Математическое моделирование Понятие математической модели Методы определения

математической модели

Методы определения математических моделей

Представления математических моделей

позволяющее выводить суждение о некоторых свойствах объекта при помощи формальных

процедур.

Изоморфизм – сходство форм при качественном различии явлений

В наиболее общем виде математическая модель объекта представляется уравнением

F(X, Y)= const

где X, Y - векторы управляемых и неуправляемых параметров модели.

взаимосвязанных факторов, при этом реально доступная информация может иметь любую

степень детерминированности, быть плохо формализуемой, поступать в произвольной форме и эволюционировать во времени. При математическом моделировании факторы отображаются в виде математических конструкций - таких, как параметры состояния объекта и среды, ограничения на область совместного и согласованного изменения этих параметров и т.д.

Формализация предполагает построение некоторой структуры с целью логического описания и понимания формализуемого объекта

что направление наблюдается в теодолит и его положение в пространстве

может быть определено зенитным расстоянием Z, горизонтальным направлением А.
Тогда математическая модель направления определяется орт вектором в системе координат, у которой:
· ось ОХ имеет направление в "точку нуля" на горизонтальном
круге,
· ось OY перпендикулярна оси ОХ и направлена вправо,
· ось OZ совпадает с осью вращения инструмента и направлена в зенит.

приближённое и абстрактное описание объектов моделирования. Это происходит в результате

замены моделируемых объектов, математическими объектами (числами, векторами, множествами, функциями и т.д.)

Два метода определения математических моделей: Аксиоматический Конструктивный

метода осуществляется переход из предметной области к абстрактной модели с

объектами произвольной природы, отношениями и операциями, которая определяется непротиворечивым набором правил (аксиом).

Непротиворечивость системы аксиом (совместимость) - это свойство, состоящее в том, что из такой системы аксиом нельзя вывести противоречия, т. е. двух предложений, одно из которых является отрицанием другого.

Основной недостаток аксиоматического метода состоит в том, что он лишь формирует утверждение о существовании модели и не определяет пути реализации.

существовании модели с возможностью её построения. В связи с этим

конструктивное определение модели неоднозначно и зависит от способа построения модели. Построение конструктивной модели, удовлетворяющей некоторой системе аксиом, доказывает непротиворечивость аксиоматического определения.

При конструктивном определении модели очень часто пользуются уже известными моделями. Например, алгебра матриц, аналитическая геометрия и т. д.

явных, неявных, параметрических функций, интегральных и дифференциальных уравнений или других

аналитических выражений, связывающих управляемые и неуправляемые переменные и цель моделирования.

Математические модели, представленные в аналитической форме, можно преобразовывать в соответствии с правилами и законами математики, получать решение и делать выводы, основанные на аналитических преобразованиях.

и CD,
для которых получены математические
модели: направление АВ => r1

(x1,y1,z1)
направление АС => r2 (x2,y2,z2) Требуется составить математическую модель для определения угла между этими направлениями. Решение: Воспользуемся формулой для определения скалярного произведения двух векторов
где φ - угол между векторами r1 и r2
из которого найдём:

форме, позволяют выявить наиболее общие закономерности, присущие объекту моделирования.
Достоинством

математических моделей в аналитической форме служит высокая степень общности и значимости результатов моделирования.
Недостатком - высокая чувствительность к степени сложности объекта моделирования, так как сложные объекты аналитически представляются грубо и неточно.

.

Среди моделей представленных в аналитической форме выделяют модели в инвариантной форме.
Инвариантность модели определяется относительно какой-либо совокупности преобразований

т.е. в виде точного предписания последовательности некоторой системы операций над

исходными данными с целью получения результата.

Для определения модели в алгоритмической форме необходимо указать:

1.    множество исходных данных,
2.    множество возможных
результатов,
3.    множество промежуточных
результатов (может
отсутствовать),
4.    критерий начала выполнения
алгоритма,
5.    критерий окончания
выполнения алгоритма,
6.    правила выполнения
алгоритма,
7.    правила извлечения
результата

алгоритм, который данному набору чисел ставит в соответствие функцию F,

представляющую исходный объект в соответствии с критериями качества моделирования.

Примером цифровой модели служит цифровая модель рельефа, состоящая из последовательности отметок точек, отделённых друг от друга конечными интервалами, и алгоритмов аппроксимации этой информации.

её представление на некотором графическом языке, например, на языке эквивалентных

схем, диаграмм, языке графов и т. д.

наглядно отражает сущность процессов в нём.
Примером может служить блок -

схема программы или блок - схема конструкции какого-либо объекта. Она представляет графическое изображение набора операционных элементов модели, характеризующихся определённой математической зависимостью между переменными на выходе и входе. Поэтому математическое описание эквивалентной схемы тождественно математическому описанию моделируемого объекта.

Представления математических моделей

из способов изображения зависимости между объектами.
График
Гистограмма

и описании различных математических моделей систем в экономике, биологии и

т. д.

Объект моделирования рассматривается как множество элементарных объектов, между которыми имеются некоторые зависимости. Элементарные объекты интерпретируются как точки, а связи (зависимости) между ними - как линии. Объект, состоящий из двух множеств (множества точек и множества линий), которые между собой находятся в некотором отношении, называют графом.

вершин, - множеством рёбер (направление связи между вершинами безразлично) или

множеством дуг (направление соединения вершин имеет значение).

Представления математических моделей

Пара вершин может быть соединена любым количеством рёбер; вершина может быть соединена сама с собой (петля). Простейшими примерами графов могут служить структурные схемы, маршрутные схемы, и т.д.