Непрерывные случайные величины и их законы распределения

Содержание

1. Непрерывные случайные величины и их законы распределения
2. Случайная величинаДискретнаяСлучайная величина, возможные значения которой можно
3. Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных
4. Если СВ Х непрерывна, то вероятность того,
5. Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией
6. По определению производной этот предел равен производной
7. Эта величина называется элементом вероятности и геометрически
8. Слайд 8
9. Выразим вероятность попадания на участок α до
10. Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности:
11. Плотность вероятности является неотрицательной функцией (т.к. функция распределения является неубывающей функцией):Свойства плотности вероятности1
12. Плотность вероятности является непрерывной функцией.Свойства плотности вероятности2
13. Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1:условие нормировки3Свойства плотности вероятности
14. Это свойство следует из того, что функция
15. Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким
16. Дискретные СВНепрерывные СВОсновные формулы
17. Функция распределения непрерывной случайной величины задана
18. 1. Так как функция распределения F(x) непрерывна,
19. 3. Вычисление вероятности попадания на заданный участок
20. 2 способ. Используем формулу нахождения вероятности через плотность вероятности:4. Находим математическое ожидание:
21. 5. Находим дисперсию:Тогда
22. Случайная величина Х подчиняется закону распределенияНайти величину a и функцию распределения.Пример 2
23. 2. Функция распределения находится путем интегрирования плотности
24. При 0
25. Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения
26. График плотности вероятности
27. Выразим параметр С через α и β.
28. Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины
29. Найдем функцию распределения:
30. Функция распределения равномерно распределенной случайной величины
31. График функции распределения
32. Вычислим математическое ожидание и дисперсиюслучайной величины, подчиняющейся равномерному распределению.
33. Слайд 33
34. Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид:
35. Пусть случайная величина Х равномерно распределена на участке [0;100]. Найти вероятности: Р(0
36. Для нахождения искомых вероятностей используем формулу:Где F(α)
37. Слайд 37
38. Скачать презентанцию

Случайная величинаДискретнаяСлучайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать. При этом число значений может быть конечным илибесконечным НепрерывнаяСлучайная величина, которая может принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных

Главная
Разное
Непрерывные случайные величины и их законы распределения

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1Лекция

Тема: Непрерывные случайные величины и их законы распределения

Учебные вопросы:
Плотность распределения

непрерывной случайной величины.
Основные характеристики непрерывной случайной величины.
Равномерное распределение непрерывной случайной

величины.

Слайд 2Случайная величина
Дискретная
Случайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать. При этом

число значений может быть конечным или
бесконечным
Непрерывная
Случайная величина, которая может

принимать все значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка. Число возможных значений непрерывной случайной величины – бесконечно

СВ

Может быть задана:

Рядом
распределения
(только для дискретной СВ)

Функцией распределения
(для дискретной и непрерывной СВ)

Плотностью распределения
(для непрерывной СВ)

F(x)=p(X

f(x)=F´(x)

Случайная величинаДискретнаяСлучайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать. При этом число значений может быть конечным илибесконечным НепрерывнаяСлучайная

Слайд 3Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести

для них ряд распределения нельзя.
Вместо вероятности того, что случайная величина

Х примет значение, равное х, т.е. p(X=x), рассматривают вероятность того, что Х примет значение, меньшее, чем х, т.е. Р(Х<х), то есть для непрерывной СВ можно задать функцию распределения.

Функция распределения вероятности

F(x)=p(X

Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести для них ряд распределения нельзя.Вместо вероятности того,

Слайд 4Если СВ Х непрерывна, то вероятность того, что она примет

конкретное значение, равное С, равна нулю: Р(Х=С)=0
Из того, что

событие Х=С имеет нулевую вероятность еще не следует, что это событие невозможно.
Частота появления события в большой серии опытов не равна, а только приближается к вероятности данного события.
Поэтому если вероятность события равна 0, то при неограниченном повторении опыта это событие будет появляться сколь угодно редко.

