НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

этого языка (чертежа).
Начертательная геометрия изучает методы построения изображений пространственных объектов

– непрерывное одномерное множество точек ( цепочка точек). Непрерывная последо-вательность

их построения лежит один и тот же метод – метод

Перспективная проекция

Аксонометрическая проекция

Ортогональные проекции

прямая
SA ∩ ПК = АК
АК – проекция объекта

Пк – плоскость проекций
S – центр проецирования

Аппарат проецирования

Закон проецирования

SВ ∩ Пк = Bк SС ∩ Пк =

∩ SC …= S

следовательно
S A  S B  S C  …  s

s – направление проецирования; S  s

Если прямая не перпендикулярна плоскости проекций
П1, то

Если прямая перпендикулярна плоскости проекций П1, то ее проекция - точка.
e  П1  e1 - точка

4. Если точка принадлежит прямой, то проекция этой точки принадлежит проекции прямой
A  b  A1  b1

5. Отношение отрезков, принадлежащих одной прямой равно отношению их проекций.
Точка делит отрезок прямой в том же отношении, что проекция этой точки делит проекцию отрезка.
[AM]: [MB] = [A 1 M 1]: [M 1 B 1]

может быть проекцией любой точки, лежащей на прямой s.
 
Для однозначности

П1  П2

Плоскости П1 и П2 делят пространство на четыре четверти:
I, II, III, IV – четверти пространства

Плоскость П1 поворачивается вокруг оси x12 так, что передняя часть П1 совпадает с нижней частью плоскости П2

A1 - горизонтальная проекция точки A
AA2  П2

точки в пространстве

Точка A находится в I четверти
Горизонтальная проекция расположена

оси x12

оси x12 так как после поворота C1 будет совмещаться с

оси x12, так как горизонтальная проекция D1 совмещается с нижней

и фронтальные проекции точек A и C, расположенных в нечетных

до плоскостей проекций, на которых они находятся равны нулю
Точка E

Фронтальная проекция E2 находится на оси x12, а горизонтальна проекция E1 совпадает с точкой E (E  E1)

– на верхней части плоскости П2.
Точка M находится на

Точка N расположена на оси x12, обе ее проекции N1 и N2 совпадают с самой точкой N.

Линии могут быть прямыми, ломаными и кривыми

случае
может быть определена, если заданы проекции двух ее точек

принадлежат одноименным проекциям прямой
Cl  C1l1 ; C2l2
Точки A, B

Пk
l II Пk
l  Пk
Прямая уровня
Проецирующая
прямая

l2 II x1,2
l1  x1,2 и l2  x1,2
Прямая общего

h II П1
AB  h  AB II

 h2 II x1,2
 А1В1  IABI
  h1(А1В1) ^ x1,2

f II П2
AB  f  AB II

 f1 II x1,2
А2В2  IABI
  f2(А2В2) ^ x1,2

параллельна оси х1,2

m II П2
AB  m
AB II П2


m II П1
AB  m
AB II П1
 m2

точка

Dk
m1 ∩ n1 = D1
m2 ∩ n2 = D2
D1D2 

II n2

∩ n
Пары точек (1,2) и (3,4) – конкурирующие точки

Определение видимости Точки 1 и 2 горизонтально-конкурирующие Точка 1 выше,

прямые
γ(a∩b)

Проецирующая плоскость
Плоскость уровня
Положение плоскости относительно плоскостей проекций

форму прямой линии
β(А,l)
γ(m∩n)
δ(m‖n)
ε(АВС)

прямая
Проецирующие плоскости
α  П1
β  П2

II П2
α II П1
α2 – прямая и α2II x1,2
β1 –

АВС α АВС II П1А1В1С1 АВС

АВС β АВС II П2А2В2С2 АВС

если две точки прямой принадлежат этой плоскости.
l; l (1,2),

плоскости, если она проходит через точку, принадлежащую этой плоскости, и

h2  x1,2
Задаем h (А,1); 1ВС
Строим h1 (А1,11)

Это прямая, принадлежащая

f1  x1,2
Задаем f (А,1); 1ВС
Строим f2(А2,12)
Это прямая, принадлежащая плоскости,
и

этой плоскости
А  α  А  l , l

|| m)
(1n);
Дано: плоскость α(m,n); точка А(А2) α.
Построить: А1.
Первый вариант

Второй вариант построения

плоскости ТАВС, имея проекцию K2, выполним:
1. Проведем проекцию t2 прямой

2. Отметим прямую в плоскости двумя точками A и D. В примере проекции точки A известны, а точку D находим на соответствующих проекциях прямой BC.

3. Проводим линию связи из точки K2 до пересечения с проекцией t1.

параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.
Т(a∩b);
P(c∩d);
aIIc;

 Т и l  P(∆АВС)

Т  П2  Т2 – прямая  (M2N2 ≡ Т2)

Частный случай: одна из двух пересекающихся плоскостей плоскость частного положения – Т фронтально-проецирующая.

точками.
Любая из этих двух точек может быть получена:
пересечением двух прямых

b= β∩γ
N=c∩α; cβ

как точки пересечения трех плоскостей
М=Т ∩ Р ∩

Общий случай: Заданы две плоскости Т и Р общего положения.

плоскости
γ – дополнительная секущая плоскость (проецирующая)

прямой, принадлежащей одной из заданных плоскостей, с другой заданной плоскостью

перпендикулярна

плоскости.
l ‖Ф

l II m
Если l ∩ m ,
l ≡ m
Но m  Ф, следовательно,
m = Ф ∩ T
T – вспомогательная плоскость
Если T  Пк , то lк ≡ Tк ≡ mк
m  Ф

то l  T и m  T

относительно плоскости АВС

1.Зададим m2 ≡ l2
2. m(1,2); 1=m∩АВ; 2=m ∩ВС;
3.

(∆АВС) если она пересекает прямую (m), принадлежащую этой плоскости(∆АВС)

2 Для

выполним:
1. Проведем m, учитывая, что l1≡ m1
2. Отметим прямую m

Дана прямая l.
Определить ее положение относительно плоскости АВС

Пример 2

l, 2  (BC)
Точка 3 расположена выше точки 2,

3. Фронтально-конкурирующие точки
Рассмотрим (42=52). 5  l, 4  (AC)
Точка 5 на фронтальной плоскости проекций будет видима относительно плоскости Ф (ABC), значит, прямая l тоже видима

1. Горизонтально-конкурирующие точки
Выделим точки (2, 3), определяющие видимость прямой l относительно плоскости Ф (ABC) на горизонтальной плоскости проекций (21=31)

плоскости


Проведем в плоскости горизонталь h и фронталь f , они