Метод аналіза ієрархій Зміст лекції

© ЄА. Лавров, 2014-2019
/14

Зміст лекції:
Приклад багатокритеріального експертного оцінювання альтернатив
Багатокритеріальне експертне оцінювання альтернатив Приклад розширеної ієрархії прийняття рішень.
Cпособи визначення вагових коефіцієнтів в методі аналіза ієрархій
Узгодженість матриць порівнянь
Рішення задач методом Аналіза ієрархій в Excel
Завдання на сам. роботу.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/100

ідей, почуттів, емоцій
визначаються деякі кількісні показники,
що забезпечують числову

шкалу переваг для можливих альтернативних рішень.
Цей підхід відомий як
метод аналізу ієрархій.
Перед тим як викласти деталі даного методу, розглянемо приклад, що демонструє спосіб, за допомогою якого оцінюються різні альтернативні рішення.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

оцінювання альтернатив

школи, який
отримав повну стипендію від трьох університетів: А, В і

С.

Для того
щоб вибрати університет, Альтернативи

Мартін сформулював два основних
критерії:


місцезнаходження університету
та його академічна репутація.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

школи, який
отримав повну стипендію від трьох університетів: А, В і

С. Для того
щоб вибрати університет, Мартін сформулював два основних
критерії: місцезнаходження університету та його академічна репутація.
Будучи відмінним учнем, він оцінює академічну репутацію університету в п'ять разів вище ніж його місцезнаходження. Це призводить до того, що репутації університету приписується вага приблизно 83%,
а місцезнохожденню- 17%.
Далі Мартін використовує системний аналіз для оцінки університетів з точки зору їх місцезнаходження та репутації.
Проведений аналіз дає такі оцінки..

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

двома критеріями (місцезнаходження і репутація) і три альтернативних рішення (університети

А, В і С).
Ієрархія прийняття рішення

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Оцінка трьох університетів заснована на обчисленні комбінованого вагового коефіцієнта для кожного з них. Університет А: 0,17 х 0,129 + 0,83 х 0,545 = 0,4743. Університет В: 0,17 х 0,277 + 0,83 х 0,273 = 0,2737. Університет С: 0,17 х 0,594 + 0,83 х 0,182 = 0,2520.      На основі цих обчислень університет А отримує найвищу комбіновану вагу
Є оптимальним вибором Мартіна.

вибору альтернативи
(вибір
покупки
Теми наук. Роботи
Наук керівника
Місця роботи
Місця відпочику
Інше)
2. Задати дані
3.

Вірішити задачу вибору
_________________________________
Виконується в Конспекті

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

.

Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/100

методу аналізу ієрархій може включати кілька ієрархічних рівнів . Припустимо,

що сестра-близнюк Мартіна Джейн також отримала повну стипендію від трьох університетів. Однак їхні батьки ставлять умову, що діти повинні вчитися водному університеті, тоді вони зможуть користуватися одним автомобілем.Структура задачі вибору рішення включає два ієрархічних рівня зі своїми критеріями.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Величини р і q (імовірно рівні) на 1-му ієрархічному рівні - вагові коефіцієнти, які приписуються точці зору Мартіна і Джейн щодо процесу вибору відповідно. 2-й рівень використовує ваги (р 1, р 2) і (q1, q2) для відображення точок зору Мартіна і Джейн щодо критеріїв місцезнаходження та академічної репутації кожного університету. (p + q = 1, p1 + p2 = 1, q1 + q2 = 1, p11 + p12 + p13 = 1, p21 + p22 + p23 = 1, q11 + q12 + q13 = 1, q21 + q22 + q23 = 1)
3-й рівень Підсумкові ваги для ун-ту А, демонструють, як обчислюються показники.

Нехай для задачі вибору університету Мартіном і Джейн встановлені наступні

значення вагових коефіцієнтів

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Завдання на сам. Роботу 2. Нехай для задачі вибору університету Мартіном і Джейн встановлені наступні значення вагових коефіцієнтів
р=0,5, q=0,5, p1=0,17, p2=0,83, p11=0,129, p12=0,277, p13=0,594, p21=0,545, p22=0,273, p23=0,182, q1=0,3, q2=0,7, q11=0,2, q12=0,3, q13=0,5, q21=0,5, q22=0,2, q23=0,3,
Задача- вибрати університет

Нехай для задачі вибору університету Мартіном і Джейн встановлені наступні

значення вагових коефіцієнтів

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Рішення
Університет А: p(p1*p11+p2*p21)+q(q1*q11+q2*q21) = 0,5(0,17*0,129+0,83*0,545)+0,5(0,3*0,2+0,7*0,5) = 0,44214
Університет B: p(p1*p12+p2*p22)+q(q1*q12+q2*q22) = 0,5(0,17*0,277+0,83*0,273)+0,5(0,3*0,3+0,7*0,2) = 0,25184
Університет C: p(p1*p13+p2*p23)+q(q1*q13+q2*q23) = 0,5(0,17*0,594+0,83*0,182)+0,5(0,3*0,5+0,7*0,3) = 0,30602___________________________________________
 Університет А отримує найвищу комбіновану вагу і, отже, є оптимальним вибором.

