Презентация на тему ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ

1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА

Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x).
Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0.

Рассмотрим ломаную, расположенную достаточно близко к кривой.

Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна сумме площадей всех трапеций:

Причем, площадь под кривой будет приближенно равна площади под ломаной, если ломаная достаточно близко подходит к кривой.

S

За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной при условии, что ломаная неограниченно приближается к кривой.

Разобьем отрезок [a,b] на n элементарных отрезков точками х0, х1, …хn .

На каждом из отрезков выберем точку ξi , и найдем значение функции в этой точке

Положим

Сумму вида

называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .

Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек ξi

Каждое отдельное слагаемое в интегральной сумме

равно площади Si прямоугольника со сторонами

и

Наибольший из отрезков разбиения

обозначим как

Вся интегральная сумма будет равна

Если существует конечный предел интегральной суммы при

не зависящий от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ξi, то он называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].

Числа a и b называются нижним и верхним
пределом, соответственно.

Неопределенный интеграл

есть семейство функций, а определенный интеграл

есть определенное число.

По определению предполагается, что а < b.

Положим

С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше.

Если а = b, то

Необходимое условие существования
определенного интеграла

2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА

Интегрируемая на отрезке [a,b] функция
y=f(x) ограничена на этом отрезке.

Достаточное условие существования
определенного интеграла

Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)
непрерывна, то она интегрируема на
этом отрезке.

Свойства
определенного интеграла

1

Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.

Доказательство:

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек

Рассмотрим интегральную сумму:

Переходим к пределу в левой и правой части равенства при

Следовательно по определению:

2

Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме (разности) интегралов от
этих функций.

3

Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем отрезке
равен сумме интегралов по каждому
из участков разбиения.

Геометрически это означает, что если a

S

S

S

4

Если на [a,b], где a

то

Доказательство:

Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек

то для интегральных сумм:

Если

Переходим к пределу в левой и правой части неравенства при

Следствие.

Пусть на [a,b], где a

где m и M некоторые числа. Тогда

Доказательство:

По свойству 4 имеем:

По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла:

5

Если на [a,b], где a

Теорема о среднем

что

Доказательство:

По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения

справедливо неравенство:

Где m и М – наименьшее и наибольшее значения функции на отрезке. Тогда

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, поэтому найдется такое число

что

Пусть

Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка

что площадь под кривой y=f(x) на [a,b] равна площади прямоугольника со сторонами

Равенство

называется формулой среднего значения.

называется средним значением функции.

6

Если на [a,b] функция y=f(x) неотрицательна, то площадь под этой кривой численно равна определенному интегралу

Геометрический смысл
определенного интеграла