Слайд 1Основные понятия теории вероятностей
Лекция 1
Слайд 21. Понятие о случайном событии
Определение: Наблюдение явления, опыт, эксперимент, которые
можно провести многократно, называются испытанием.
Определение: Результат, исход испытания называется событием.
Пример
Сдача экзамена - это испытание;
событие - …….
Выстрел - это испытание;
событие - ……
Бросание игрального кубика - это испытание,
событие - ……
События обозначаются А, В, С…
Слайд 3Определение: Два события называются совместимыми,если появление одного из них не
исключает повление другого в одном и том же испытании.
Определение: События
называются несовместными, если появление одного из них исключает появления других событий в одном и том же испытании.
Пример :
несовместные события: день и ночь, человек читает и человек спит, число иррациональное и четное;
совместные события: идет дождь и идет снег, человек ест и человек читает, число целое и четное.
Слайд 4Совместны ли события:
а) на первом кубике выпало 1, а
на втором – 2;
б) Юра пошёл в школу, а
завтра будет дождь;
в) Иванов в настоящее время является президентом страны, и Петров является президентом той же страны.
Слайд 5
Определение: два события А и В называются противоположными, если в
данном испытании они не совместимы и одно из них обязательно
происходит.
Укажите события, противоположные данным:
а) на кубике выпало 1;
б) Света получила на экзамене «5»;
в) после ночи наступает утро?
Событие противоположное А обозначают А
Слайд 6Определение: Событие называется достоверным, если в данном испытании оно является
единственно возможным его исходом, и невозможным, если в данном испытании
оно заведомо не может произойти.
Пример. В урне 5 белых шаров.
Событие А – вынут белый шар
Событие В – вынут черный шар
Определение: Событие А называется случайным, если объективно может наступить или не наступить в данном испытании.
Слайд 72. Алгебра событий
Определение: Суммой событий А и В на называется
событие С=А+В, состоящее в наступлении хотя бы одного из событий
А и В.
Пример.
Испытание: стрельба двух стрелков (каждый делает по одному выстрелу)
А – попадание в мишень первым стрелком
В – попадание в мишень вторым стрелком
Найти С=А+В
Слайд 8Пример
А - идет дождь, B - идет снег,
(А + В) - либо
дождь, либо снег, либо дождь со снегом, т. е. осадки;
А -
пошли на дискотеку;
B - пошли в библиотеку,
(А + В) - пошли либо на дискотеку, либо в библиотеку, т. е. вышли из дома.
Слайд 10Определение: Произведением двух событий А и В на называется событие
С=АВ, состоящее в том, что в результате испытания произошли и
событие А и событие В.
А – появление туза при вынимании из колоды
В – появление карты бубновой масти
С=АВ=?
Слайд 12Часто приходиться представлять события в виде комбинаций более простых событий,
применяя и операцию сложения и операцию умножения
С – в мишени
будет ровно одно попадание
Д – в мишень будет не менее двух попаданий.
Слайд 133. Классическое определение вероятности
Пример . В урне содержится 6 одинаковых шаров, причем 2 из
них - красные, 3 - синие и 1 - белый.
Какова возможность вынуть наудачу
из урны цветной шар?
Можно ли охарактеризовать эту возможность числом?
Слайд 14Это число и называется вероятностью события А (появления цветного шара).
Таким образом, вероятность
есть число, характеризующее степень возможности появления события.
Слайд 15Определение : Каждый из возможных результатов испытания называется элементарным исходом(событием)
Те элементарные
исходы, в которых интересующее нас событие наступает, называются благоприятствующими этому событию.
Определение
: События называются равновозможными, если есть основания считать, что не одно из них не является более возможным, чем другое.
Пример . Появление того или иного числа очков на брошенном игральном кубике – равновозможные события.
Слайд 16Вероятностью P(A) события А называют отношение числа благоприятствующих этому событию исходов к общему
числу всех равновозможных несовместных элементарных исходов, образующих полную группу.
Вероятность P(A)события А определяется
по формуле:
m – число элементарных исходов, благоприятствующих A;
n – число всех возможных элементарных исходов испытания.
Слайд 17Пример Определить вероятность выпадения нечётного числа очков на кости.
Решение. При бросании
кости событие A – «выпало нечётное число очков» можно записать как подмножество
{1, 3, 5} пространства исходов {1, 2, 3, 4, 5, 6}
Рис. Пространство исходов при бросании кости
Число всех равновозможных исходов n = 6, а число благоприятных событию A – m = 3. Следовательно,
Слайд 18Пример . В урне находится 7 шаров: 2 белых, 4 черных и 1 красный. Вынимается один
шар наугад. Какова вероятность того, что вынутый шар будет чёрным?
Слайд 19Свойства вероятности
Свойство 1. Вероятность достоверного события А равна ……:
Р(А) = .
Свойство 2. Вероятность невозможного события А равна ……
Р(А)
=
Свойство 3. Вероятность случайного события
Слайд 20Пример 1. В урне 10 пронумерованных шаров с номерами от
1 до 10. Вынули один шар. Какова вероятность того, что
номер вынутого шара не превосходит 10?
Решение. Пусть событие А – номер вынутого шара не превосходит 10. Число случаев благоприятствующих появлению события А равно числу всех возможных случаев m=n=10. Следовательно, Р(А)=1.
Ответ: 1.
Слайд 21Пример 3. Из колоды в 36 карт вынимается одна карта.
Какова вероятность появления карты пиковой масти?
Решение. Здесь всего случаев n=36.
Событие А – появление карты пиковой масти. Число случаев, благоприятствующих появлению события А, m=9. Следовательно,
Ответ:
Слайд 22Пример 4. Бросаются одновременно две монеты. Какова вероятность выпадения герба
на обеих монетах?
Решение. Составим схему возможных случаев.
Всего случаев 4. Благоприятствующих
случаев 1. Следовательно р=
Слайд 23Пример 5. В урне 10 шаров: 6 белых и 4
черных. Вынули два шара. Какова вероятность, что оба шара белые?
Решение.
Вынуть два шара из десяти можно следующим числом способов:
Число случаев, когда среди этих двух шаров будут оба белые, равно
Искомая вероятность будет