Особенности нулевой вероятности

Если СВ Х непрерывна, то вероятность того, что она примет конкретное значение, равное С, равна нулю:

Слайд 5Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией распределения F(x).
Вычислим вероятность

попадания этой случайной величины на промежуток
Рассмотрим предел
=

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией распределения F(x).Вычислим вероятность попадания этой случайной величины на промежутокРассмотрим предел=

Слайд 6По определению производной этот предел равен производной функции F(x) :
=

Функция

f(x), равная производной
от функции распределения, называется
плотностью вероятности случайной

величины Х или плотностью
распределения.

Плотность распределения вероятности

По определению производной этот предел равен производной функции F(x) :=Функция f(x), равная производной от функции распределения, называется

Слайд 7 Эта величина называется элементом вероятности и геометрически означает площадь элементарного

прямоугольника со сторонами f(x) и dx:
Рассмотрим вероятность попадания случайной величины

Х на элементарный участок dx: f(x)dx.

Плотность вероятности является характеристикой только непрерывных случайных величин.

Кривая, изображающая плотность вероятности, называется кривой распределения.

Основные понятия и определения

Эта величина называется элементом вероятности и геометрически означает площадь элементарного прямоугольника со сторонами f(x) и dx: Рассмотрим вероятность

Слайд 8

Слайд 9Выразим вероятность попадания на участок α до β через f(x).

Вероятность попадания равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е.

интегралу:

Выразим вероятность попадания на участок α до β через f(x). Вероятность попадания равна сумме элементов вероятности на

Слайд 10
Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности:

Слайд 11Плотность вероятности является
неотрицательной функцией
(т.к. функция распределения является
неубывающей

функцией):

Свойства плотности вероятности
1

Плотность вероятности является неотрицательной функцией (т.к. функция распределения является неубывающей функцией):Свойства плотности вероятности1

Слайд 12Плотность вероятности является
непрерывной функцией.
Свойства плотности вероятности
2

Слайд 13Интеграл в бесконечных пределах
от плотности вероятности равен 1:

условие нормировки
3
Свойства

плотности вероятности

Слайд 14Это свойство следует из того, что функция распределения на плюс

бесконечности равна 1.

Это означает, что площадь под кривой распределения

равна 1.

Плотность вероятности имеет размерность случайной величины.

Это свойство следует из того, что функция распределения на плюс бесконечности равна 1. Это означает, что площадь

Слайд 15Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и

в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их

нахождения путем замены:

Тогда получаем формулы для расчета математического ожидания и дисперсии непрерывной случайной величины:

Математическое ожидание и дисперсия непрерывной случайной величины

Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и в случае дискретных случайных величин. Меняется вид

Слайд 16Дискретные СВ
Непрерывные СВ

Основные формулы

Слайд 17 Функция распределения непрерывной
случайной величины задана выражением:

Найти величину a,

плотность вероятности,
вероятность попадания на участок (0.25-0.5),
математическое ожидание и

дисперсию .

Пример 1

Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:Найти величину a, плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0.25-0.5),

Слайд 18
1. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х=1

ax2=1, следовательно, a=1.
2. Плотность вероятности находится, как производная от функции

распределения:

Решение примера

Слайд 193. Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено

двумя способами: с помощью функции распределения и с помощью плотности

вероятности.
1 способ.
Используем формулу нахождения вероятности через функцию распределения:

3. Вычисление вероятности попадания на заданный участок может быть произведено двумя способами: с помощью функции распределения и

Слайд 202 способ.
Используем формулу нахождения вероятности через плотность вероятности:
4. Находим

математическое ожидание:

Слайд 215. Находим дисперсию:
Тогда

Слайд 22Случайная величина Х подчиняется
закону распределения

Найти величину a и функцию

распределения.
Пример 2

Слайд 232. Функция распределения находится путем интегрирования плотности вероятности:

1. Для

нахождения параметра a используем свойство плотности распределения:
Решение примера

2. Функция распределения находится путем интегрирования плотности вероятности: 1. Для нахождения параметра a используем свойство плотности распределения:Решение

Слайд 24
При 0

Слайд 25Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в

некотором интервале и равновероятны.
Плотность вероятности такой случайной величины будет иметь

вид:

Где с - некоторая постоянная.

