Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Математика ППИ
Содержание
- 1. Математика ППИ
- 2. Учебные вопросы 1. Введение в теорию ДУ:задачи,
- 3. 4. Частное и общее решения, интегральные кривые, поле направлений. 5. Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.
- 4. Литература[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления.
- 5. 1.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.Задача 1.
- 6. Слайд 6
- 7. Угловой коэффициент касательной МТ есть tgα, он
- 8. Решением дифференциального уравнения является любая первообразная для
- 9. Все первообразные для функции
- 10. Дифференциальное уравнение имеет бесчисленное множество решений.
- 11. Но если в условие задачи добавить точку
- 12. Для этого достаточно заменить в уравнении координаты x и y координатами точки M0
- 13. Отсюда имеем
- 14. Задача 2. Допустим, что в каждый момент
- 15. Кроме того, известно значение х0 положения точки
- 16. Решение. Положение точки определяется одной координатой х
- 17. Как известно из интегрального исчисления
- 18. Так как в формулу входит произвольная постоянная
- 19. Поскольку движущаяся точка принимает положение х0 в
- 20. Итак, закон движения точки имеет вид
- 21. Учебный вопрос.Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение).
- 22. ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.Определение. Обыкновенным дифференциальным
- 23. Определение. Порядком n дифферен-циального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей в это уравнение. Например,
- 24. Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х),
- 25. Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной
- 26. Определение. Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном
- 27. Учебный вопрос.Дифференциальные уравнения первого порядка.
- 28. Дифференциальные уравнения первого порядка.Определение. Дифференциальным уравнением первого
- 29. Если уравнение
- 30. Учебный вопрос.ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ
- 31. ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ,
- 32. Решение у=φ(х), полученное из общего при фиксированном
- 33. Задача Коши для уравнения
- 34. Уравнение
- 35. Это поле графически можно изобразить, поместив в
- 36. Слайд 36
- 37. ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ Определение. ДУ
- 38. Решение этого уравнения
- 39. Пример. Найти общее решение дифференциального уравнения
- 40. Слайд 40
- 41. Определение. Уравнение вида называется уравнением с разделяющимися переменными.
- 42. В этом уравнении легко разделить переменные. Для
- 43. Общим интегралом будет
- 44. ЗАМЕЧАНИЕМы могли потерять некоторые решения, которые обращают
- 45. Если решения yk= ak получаются из общего
- 46. Пример.Найти общий интеграл и частное решение уравнения
- 47. Слайд 47
- 48. Слайд 48
- 49. Частное решение
- 50. Учебные вопросы6. Однородные и линейные уравнения 1
- 51. Учебный вопрос.Однородные и линейные уравнения 1 порядка.
- 52. Однородные уравнения 1-го порядка. Определение. Дифференциальеное
- 53. 1) Однородные уравнения приводятся к уравнениям
- 54. ПримерРешить уравнение ху+ y2 = (2х2 +ху)у’ .Решение.
- 55. Слайд 55
- 56. Слайд 56
- 57. Линейные уравнения первого порядкаОпределение. Линейным дифференциальным уравнением
- 58. Рассмотрим линейное уравнение
- 59. Положим
- 60. Для нахождения u(x) подставим найденную функцию v(x)
- 61. Слайд 61
- 62. ПримерНайти частное решение, удовлетворяющее заданному начальному условию
- 63. Слайд 63
- 64. Слайд 64
- 65. Следовательно, частное решение данного дифференциального уравнения имеет вид: у = .
- 66. Учебный вопрос.Уравнения Бернулли.
- 67. Уравнения Бернулли.Определение. Дифференциальное уравнение вида
- 68. 2) Введем новую функцию
- 69. 4)Получили линейное неоднородное уравнение 1-го порядка.
- 70. ПримерНайти общее решение уравнения Решение.
- 71. Слайд 71
- 72. Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.
- 73. Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные
- 74. Определение. Общим решением ДУ n-го порядка называется
- 75. Задание на самостоятельную работуВспомнить таблицу основных интегралов.[2]
- 76. Изучить вопрос «Однородные дифференциальные уравнения первого
- 77. Скачать презентанцию
Учебные вопросы 1. Введение в теорию ДУ:задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения. 2.Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение). 3.Дифференциальные уравнения первого порядка.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Учебные вопросы
1. Введение в теорию ДУ:
задачи, приводящие к понятию
дифференциального уравнения.
3.Дифференциальные уравнения первого порядка.
Слайд 34. Частное и общее решения, интегральные кривые, поле направлений.
