TheSlide.ru

ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Содержание

1. ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ
2. 1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛАПусть на отрезке [a,b] задана
3. Фигура под ломаной состоит из трапеций и
4. S
5. За искомую площадь под кривой берут предел
6. Сумму вида называют интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .
7. Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка
8. Слайд 8
9. Наибольший из отрезков разбиения обозначим как Вся интегральная сумма будет равна
10. Если существует конечный предел интегральной суммы при
11. Функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].Числа a и b называются нижним и верхним пределом, соответственно.
12. Неопределенный интеграл есть семейство функций, а определенный интегралесть определенное число.По определению предполагается, что а < b.Положим
13. С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше.Если а = b, то
14. Необходимое условие существованияопределенного интеграла2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛАИнтегрируемая на отрезке [a,b] функция y=f(x) ограничена на этом отрезке.
15. Достаточное условие существованияопределенного интегралаЕсли на отрезке [a,b]
16. Свойстваопределенного интеграла1Постоянный множитель можно выноситьза знак определенного интеграла.
17. Доказательство:Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор
18. Следовательно по определению:
19. 2Определенный интеграл от алгебраической суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций.
20. 3Если отрезок интегрирования разбит на части, то
21. Геометрически это означает, что если a
22. SSS
23. 4Если на [a,b], где a
24. Доказательство:Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор
25. Следствие.Пусть на [a,b], где a
26. Доказательство:По свойству 4 имеем:По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла:
27. 5Если на [a,b], где a
28. Доказательство:По свойству функции, непрерывной на отрезке, для
29. Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое
30. ПустьТогда теорема о среднем утверждает, что найдется
31. Слайд 31
32. Равенствоназывается формулой среднего значения.называется средним значением функции.
33. 6Если на [a,b] функция y=f(x) неотрицательна, то
34. Скачать презентанцию

1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛАПусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a, x=b и осью абсцисс y=0.Рассмотрим ломаную, расположенную достаточно близко к кривой.

Главная
Разное
ОПРЕДЕЛЕННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Слайды и текст этой презентации

Слайд 1ОПРЕДЕЛЕННЫЙ
ИНТЕГРАЛ

ОПРЕДЕЛЕННЫЙИНТЕГРАЛ

Слайд 21. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Пусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x).

Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой y=f(x), прямыми x=a,

x=b и осью абсцисс y=0.

Рассмотрим ломаную, расположенную достаточно близко к кривой.

1. ПОНЯТИЕ ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛАПусть на отрезке [a,b] задана неотрицательная функция y=f(x). Требуется найти площадь криволинейной трапеции, ограниченной кривой

Слайд 3Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна

сумме площадей всех трапеций:
Причем, площадь под кривой будет приближенно равна

площади под ломаной, если ломаная достаточно близко подходит к кривой.

Фигура под ломаной состоит из трапеций и ее площадь равна сумме площадей всех трапеций:Причем, площадь под кривой

Слайд 4S

Слайд 5За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной

при условии, что ломаная неограниченно приближается к кривой.
Разобьем отрезок [a,b]

на n элементарных отрезков точками х0, х1, …хn .

На каждом из отрезков выберем точку ξi , и найдем значение функции в этой точке

Положим

За искомую площадь под кривой берут предел площади под ломаной при условии, что ломаная неограниченно приближается к

Слайд 6Сумму вида
называют интегральной суммой
для функции y=f(x) на отрезке

[a,b] .

Сумму вида называют интегральной суммой для функции y=f(x) на отрезке [a,b] .

Слайд 7Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек

ξi
Каждое отдельное слагаемое в интегральной сумме
равно площади Si прямоугольника

со сторонами

и

Интегральная сумма зависит от способа разбиения отрезка и выбора точек ξiКаждое отдельное слагаемое в интегральной сумме равно

Слайд 8

Слайд 9Наибольший из отрезков разбиения
обозначим как
Вся интегральная сумма будет

равна

Наибольший из отрезков разбиения обозначим как Вся интегральная сумма будет равна

Слайд 10Если существует конечный предел интегральной суммы при
не зависящий от

способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек ξi, то он

называется определенным интегралом от функции y=f(x) на отрезке [a,b].

Если существует конечный предел интегральной суммы при не зависящий от способа разбиения отрезка [a,b] и выбора точек

Слайд 11Функция y=f(x) называется интегрируемой
на отрезке [a,b].
Числа a и b

называются нижним и верхним
пределом, соответственно.

Функция y=f(x) называется интегрируемой на отрезке [a,b].Числа a и b называются нижним и верхним пределом, соответственно.

Слайд 12Неопределенный интеграл
есть семейство функций, а определенный интеграл
есть определенное число.
По

определению предполагается, что а < b.
Положим

Неопределенный интеграл есть семейство функций, а определенный интегралесть определенное число.По определению предполагается, что а < b.Положим

Слайд 13С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше.
Если а

= b, то

С учетом этого несущественно, какой предел больше или меньше.Если а = b, то

Слайд 14Необходимое условие существования
определенного интеграла
2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО
ИНТЕГРАЛА
Интегрируемая на отрезке [a,b] функция

y=f(x) ограничена на этом отрезке.

Необходимое условие существованияопределенного интеграла2. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГОИНТЕГРАЛАИнтегрируемая на отрезке [a,b] функция y=f(x) ограничена на этом отрезке.

Слайд 15Достаточное условие существования
определенного интеграла
Если на отрезке [a,b] функция y=f(x)
непрерывна,

то она интегрируема на
этом отрезке.

Достаточное условие существованияопределенного интегралаЕсли на отрезке [a,b] функция y=f(x) непрерывна, то она интегрируема на этом отрезке.

Слайд 16Свойства
определенного интеграла
1
Постоянный множитель можно выносить
за знак определенного интеграла.

Свойстваопределенного интеграла1Постоянный множитель можно выноситьза знак определенного интеграла.

Слайд 17Доказательство:
Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек
Рассмотрим интегральную

сумму:
Переходим к пределу в левой и правой части равенства при

Доказательство:Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек Рассмотрим интегральную сумму:Переходим к пределу в левой и правой

Слайд 18Следовательно по определению:

Следовательно по определению:

Слайд 192
Определенный интеграл от алгебраической
суммы (разности) двух функций равен
сумме

(разности) интегралов от
этих функций.

2Определенный интеграл от алгебраической суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) интегралов от этих функций.

Слайд 203
Если отрезок интегрирования разбит
на части, то интеграл на всем

отрезке
равен сумме интегралов по каждому
из участков разбиения.

3Если отрезок интегрирования разбит на части, то интеграл на всем отрезке равен сумме интегралов по каждому из

Слайд 21Геометрически это означает, что если a

на [a,b], то согласно геометрическому смыслу определенного интеграла

Геометрически это означает, что если a

Слайд 22S
S
S

SSS

Слайд 234
Если на [a,b], где a

4Если на [a,b], где a

Слайд 24Доказательство:
Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек
то для

интегральных сумм:
Если
Переходим к пределу в левой и правой части неравенства

при

Доказательство:Пусть фиксировано разбиение отрезка [a,b] и выбор точек то для интегральных сумм:ЕслиПереходим к пределу в левой и

Слайд 25Следствие.
Пусть на [a,b], где a

числа. Тогда

Следствие.Пусть на [a,b], где a

Слайд 26Доказательство:
По свойству 4 имеем:
По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного

интеграла:

Доказательство:По свойству 4 имеем:По свойству 1 и геометрическому смыслу определенного интеграла:

Слайд 275
Если на [a,b], где a

такое значение
Теорема о среднем
что

5Если на [a,b], где a

Слайд 28Доказательство:
По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения
справедливо

неравенство:
Где m и М – наименьшее и наибольшее значения функции

на отрезке. Тогда

Доказательство:По свойству функции, непрерывной на отрезке, для произвольного значения справедливо неравенство:Где m и М – наименьшее и

Слайд 29Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между

ее наименьшим и наибольшим значениями, поэтому найдется такое число
что

Но функция, непрерывная на отрезке, принимает любое значение, заключенное между ее наименьшим и наибольшим значениями, поэтому найдется

Слайд 30Пусть
Тогда теорема о среднем утверждает, что найдется такая точка
что площадь

под кривой y=f(x) на [a,b] равна площади прямоугольника со сторонами

ПустьТогда теорема о среднем утверждает, что найдется такая точкачто площадь под кривой y=f(x) на [a,b] равна площади

Слайд 31

Слайд 32Равенство
называется формулой среднего значения.
называется средним значением функции.

Равенствоназывается формулой среднего значения.называется средним значением функции.

Слайд 336
Если на [a,b] функция y=f(x) неотрицательна, то площадь под этой

кривой численно равна определенному интегралу
Геометрический смысл
определенного интеграла

6Если на [a,b] функция y=f(x) неотрицательна, то площадь под этой кривой численно равна определенному интегралуГеометрический смыслопределенного интеграла

Скачать презентацию

Обратная связь

Если не удалось найти и скачать доклад-презентацию, Вы можете заказать его на нашем сайте. Мы постараемся найти нужный Вам материал и отправим по электронной почте. Не стесняйтесь обращаться к нам, если у вас возникли вопросы или пожелания:

Email: Нажмите что бы посмотреть

Что такое TheSlide.ru?

Это сайт презентации, докладов, проектов в PowerPoint. Здесь удобно хранить и делиться своими презентациями с другими пользователями.

Для правообладателей