Равномерное распределение

Рассмотрим непрерывную случайную величину Х, возможные значения которой лежат в некотором интервале и равновероятны.Плотность вероятности такой случайной

Слайд 26График плотности вероятности

Слайд 27
Выразим параметр С через α и β. Для этого используем

тот факт, что интеграл от плотности вероятности по всей области

должен быть равен 1:

Выразим параметр С через α и β. Для этого используем тот факт, что интеграл от плотности вероятности

Слайд 28
Плотность вероятности равномерно распределенной случайной величины

Слайд 29Найдем функцию распределения:

Слайд 30
Функция распределения равномерно распределенной случайной величины

Слайд 31График функции распределения

Слайд 32Вычислим математическое ожидание и дисперсию
случайной величины, подчиняющейся равномерному распределению.

Слайд 33

Слайд 34Тогда среднеквадратичное отклонение будет иметь вид:

Слайд 35Пусть случайная величина Х
равномерно распределена на
участке [0;100]. Найти

вероятности:
Р(0

Слайд 36Для нахождения искомых вероятностей используем формулу:
Где F(α) и F(β) -

функция распределения на концах рассматриваемого интервала. Для равномерного распределения
На

интервале от α доβ. Поэтому

Решение примера

Для нахождения искомых вероятностей используем формулу:Где F(α) и F(β) - функция распределения на концах рассматриваемого интервала. Для

Слайд 37

Скачать презентацию

Разделы презентаций

Непрерывные случайные величины и их законы распределения

Содержание

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ЛекцияТема: Непрерывные случайные величины и их законы распределенияУчебные вопросы:Плотность распределения

непрерывной случайной величины.Основные характеристики непрерывной случайной величины.Равномерное распределение непрерывной случайной

Слайд 2Случайная величинаДискретнаяСлучайная величина, возможные значения которой можно перенумеровать. При этом

число значений может быть конечным илибесконечным НепрерывнаяСлучайная величина, которая может

Слайд 3Непрерывные случайные величины имеют бесконечное число возможных значений. Поэтому ввести

для них ряд распределения нельзя.Вместо вероятности того, что случайная величина

Слайд 4Если СВ Х непрерывна, то вероятность того, что она примет

конкретное значение, равное С, равна нулю: Р(Х=С)=0Из того, что

Слайд 5Рассмотрим непрерывную случайную величину Х с функцией распределения F(x).Вычислим вероятность

попадания этой случайной величины на промежутокРассмотрим предел=

Слайд 6По определению производной этот предел равен производной функции F(x) :=Функция

f(x), равная производной от функции распределения, называется плотностью вероятности случайной

Слайд 7 Эта величина называется элементом вероятности и геометрически означает площадь элементарного

прямоугольника со сторонами f(x) и dx: Рассмотрим вероятность попадания случайной величины

Слайд 8

Слайд 9Выразим вероятность попадания на участок α до β через f(x).

Вероятность попадания равна сумме элементов вероятности на этом участке, т.е.

Слайд 10Отсюда можно выразить функцию распределения через плотность вероятности:

Слайд 11Плотность вероятности является неотрицательной функцией (т.к. функция распределения является неубывающей

функцией):Свойства плотности вероятности1

Слайд 12Плотность вероятности является непрерывной функцией.Свойства плотности вероятности2

Слайд 13Интеграл в бесконечных пределах от плотности вероятности равен 1:условие нормировки3Свойства

плотности вероятности

Слайд 14Это свойство следует из того, что функция распределения на плюс

бесконечности равна 1. Это означает, что площадь под кривой распределения

Слайд 15Смысл математического ожидания и дисперсии остается таким же, как и

в случае дискретных случайных величин. Меняется вид формул для их

Слайд 16Дискретные СВНепрерывные СВОсновные формулы

Слайд 17 Функция распределения непрерывной случайной величины задана выражением:Найти величину a,

плотность вероятности, вероятность попадания на участок (0.25-0.5), математическое ожидание и

Слайд 181. Так как функция распределения F(x) непрерывна, то при х=1

ax2=1, следовательно, a=1.2. Плотность вероятности находится, как производная от функции