Нехай для задачі вибору університету Мартіном і Джейн встановлені наступні

значення вагових коефіцієнтів

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Завдання на сам. Роботу 2 Продовження
. р=0,5, q=0,5, p1=0,17, p2=0,83, p11=0,129, p12=0,277, p13=0,594, p21=0,545, p22=0,273, p23=0,182, q1=0,3, q2=0,7, q11=0,2, q12=0,3, q13=0,5, q21=0,5, q22=0,2, q23=0,3,

Для кожного показника p1, p2,…..
Дати змістовний опис його Сутності.

2,
але – з врахуванням вимог 2-х учасників)
1.Скласти задачу вибору

альтернативи
(вибір
покупки

Місця відпочику
Інше)
2. Задати дані
3. Вірішити задачу вибору
_________________________________
Виконується в Конспекті

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

.

рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/14

2014-2019
/14
Складність методу аналізу ієрархій-
у визначенні

відносних вагових коефіцієнтів
для оцінки альтернатив

2014-2019
/14

2014-2019
/14

Якщо задано n критеріїв на заданому рівні ієрархії,

Створюється матриця

А розмірності n,
( називається матрицею парних порівнянь)

відображає судження ОПР , щодо важливості різних критеріїв.
Парне порівняння виконується таким чином, що
критерій в рядку i (i = 1, 2, ..., n)
оцінюється щодо кожного
з критеріїв,
представлених n стовпцями.


Позначимо через aij елемент матриці А, що знаходиться на перетині i-го рядка і j-го стовпця.
Відповідно до методу аналізу ієрархій для опису згаданих оцінок використовуються цілі числа від 1 до 9.
При цьому: aij = 1 означає, що i-й і j-й критерії однаково важливі, aij = 5 відображає думку, що i-й критерій значно важливіше, ніж j-й, aij = 9 вказує, що i-й критерій надзвичайно важливіше j-го.

Лавров, 2014-2019
/14
Позначимо через aij елемент матриці А,
що знаходиться на

перетині
i-го рядка і j-го стовпця.
Відповідно до методу аналізу ієрархій для опису оцінок використовуються цілі числа від 1 до 9.
При цьому:
aij= 1 означає, що i-й і j-й критерії однаково важливі,
aij= 5 відображає думку, що i-й критерій значно важливіше, ніж j-й,
aij= 9 вказує, що i-й критерій надзвичайно важливіше j-го.

Лавров, 2014-2019
/14

Інші проміжні значення між 1 і 9
інтерпретуються аналогічно.

Узгодженість таких позначень забезпечується наступною умовою:
якщо aij = k, то автоматично aji = 1 / k.      Крім того,
всі діагональні елементи aij матриці А
повинні бути рівні 1, так як вони виражають оцінку критеріїв щодо самих себе.

А для задачі вибору Мартіна із 1-го прикладу лекції .
Головний

ієрархічний рівень
(критерії академічної репутації університету та місцезнаходження)
З точки зору Мартіна, академічна репутація університету значно важливіше його місцезнаходження.
Отже, він приписує елементу (2, 1) матриці А значення 5, тобто a21 = 5.
Це автоматично передбачає, що a12 = 1/5.
Позначивши через R і L критерії репутації університету та його місцезнаходження, можна записати матрицю порівняння наступним чином.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

L можуть бути визначені шляхом ділення елементів кожного стовпця на

суму елементів цього ж стовпця.
Отже, для нормалізації матриці А ділимо елементи першого стовпця на величину 1 + 5 = 6,
елементи другого - на величину 1 + 1/5 = 1,2.
Шукані відносні ваги wR и wL критеріїв обчислюються тепер у вигляді середніх значень елементів відповідних рядків нормализованої матриці А. Отже,

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

wR = 0,83 та
wL = 0,17.
Стовпці матриці N однакові, що має місце лише у випадку, коли ОПР проявляє ідеальну узгодженість у визначенні елементів матриці А.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Лавров, 2014-2019
/14
Відносні ваги альтернативних рішень, відповідних університетам А, В і

С, обчислюються в межах кожного критерію R і L з використанням двох матриць порівняння.







Елементи матриць АR і АL визначені на основі суджень Мартіна, що стосуються "ступеня реалізованості критерію" у кожному з 3 університетів.

