Оптимизация Интегрирование

возможных.
Задача оптимизации
Выбор оптимального решения производится с помощью некоторой зависимой от

Задачи оптимизации делятся на:
а) безусловные, когда необходимо найти max/min целевой функции
б) условные, при постановке которых задаются некоторые условия (ограничения) в виде уравнений и неравенств.

множестве σ и найти величину x ∈ σ, соответствующую max/min

Одномерная оптимизация

Теорема Вейерштрасса: Всякая функция f(x), непрерывная на отрезке [a,b], принимает на этом отрезке наибольшее и наименьшее значение, т.е. на отрезке [a,b] существуют такие x1 и x2, что

f(x1) ≤ f(x) ≤ f(x2)

Не доказывает единственности решения – на [a,b] может быть несколько min и max;
Это может быть точка локального max/min.

Необходимо заранее задавать количество вычислений функции.
3. Метод золотого сечения.

Основные методы задачи

и CB называется такое деление отрезка, при котором отношение его

Определение золотого сечения

отрезке [a,b];
Метод золотого сечения
2. Функция f(x) имеет одну точку экстремума

3. Задана точность нахождения точки экстремума ε, например ε = 10-3.

Найти: Минимальное значение функции на [a,b].

Найдем точки y и z по формулам:
Алгоритм метода золотого сечения
y

z = a + (b-a)*s = a – as + bs = (1-s)a + sb =>

z = 0,382a + 0,618b

т.е. f(y) и f(z).
Алгоритм метода золотого сечения
3. Проверяем условие

a) Если условие выполняется, то переопределяем интервал [a,b] <= [a,z], т.е. сокращаем интервал до [a,z] и называем новый интервал [a,b].

б) Если условие не выполняется, то переопределяем интервал [a,b] <= [y,b], т.е. сокращаем интервал до [y,b] и называем новый интервал [a,b].

- a| < ε (2).
Алгоритм метода золотого

а) Если точность достигнута (условие (2) выполняется), то решение найдено и равно:

и

б) Если точность не достигнута (условие (2) не выполняется), то перейти к п 1. (к следующей итерации).

последовательно уменьшается:
в начале его длина равна b – a,

Вывод:

Если искать максимум функции f(x), то в методе золотого сечения меняется только условие (1) на противоположное:

f(y) > f(z)

и пределами интегрирования [a,b].
Численное интегрирование
Решение: Разбиваем интервал [a,b] на равные

Si – площадь i-того прямоугольника, R – погрешность вычисления.

практике можно пользоваться не всегда по следующим причинам:
1. Первообразная функции

2. Функция f(x) задана таблично.

поиска интеграла:
Постановка задачи: Пусть функция f(x) непрерывна и дифференцируема на

Найти: значение интеграла

с заданной точностью ε.

прямоугольников
2. Найдем h – длину каждого i-того интервала h =

3. Найдем площадь каждого i-того прямоугольника, принимая за его длину значение функции в середине каждого i-того интервала, а за ширину – длину интервала h. Т.е.

каждой i-той прямолинейной трапеции (соединяя точки в начале и конце

Метод трапеций

формула Рунге:

ε
=>
I2n – In < ε