Оптимальные Решения: Примеры Классических Задач

заданным периметром 2. (Задача Эвклида) В треугольник вписать параллелограмм максимальной площади 3.

В плоскости треугольника найти точку, сумма расстояний от которой до вершин треугольника минимальна

охватить замкнутой кривой заданной длины ? 4.2 (Задача Дидоны) Дана веревка

длины L. Какую максимальную площадь (у прибрежной зоны- вдоль прямой) можно охватить данной веревкой ?

А и В на разной высоте. По какой кривой, соединяющей

эти точки, шар спустится за минимальное время (под действием только силы тяжести)

изготавливается из листов размера a*b. Для этого из углов вырезают

квадраты x*x и сгибают вдоль линий. Как делать вырезы так, чтоб получить коробку максимального обЪема ?

некоторого однородного продукта и n пунктов его потребления. Для каждого

пункта производства i=1,…,m, и каждого пункта его потребления j=1,…,n, заданы: ai – объем производства в пункте i; bj – объем потребления в пункте j; сij – затраты на перевозку 1цы продукта от пункта производства i до пункта потребления j. (потребление не превышает производства). Задача: Составить план перевозок: - не выводящий за пределы производства, - полностью обеспечивающий всех потребителей, - дающий минимум суммарных затрат на перевозку

– матрица расстояния между городами (i -j) Выезжая из исходного города,

коммивояжер должен побывать во всех остальных городах ровно 1 раз и вернуться в исходный город. Составить оптимальный маршрут… (по времени, стоимости, расстоянию)

управляемой тележки) Масса тележки m, начальная корд x0, скорость- v0. Внешняя

сила (тяга) – u, текущая координата – x(t), задаются физические ограничения на тягу. Задача: как за минимальное время, с учетом всех ограничений на управление (скорость, ускорение) достичь точки x1 и остановиться (достичь с нулевой скоростью)

ф-ия f(x)=f(x1,…,xn ) в D Непрерывная ф-я: если при xx0

lim f(x)=f(x0), тогда ф-я непрерывна в т. x0 Ф-я f(x) непрерывна в области D, if она непрерывна в каждой точке

ф-ия f(x)=f(x1,…,xn ) в D Непрерывная ф-я: если при xx0

lim f(x)=f(x0), тогда ф-я непрерывна в т. x0 Ф-я f(x) непрерывна в области D, if она непрерывна в каждой точке

предельные очки) D=(a,b) – интервал. Свойства: Th. (Больцано-Коши о промежуточном значении)

Если непрерывная ф-я принимает на отрезке знаечния разных знаков, то найдется точка, в которой ф-я =0. Th (Вейерштрасса о максим и миним значениях) Непрерывная на отрезке ф-я ограничена и есть точки, где ф-я принимает максим и миним значения.

на компакте K , достигает на этом компакте своего максимума

и минимума.

дифференцируемой в т. a, если При этом:

дифференцируемые в X функции, частое обозначение fCk(X) : существует k производных,

и k-ая производная непрерывна

производные:

ф-ии f(x1,…,xn) в D. Дана ф-я Def. Точка x0

назыв т. глобального максимума (в D), если для всех выполняется нер-во

ф-ии f(x) (в области D), если существует окрестность т. x0

, U(x0 ), такая, что для всех выполняется нер-во Примеры (лок и глоб экстремумов)

дифференцируемой ф-ии f(x), тогда

. Пусть St(f)={x: f’(x)=0} – множ-во стационарных точек. Тогда: точки экстремума содержатся в множ-ве стационарных точек (обратное не верно). Пусть D=[a, b] – отрезок на прямой. f задана на прямой, тогда точки глобального экстремума содержатся в множ-ве критических точек

т. локального экстремума дифференцируемой ф-ии f(x1,…,xn), тогда

Здесь: (опрератор набла)

точек: где - граница области D.

f(x,y):

(min f≤ c ≤max f) Через каждую точку плоскости М(x0,y0) (входящую в область определения фу-ии) проходит только одна линия уровня: f(x,y)= f(x0,y0) 1. Графический метод нахожд. экстремумов ф-ий на основе нахождения линий уровня. (рис с.30,31, ВР). 2. Использование градиента функции: Направление градиента совпадает с направлением наибольшей скорости роста фу-и в каждой точке. Он перпендикулярен линии уровня.

 extr (sup / max; inf / min ) 2.

f(x,y)  extr 3. f(x,y)=C  extr (анализ линий уровня)

области. Задача: Пусть

, f = f(x1,…,xn). f→opt (max/min) при условии, что x=(x1,…,xn) удовлетворяют системе ограничений (предполагается, что фу-ии f и gi являются ф-ями класса C1 в области определения

виде): Правило нахождения экстремумов: Точка условного экстремума является стационарной точкой фу-ии Лагранжа,т.е.: