Момент количества движения точки и механической системы

механики
ЛЕКЦИЯ 5.
ТЕОРЕМА ОБ ИЗМЕНЕНИИ МОМЕНТА КОЛИЧЕСТВА ДВИЖЕНИЯ

изменении количества движения (теорема моментов)
ДУ движения твердого тела
Законы

сохранения момента количества движения
Движение точки под действием центральной силы
Физический маятник
Решение задач с использованием теоремы моментов
Заключение

План лекции

об изменении импульса
Дали рекомендации к решению задач на применение

общих теорем динамики
Рассмотрели примеры решения задач

моментов)

Цель лекции

(импульс) системы
3 – момент количества движения
(момент

импульса) системы

4 – кинетическая энергия системы

Введение

НАПОМНИМ: МЕРЫ ДВИЖЕНИЯ

(мер движения) - центра масс, количества движения, момента количества движения,

кинетической энергии
Поведение же этих характеристик будет определяться теоремами об их изменении со временем.
На этой лекции мы изучим третью теорему:
Теорему об изменении момента количества движения

Введение

Введение

движения системы характеризуют ее поступательное движение
Для характеристики вращательного движения системы

введем момент количества движения.

Момент импульса точки M

Направление – по правилу векторного произведения.

O – центр

Модуль

Момент количества движения точки

M

Момент количества движения точки

сумма моментов импульса всех ее точек относительно того же центра

O

- момент импульса точки

Момент количества движения системы

Z


- расстояние до оси Z
Следовательно



Проекции момента импульса твердого тела,

вращающегося вокруг оси

импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси

импульса относительно осей X,Y,Z
необходимо и достаточно, чтобы его центробежные моменты

инерции были равны нулю
(например, Z - ось симметрии тела)

был направлен вдоль Z

Чтобы

(3)

Проекции момента импульса твердого тела, вращающегося вокруг оси

его движения является количество движения








для вращательного движения мерой движения

(мерой вращения) является его момент количества движения

центра O








при определении момента импульса его можно считать точкой, расположенной

в центре масс

Момент количеств движения системы относительно разных точек A и B

аналогична формуле из статики

- главный вектор

суммы, получаем


теорема моментов
Теорема моментов

и об изменении количества движения, позволяет исключить из рассмотрения все

наперед неизвестные внутренние силы.

Производная по времени от момента импульса механической системы относительно некоторого неподвижного центра О равна сумме моментов всех внешних сил, действующих на эту систему относительно того же центра О

Теорема моментов

кинематику: Плоское (или произвольное) движения твердого тела мы можем представить

как сумму поступательного движения вместе с центром масс C и вращательного (или сферического) движения вокруг центра масс C

Для определения вращательной части движения найдем выражение для теоремы моментов во вспомогательной системе координат

Д.У. плоского твердого тела

движение поступательное





второй закона Ньютона в неинерциальной системе отсчета
(10)

же выкладки, что были при выводе теоремы моментов, получим

моментов относительно центра масс сохраняет тот же вид, что и

относительно неподвижного центра

(12)

В результате мы получили

внешних сил относительно О, действующих на механическую систему равна нулю,

то момент импульса сохраняется во все время движения

Тогда из уравнения

следует

(14)

Законы сохранения момента импульса

относительно некоторой оси равна нулю



то момент количества движения относительно этой

оси сохраняется

(15)

Законы сохранения момента импульса

Для вращающегося тела формула (15) дает:

Примеры: вращение фигуриста, сальто гимнаста, падение человека – руки расставляет, падающая кошка приземляется на ноги!

малых колебаний
- центр масс;
Физический маятник

(18) используют для опытного определения

любые одинаковые промежутки времени (закон площадей)
Из постоянства направления

следует, что траектория движения является плоской кривой

Движение Земли вокруг Солнца

– сила притяжения
Земли к Солнцу

два поперечных сечения трубы, равна сумме моментов всех внешних сил,

действующих на объем жидкости, ограниченной этими сечениями, относительно того же центра О

Применение теоремы к движению жидкости

(19)

ось турбины сил давления воды.
(19)
Внешние силы давления жидкости во входном

и выходном сечении направлены вдоль радиусов и момента относительно оси Оz не создают
Для симметричной турбины сила тяжести проходит через ось Oz и также момента не создает. Следовательно

Из (19) получаем:

- турбинное уравнение Эйлера

связей)
Записать одну из общих теорем динамики(или несколько)
Проинтегрировать полученную систему уравнений.

Постоянные интегрирования определяются при этом из дополнительных (начальных) условий задачи
Определить искомые величины

Решение задач

Напомним рекомендации к решению задач:

Задача 1
Дано: платформа однородная веса P, радиуса R, трения в

опорах нет, ось z – вертикальная, при t=0 человек веса Q покоился.
Определить , если человек пойдет по платформе на расстоянии r с относительной скоростью u.

4,5.

Проанализировать ответ!

Внешние силы: m1g, m2g, R0
3.
Задача 2
Дано: две одинаковые обезьяны

сидят на концах каната. Первая – ползет все время по канату вверх, вторая – просто сидит. Какая из обезьян окажется наверху быстрее?
Считать канат и блок невесомыми, трением в блоке пренебречь.

4,5.

Обезьяны поднимутся одновременно!

Если бы вторая обезьяна тоже ползла, то они поднялись бы вдвое быстрее!

ДУ плоского движения:
Задача 3
Дано: однородный цилиндр массы m, катится без

проскальзывания по плоскости с углом наклона
Трением качения пренебречь. Найти ускорение цилиндра.

4,5.

Имеем:

Замечание

Иначе будет проскальзывание!

сохранения момента импульса
2. Выведены ДУ поступательного, вращательного и плоского движения

твердого тела
3. Приведены примеры применения теоремы моментов к движению Земли вокруг Солнца, к движению жидкостей, к физическому маятнику
4. Рассмотрены решения задач с использованием теоремы моментов

Заключение

и для чего вводится момент количества движения системы?
2. Чему равен

момент количества движения твердого тела относительно оси его вращения?
3. Как связаны моменты количеств движения относительно разных точек?
4. В чем состоит теорема моментов для системы?
5. Справедлива ли она с системе отсчета, движущейся поступательно с центром масс системы?
6. Когда сохраняется момент количества движения системы относительно точки? А относительно оси?
7. Зачем фигурист прижимает руки к туловищу, если он хочет вращаться быстрее?
8. Можно ли изменить момент количества движения за счет внутренних сил? А момент инерции относительно оси?
9. В чем аналогия между поступательным и вращательным движением твердого тела?

движение материальной точки под действием центральной силы?
11. Что называют физическим

маятником? Каким уравнением описываются его малые колебания?
12. Какой вид имеют ДУ вращательного, поступательного и плоского движения твердого тела?
13. Можно ли составить ДУ произвольного движения твердого тела?
14. Каковы основные этапы решения задач на применение теоремы моментов? В каких случаях удобно использовать именно эту теорему?