) P(x, y)

можно применить к одной переменной или к двум переменным.
Получаем

следующие высказывания:






При этом два квантора одного наименования можно менять местами, истинность высказывания при этом не изменится. При навешивании разноименных кванторов нельзя менять местами их
порядок, т.к. может измениться истинность высказывания.

у» на множестве людей.
Тогда:

 y  x P(x, y)

– «у каждого человека есть мать» ;

 x  y P(x, y) – «существует мать для всех людей».

опишите в словесной форме полученные высказывания.
P(x,y) определен на множестве

людей:

а) «x является родителем y» ;

б) «x является сыном y» .