5.
Интегрирование уравнений с разделяющимися переменными.
Слайд 4Литература
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва:
Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;
[3] Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс
высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490.![Литература[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;[3] Б.П. Демидович, В.А.](/img/thumbs/e59a4a341b7bb572be071ecf02af03e4-800x.jpg "Математика ППИ Литература[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс,")
Слайд 51.Задачи, приводящие к понятию дифференциального уравнения.
Задача 1.
На
плоскости XOY найти кривую, которая в каждой своей точке имеет
касательную, образующую с положительным направлением оси Ox угол, тангенс которого равен удвоенной абсциссе точки касания.Решение.
Пусть уравнение искомой кривой y=f(x).
Слайд 7Угловой коэффициент касательной МТ есть tgα, он равен производной от
y по x, так что
С другой стороны, по
условию задачи имеем.
Приравнивая значения tg α, получим
Слайд 8Решением дифференциального уравнения является любая первообразная для функции 2x. Например,
решением будет .
Слайд 9 Все первообразные для функции 2x и, следовательно,
все решения дифференциального уравнения задаются формулой
.
Слайд 11Но если в условие задачи добавить точку M0 (x0, y0),
через которую проходит искомая кривая, то получим единственную кривую.
Слайд 14Задача 2.
Допустим, что в каждый момент времени t известна скорость
v(t) точки, движущейся по оси OX, где v(t) - функция,
непрерывная на (a,b).
Слайд 15Кроме того, известно значение х0 положения точки в определенный момент
времени t0 . Требуется найти закон движения точки.
Слайд 16Решение.
Положение точки определяется одной координатой х и задача состоит в
том, чтобы выразить х как функцию от t . Принимая
во внимание механический смысл первой производной, мы получим равенство
Слайд 18Так как в формулу входит произвольная постоянная C, то мы
ещё не получили определённого закона движения точки.
Слайд 21Учебный вопрос.
Обыкновенные дифференциальные уравнения, основные понятия (порядок, степень, решение).
Слайд 22ОБЫКНОВЕННЫЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ, ОСНОВНЫЕ ПОНЯТИЯ.
Определение. Обыкновенным дифференциальным уравнением n–ого порядка
называется выражение вида:
где х – независимая переменная;
у(х) – неизвестная функция;
– производные искомой функции.
Слайд 23Определение. Порядком n дифферен-циального уравнения называется порядок наивысшей производной, входящей
в это уравнение.
Например,
Слайд 24Определение. Решением дифференциального уравнения называется функция у=φ(х), которая при подстановке
в уравнение обращает его в верное равенство.
Слайд 25Определение. График решения дифференциального уравнения называется интегральной кривой дифференциального уравнения.
Процесс нахождения решения дифференциального уравнения называется интегрированием этого уравнения.
Слайд 26Определение. Решение дифференциального уравнения, полученное в неявном виде
,
называется интегралом дифференциального уравнения.
Слайд 28Дифференциальные уравнения первого порядка.
Определение. Дифференциальным уравнением первого порядка называется соотношение,
связывающее независимую переменную, искомую функцию и ее первую производную:
,где
Слайд 31 ЧАСТНОЕ И ОБЩЕЕ РЕШЕНИЯ, ИНТЕГРАЛЬНЫЕ КРИВЫЕ, ПОЛЕ НАПРАВЛЕНИЙ
Определение. Решение
у=φ(х,С), которое зависит от независимой переменной х и произвольной постоянной,
называется общим решением ДУ первого порядка.
Слайд 32Решение у=φ(х), полученное из общего при фиксированном значении произвольной постоянной,
называется частным решением ДУ первого порядка.
Слайд 33Задача Коши для уравнения
состоит в том, чтобы найти частное решение
уравнения, удовлетворяющее начальному условию 
Слайд 34Уравнение
в каждой точке
M (x , y)
области, где определено его решение у=φ(х ,С ), задаёт направление касательной к интегральной кривой. В итоге мы получаем целое поле направлений.
Слайд 35Это поле графически можно изобразить, поместив в каждой точке M(x,
y) черточку, наклоненную к оси Ox под углом, тангенс которого
равен
Слайд 37ИНТЕГРИРОВАНИЕ УРАВНЕНИЙ С РАЗДЕЛЯЮЩИМИСЯ ПЕРЕМЕННЫМИ
Определение. ДУ первого порядка называется
уравнением с разделенными переменными, если его можно представить в виде
Слайд 42
В этом уравнении легко разделить переменные. Для этого поделим уравнение
на произведение
. Тогда получим - это уравнение с разделенными переменными.
