Метод математической индукции

множестве чисел

1, 2, 3,… и т.д.) (! Ноль не принадлежит множеству

N)
Вот вам такое простое утверждение:
1+2+…+n = ((1+n)/2)n
Эта формула справедлива и нужна для того, чтобы быстро считать конечные последовательности чисел вида, например (1+2+3+4), или, например (1+2+3+4+5+6). Здесь важно, чтобы цифры не пропускались. Выражение, к примеру (1+3+6) с помощью данной формулы посчитать нельзя.
Буквой n в формуле обозначается последний элемент такой последовательности

доказать БАЗУ ИНДУКЦИИ ШАГ ИНДУКЦИИ
Вообще, хотелось бы для начала знать, что это

и зачем это нужно

доказывать верность утверждения. Например здесь, это число 1, в случае

с другой формулой (утверждением) базой могло бы послужить другое число

Здесь n=1 так как наша конечная последовательность состоит из всего

1 числа Итак, подставим в равенство. 1 = ((1+1)/2)*1 Можете убедиться, что равенство верное, базу индукции в данном примере мы доказали

числа K, опираясь на предположение, что утверждение верно для числа

(K-1) Шаг индукции нужен, чтобы вручную не перебирать 100500 чисел, проверяя, верна ли формула для них

утверждение верное, докажем, что утверждение верно для n = k ([1+(k-1)]/2)*(k-1)

– так выглядит формула для n = (k - 1) Это тоже самое, что 1+2+3+…+(k - 1) рассмотрим последовательность почти такую же, но до k, а не (k-1) 1+2+3+…+(k-1)+k левую часть заменим (в прямоугольнике) на нашу уже известную формулу, так как мы предположили утверждение верным для (k -1) В итоге имеем ([1+(k-1)]/2)*(k-1)+k

к тому, как должна выглядеть формула для n = k

База

индукции доказана.


Утверждение верно для всех последовательностей, начиная от последовательности из одной единицы, до любой конечной последовательности

работает?

Для устранения этого непонимания я приведу вам простое объяснение (доказательство)

того, что метод математической индукции действительно работает

Представим, что есть некое утверждение, (предикат, если математическим языком), обозначим его «P»

Так как это увтерждение для какого-то конкретного числа (как в примере было n), это утверждение зависящее от n. Поэтому обозначается «P(n)»

Итак, пусть соблюдены 2 условия: Доказана база индукции и шаг индукции, ОДНАКО, ОТ ПРОТИВНОГО, пусть УТВЕРЖДЕНИЕ ГДЕ-ТО ОКАЗАЛОСЬ ЛОЖНЫМ

Если оно где-то ложно, значит обязательно есть какой-то конечный набор чисел, для которых утверждение ложное. Давайте возьмём минимальное число из этого набора. Обозначим его за « i »

следующим образом: Так как i меньшее из тех чисел, для

которых P ложно, то откатившись на шаг назад (рассмотрев утверждение P(i-1)) мы увидим, что оно истинно

Проведем шаг индукции для P(i-1), и так как шаг индукции доказан, имеем что P((i-1)+1) истинно. Шаг индукции ведь доказывает верность последующего, опираясь на верность текущего.

Выходит что P(i-1+1), равное P(i) истинно, а мы его взяли из множества, для которых утверждение ложно. Противоречие. Такими противоречиями (но куда более строгими, и зачастую не понятными новичкам) доказываются утверждения. Предполагаем выполнение чего-либо, и приходим к полнейшему математическому абсурду. Раз пришли к абсурду, значит и предположение было ложным.

видеоролик. Мне в своё время он очень пригодился
https://youtu.be/X_KXgYFCmz0

в сообщения

Пишите сюда: https://vk.com/mathhubb
Весь этот проект создан, чтобы помочь

студентам технических вузов с математикой