Непрерывность функции. Непрерывные функции и их свойства

факультет
Кафедра высшей математики



Математика
Лекция 5. Непрерывность функции.
Непрерывные функции и

их свойства.


Лектор: Бодряков В.Ю. E-mail: Bodryakov_VYu@e1.ru
Поток: 1 к. ИКРиМ, 2012-2013 уч.г.


Екатеринбург - 2012

СПб.: Лань, 2007. – 448 с.
Письменный Д.Т. Конспект лекций по

высшей математике: [в 2 ч.]. Ч. 1. – М.: Айрис – Пресс, 2008. – 288 с.
Тер-Крикоров А.М., Шабунин М.И. Курс математического анализа: учебное пособие для вузов. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2009. – 672 с.
Фихтенгольц Г.М. Основы математического анализа. Ч. 1. СПб.: Лань, 2005. – 448 с., Ч.2, 2005. – 464 с.
Электронный ресурс: www.exponenta.ru

Рекомендуемая литература

Точки разрыва функции и их классификация
§2. Непрерывные функции и их

свойства
2.1. Основные теоремы о непрерывных функциях
2.2. Непрерывность элементарных функций
2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Содержание лекции

приращения аргумента и функции.
Df: Пусть функция y = f(x) (рис.

1) определена в некотором интервале (a; b). Возьмем произвольную точку x0 ∈ (a; b). Для любого x ∈ (a; b) разность Δx = x − x0 называется приращением аргумента x в точке x0. Разность соответствующих значений функции Δy ≡ Δf(x0) = f(x) − f(x0) ≡ f(x0 + Δx) − f(x0) называется приращением функции f(x) в точке x0.





Рис. 1

§1. Непрерывность функции (продолжение)

sgn(x).







Рис. 3

Функция y = f(x) определена всюду на числовой оси

R. В точке x0 = 0 пределы слева и справа существуют, но различны: x0 является точкой (неустранимого) разрыва I рода.

1.2. Точки разрыва функции и их классификация (продолжение)

функциях

к непрерывной функции, есть функция непрерывная.
Более строго: Пусть функция y

= f(x) непрерывна и строго монотонна на отрезке [a; b] оси Ox. Тогда обратная функция также непрерывна и монотонна на соответствующем отрезке [c; d] оси Oy.
Доказательство: (без доказательства).
В примере 2 установлено, что функция y = sin x непрерывна. Следовательно, непрерывной функций будет и обратная к синусу функция y = arcsin x во всей области своего определения (D: −1 ≤ x ≤ 1). Подобным же образом непрерывны в области своего определения D функции arccos x, arctg x, arcctg x.

2.1. Основные теоремы о непрерывных функциях (продолжение)

формулой, содержащей конечное число арифметических действий и суперпозиций (операции взятия

функции от функции) основных элементарных функций.
Т е о р е м а 4. Всякая элементарная функция непрерывна в каждой точке, в которой она определена.
Доказательство: (без доказательства).
Этот важный результат позволяет, в частности, легко находить пределы элементарных функций в точках, в которых они определены.
Непрерывные на отрезке функции имеют ряд важных свойств.

2.2. Непрерывность элементарных функций

функция определена и непрерывна на отрезке [a; b], то она

достигает на этом отрезке своего наибольшего и наименьшего значений.
Доказательство: (без доказательства).







Рис. 5

Изображенная на рис. 5 функция непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на нем свое наименьшее (m) и наибольшее (M) значения.
С л е д с т в и е . Если функция определена и непрерывна на отрезке [a; b], то она ограничена на нем.

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

Коши). Если функция y = f(x) определена и непрерывна на

отрезке [a; b] и принимает на его концах неравные значения f(a) = A и f(b) = B, то на этом отрезке она принимает и все промежуточные значения между A и B.
Доказательство: (без доказательства).







Рис. 6

Изображенная на рис. 6 функция непрерывна на отрезке [a; b] и принимает на нем все промежуточные значения между A = f(a) и B = f(b) значения, т.е. для всякого A ≤ C ≤ B найдется точка с ∈ [a; b]: f(c) = C.

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

теоремы 6. Если функция y = f(x) определена и непрерывна

на отрезке [a; b] и принимает на его концах f(a) = A и f(b) = B разных знаков, то внутри отрезка найдется хотя бы одна точка c, в которой данная функция обращается в нуль: f(c) = 0.
Данный результат используется при нахождении корней алгебраических и трансцендентных уравнений, например, методом деления отрезка пополам или другим аналогичным методом.
П р и м е р 4. Найти с точностью ε < 10−4 (с точностью до 4-х знаков после запятой) все корни уравнения:
x3 = x + 1.

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке

ε < 10−4 (с точностью до 4-х знаков после запятой)

все корни уравнения:
x3 = x + 1.







Рис. 7 Графики: (а) y1(x) = x3 и y2(x) = x + 1; (б) Δy(x) = y1(x) − y2(x).

Корень уравнения x3 = x + 1 есть x0 = 1,32472.

2.3. Свойства функций, непрерывных на отрезке (продолжение)