Слайд 44ЗАМЕЧАНИЕ
Мы могли потерять некоторые решения, которые обращают в нуль произведение
R(x)Q(y), а именно Q(y)=0, отсюда yk= ak ,где ak –
const.
Слайд 45Если решения yk= ak получаются из общего при
подходящем выборе С, то такие решения будут частными, если же
подобрать нужное С невозможно, то они называются особыми решения.
Слайд 46Пример.
Найти общий интеграл и частное решение уравнения
удовлетворяющее условию
.
Решение.
Делим на
, тогда
Слайд 50Учебные вопросы
6. Однородные и линейные уравнения 1 порядка.
7. Уравнения
Бернулли 1-го порядка.
8. Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и
граничные условия.
Слайд 52Однородные уравнения 1-го порядка.
Определение. Дифференциальеное уравнение 1 порядка
называется однородным ДУ-1, если f(x,y) может быть представлена как функция
отношения своих аргументов,т.е. или
f(λx,λy)=f(x,y), где λ – const.
Слайд 53
1) Однородные уравнения приводятся к уравнениям с разделяющимися переменными
с помощью следующей замены:
, т.е.у=zх, отсюда у’=z’x+z .
2) После подстановки у, у’ в исходное уравнение получим ДУ с разделяющимися переменными, в котором неизвестной является функция z(x).
3)После интегрирования в общем решении необходимо z заменить на отношение .
Слайд 57Линейные уравнения первого порядка
Определение. Линейным дифференциальным уравнением 1-го порядка называется
уравнение вида:
,где у(х) – неизвестная функция.
Это уравнение линейно относительно у и у’ .
Если правая часть уравнения q(x) = 0, то получим уравнение
,
которое называется линейным однородным, соответствующим линейному неоднородному уравнению.
Слайд 58Рассмотрим линейное уравнение
Неизвестную функцию у(х) будем
искать в виде произведения неизвестных функцийу(х)=u(x)∙v(x), тогда y’=u’v+uv’. Подставляя y и y’ в исходное уравнение, получим:
Слайд 60Для нахождения u(x) подставим найденную функцию v(x) и ее производную
=
в уравнение, получим уравнение с разделяющимися переменными
.
Решим его
Слайд 67 Уравнения Бернулли.
Определение. Дифференциальное уравнение вида
, где α ≠ 0, 1
называется уравнением Бернулли.
1)Предполагая, что у ≠ 0, разделим обе части уравнения Бернулли на уα. В результате получим:
Слайд 68
2) Введем новую функцию
. Тогда
3) Умножим уравнение на (-α+1) и перейдем в нем к функции z(x):
Слайд 694)Получили линейное неоднородное уравнение
1-го порядка. Это уравнение решается
методом множителей Бернулли.
5)Решив уравнение , подставим в
его общее решение вместо z(x) выражение , получим общий интеграл уравнения Бернулли. Уравнение Бернулли можно также решить, не делая замены переменных, а сразу применяя метод множителей Бернулли.
Слайд 73Дифференциальные уравнения высших порядков, начальные и граничные условия.
Определение. Уравнением n-го
порядка называется уравнение вида
, (n>1) .Задача Коши уравнения n-го порядка ставится следующим образом: найти решение y=y(x) удовлетворяющее начальным условиям
Слайд 74Определение. Общим решением ДУ n-го порядка называется функция y=φ(x,C1,C2,…,Cn), которая
при подстановке в уравнение обращает его в верное равенство.
Слайд 75Задание на самостоятельную работу
Вспомнить таблицу основных интегралов.
[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное
и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс, 2005. с. 13-90;
[3]
Б.П. Демидович, В.А. Кудрявцев. Краткий курс высшей математики. Москва: Издательство АСТ, 2004. с. 446-490.![Задание на самостоятельную работуВспомнить таблицу основных интегралов.[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. Т 2. Москва: Интеграл-Пресс,](/img/thumbs/8232ea59517c608f6f0c691d1ebceda8-800x.jpg "Математика ППИ Задание на самостоятельную работуВспомнить таблицу основных интегралов.[2] Н.С. Пискунов. Дифференциальное и")
Слайд 76
Изучить вопрос «Однородные дифференциальные уравнения первого порядка» и выполнить
конспект этого вопроса.
(Н.С. Пискунов. Дифференциальное и интегральное исчисления. С.24-26)