0,273, 0,182) дають ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації
Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.












Величини (wRA, wRB, wRC) = (0,545, 0,273, 0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

При діленні елементів кожного стовпця матриць АR і АL на суму елементів цих же стовпців отримуємо нормалізовані матриці.

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

У попередньому прикладі відзначали, що всі стовпці нормалізованих матриць N і NR ідентичні, а стовпці матриці NLтакими не є.

Однакові стовпці вказують на те, що результуючі відносні ваги зберігають одне і те ж значення незалежно від того, як виконується порівняння.

В цьому випадку говорять, що
вихідні матриці порівняння
А і АR, є узгодженими.


Отже, матриця АL не є такою.

визначенням парних порівнянь критеріїв або альтернатив.
З математичної точки зору

узгодженість матриці А означає,

що aijajk = aik для всіх i, j та k

Наприклад, в матриці AR із прикладу(див. вище)
a13 = 3 та a12a23 = 3

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Властивість узгодженості вимагає лінійної залежності стовпців (і рядків) матриці А.

Зокрема, стовпці будь-якої матриці порівнянь
розмірністю 2x2 є залежними

така матриця завжди є узгодженою.      Не всі матриці порівнянь є узгодженими.

Приймаючи до уваги, що такі матриці будуються на основі людських суджень,
можна очікувати деяку ступінь неузгодженості.     

2014-2019
/14
Щоб з'ясувати, чи є рівень узгодженості "допустимим", необхідно визначити відповідну

кількісну міру для матриці порівнянь А.
У прикладі ми бачили, що ідеально узгоджена матриця А породжує нормализовану матрицю N, в якій всі стовпці однакові

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Звідси випливає, що матриця порівнянь А може бути отримана з матриці N шляхом ділення елементів i-го стовпчика на wi (це процес, зворотний до знаходження матриці N з А). Отже, отримуємо наступне..

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Використовуючи наведене визначення матриці А, маємо.

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

У компактній формі умова узгодженості матриці А формулюється таким чином. Матриця А буде узгодженої тоді і тільки тоді, коли.



Aw=nw
де w — вектор-стовбець відносних вагів wi, i = 1, 2, ..., n.

Коли матриця А не є узгодженою, відносна вага wi апроксимується середнім значенням n елементів i-го рядка нормализованної матриці N (див. Приклад вище).

вага wi апроксимується середнім значенням n елементів i-го рядка нормализованої

матриці N (див. Приклад вище).
не співпадають



Не узгоджена матр



Узгоджена матр



співпадають

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

можна показати, що

, де nmax ≥ n
В цьому випадку, чим ближче nmax до n,
тим більш узгодженою є
матриця порівняння А

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

В

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

В результаті згідно з методом аналізу ієрархій обчислюється коефіцієнт узгодженості у вигляді

.



Де
- коефіцієнт узгодженості матриці А

-стохастичний коефіцієнт узгодженості
матриці А
Стохастичний коефіцієнт узгодженості RI визначається емпіричним шляхом
як середнє значення коефіцієнта CI для великої вибірки генерованих випадковим чином матриць порівняння А.

0,182) дають відповідні ваги для університетів А, В і С

з точки зору академічної репутації.      Аналогічно величини (wLA, wLB, wLC) = (0,129, 0,277, 0,594) є відносними вагами, що стосуються місцезнаходження університетів.

Теорія Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019

/14

Коефіцієнт узгодженості CR використовується для перевірки узгодженості матриці порівняння А наступним чином.


Якщо CR <0,1,
рівень неузгодженості є прийнятним.

Інакше рівень неузгодженості
матриці порівняння А є високим,
ОПР , рекомендується перевірити елементи парного порівняння aij матриці А в цілях отримання більш узгодженої матриці.

2014-2019
/14



Значення nmax обчислюється на основі

матричного рівняння При цьому неважко помітити, що i-e рівняння цієї системи має вигляд:



Оскільки , легко перевірити, що





Величину nmax можна визначити шляхом обчислення вектор-стовпця Aw з наступним сумувуванням його елементів.

стовпці матриці NL неоднакові. Потрібно дослідити узгодженість матриці AL .

Обчислимо значення nmax. З даних прикладу


Виходячи з цього






nmax = 0,3863 + 0,8320 + 1,7930 = 3,0113
_______________________________________________________________

/14

= 3,0113
Таким чином , для n = 3 маємо










Оскільки

CR < 0,1, рівень узгодженості матриці AL є припустимим

/14

ЄА. Лавров, 2014-2019
/100

ЄА. Лавров, 2014-2019
/100

Прийняття рішень
© ЄА. Лавров, 2014-2019
/100

2014-2019
/100