Модели биологических аналогий

– дифференциальные и разностные уравнения, методы качественной теории дифференциальных уравнений,

компьютерная симуляция

равен

,
где R – число родившихся и S – число умерших за время особей пропорциональные этому промежутку времени:


В дискретной форме:
В непрерывной форме:

пропорциональны численности:


или

Получим экспоненциальную форму динамики роста

при положительных (размножение) и отрицательных (вымирание) значениях константы скорости роста

х численность x возрастает, при больших – приближается к определенному

пределу K.
Аналитическое решение имеет вид:

популяции

Если начальное значение

, кривая роста имеет точку перегиба

Если , численность со временем убывает

Уравнений




P(x, y), Q(x, y) - непрерывные функции, определенные в некоторой

области евклидовой плоскости G (x, y – декартовы координаты) и имеющие в этой области непрерывные производные порядка не ниже первого
x, y – численность видов

совокупность всех состояний системы.
Точка M(x,y) называется изображающей или представляющей

точкой
Совокупность точек M(x(t), y(t)) на фазовой плоскости, положение которых соответствует состояниям системы в процессе изменения во времени переменных x(t), y(t) согласно уравнениям системы, называется фазовой траекторией

фазовый портрет системы
Для изображения фазового портрета необходимо построить векторное поле

направлений траекторий системы в каждой точке фазовой плоскости.
Задавая приращение , получим соответствующие приращения

фазовых траекторий системы на плоскости

в неограниченном количестве, либо ее поступление с течением времени жестко

регламентировано.
2. Особи каждого вида отмирают так, что в единицу времени погибает постоянная доля существующих особей.
3. Хищные виды поедают жертв, причем в единицу времени количество съеденных жертв всегда пропорционально вероятности встречи особей этих двух видов, т.е. произведению количества хищников на количество жертв.

в ограниченном количестве и несколько видов, которые способны ее потреблять,

то доля пищи, потребляемой видом в единицу времени, пропорциональна количеству особей этого вида, взятому с некоторым коэффициентом, зависящим от вида (модели межвидовой конкуренции).
5. Если вид питается пищей, имеющейся в неограниченном количестве, прирост численности вида в единицу времени пропорционален численности вида.
6. Если вид питается пищей, имеющейся в ограниченном количестве, то его размножение регулируется скоростью потребления пищи, т.е. за единицу времени прирост пропорционален количеству съеденной пищи.

роста видов,
ci – константы самоограничения численности (внутривидовой конкуренции),
bij

– константы взаимодействия видов, (i,j=1,2)
Знаки этих коэффициентов определяют тип взаимодействия

1 и 3 неустойчивые

их добычи, когда между особями одного вида нет соперничества
x1

– число жертв, x2 – число хищников



a – скорость размножения жертв в отсутствие хищников,
–bx2 – потери от хищников
–c – относительная скорость изменения популяции хищников

сумме трех величин

в модели Вольтерра–Лотка, в предположении, что жертвы встречаются редко
Если для

поддержания жизни одного хищника нужно J жертв, то популяция из жертв сможет обеспечить пищей x1/J хищников. Модель роста популяции хищников, в которой их число не может превысить эту критическую величину

на фазовом портрете системы будет

устойчивый предельный цикл

взаимодействуют друг с другом, т.е. коэффициент размножения хищников k2 и

число жертв L, истребляемых в единицу времени одним хищником, не зависит от y.
2) Прирост числа жертв при наличии хищников равен приросту в отсутствие хищников минус число жертв, истребляемых хищниками. Функции k1(x), k2(x), L(x) – непрерывны и определены на положительной полуоси x, y ≥0.
3) Число жертв, истребляемых одним хищником в единицу времени L(x)>0 при x>0; L(0)=0.

0. Это означает, что коэффициент размножения жертв в отсутствие хищника

монотонно убывает с возрастанием численности жертв, что отражает ограниченность пищевых и иных ресурсов.
5) dk2/dx > 0, k1(0) < 0 < k1(∞). С ростом численности жертв коэффициент размножения хищников монотонно возрастает, переходя от отрицательных значений, когда нечего есть, к положительным.

жертв x в отсутствие хищников,
Ф(x,y) – интенсивность хищничества,
k

– коэффициент, характеризующий эффективность переработки биомассы жертвы в биомассу хищника,
e – смертность хищника