Основные теоремы теории вероятностей

равно
Размещением из n элементов по m называется любое

включается по три дисциплины, то сколькими различными способами могут быть

2)Сколько можно записать четырехзначных чисел , используя без повторения все десять цифр?

которое входят по одному разу все n различных элементов данного

Теорема: Число перестановок n различных элементов равно n!

5,3,7 ; 5,7,3 ; 7,3,5 ; 7,5,3
2) Сколькими способами можно

из m элементов, которые принадлежат множеству, состоящему из n различных

Теорема: Число сочетаний из n по m равно

Следствие: Число сочетаний из n элементов по n-m равно числу сочетаний из n элементов по m

можно выбрать 7 шаров , что бы среди них были

Способов выбора былых шаров

Способов выбора черных шаров

По правилу умножения искомое число способов равно

2) Сколькими способами можно группу из 12 человек разбить на две подгруппы, в одной из которых должно быть не более 5 , а во второй-
не более 9 человек ?

Выбор первой подгруппы однозначно определяет вторую, по правилу сложения искомое число способов равно:

Подгруппа из 3 человек

Подгруппа из 4 человек

Подгруппа из 5 человек

действий при чем 1 действие можно выполнить а1 способами, 2

4 мальчика 4 девочки садятся на 8 расположенных подряд стульев, причем мальчики садятся на места с четными номерами, а девочки – на места с нечетными номерами. Сколькими способами это можно сделать ?

Первый мальчик может сесть на любое из четырех четных мест, второй - на любое из оставшихся трех мест, третий – на любое оставшихся двух мест. Последнему мальчику предоставляется всего одна возможность. Согласно правилу умножения, мальчики могут занять четыре места 4·3·2·1=24 способами. Столько же возможностей имеют и девочки. Таким образом, согласно правилу умножения, мальчики и девочки могут занять все стулья 24 · 24=576 способами.

чем одно из них можно выполнить m способами, а другое

Это правило легко распространить на любое конечное число действий

данного испытания появление одного из них исключает появление другого (

Если группа событий такова, что в результате испытания обязательно должно произойти хотя бы одно из них и любые два из них несовместны, то эта группа событий называется полной группой событий.

События называются равновозможными , если по условию испытания нет оснований считать какое-либо из них более возможным, чем любое другое ( А-орел; В-решка).

НАД СОБЫТИЯМИ
Пример: выпадение герба при бросании монеты - событие, противоположное

Событие называется противоположным
событию А, если оно происходит только
тогда, когда не происходит событие А.

Ā - событие, противоположное событию А.

попадание при втором выстреле.
Событие А+В - хотя бы одно попадание.
Событие

Пример.

- промах при первом выстреле;
А2 - попадание в цель при

Рассмотрим событие В - в результате трех выстрелов состоялось одно попадание в цель.

равна сумме вероятностей
этих событий
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)

которых m случаев благоприятны событию А, а k - случаев

Доказательство:

случаев, которые были бы благоприятны событиям А и В вместе.

А2,…Аn:

их суммарная вероятность равна 1.
Следствие 1.

в опыте хотя бы одного из них будет достоверным событием.

Доказательство:

вероятностей обобщается следующим образом:
Р(А+В)=Р(А)+Р(В)-Р(АВ)
Отсюда можно выразить вероятность произведения событий А

сложении вероятностей вероятность того, что наугад выбранный сотрудник будет партийным

Пусть событие А заключается в том, что случайно выбранный сотрудник принадлежит к партии любителей пива, а событие В - что сотрудник принадлежит к партии зеленых.

Решение.

армии.
Во-первых, он может поступить учиться в ВУЗ,
во-вторых, он

в ВУЗ, событие В - что он получит освобождение по

Т.к. эти события несовместны, то применяем теорему о сложении вероятностей в виде: Р(А+В+С)=Р(А)+Р(В)+Р(С)

называется вероятность события В, вычисленная в предположении, что

Два события называются независимыми, если появление любого из них не изменяет вероятность появления другого:

Вероятность совместного появления двух независимых событий равна произведению их вероятностей:

равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности всех

Вероятность совместного появления нескольких событий, независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:

Вероятность появления хотя бы одного из событий А1А2А3…Аn , независимых в совокупности, равна разности между единицей и произведением вероятностей противоположных событий

вероятностей.
Пусть требуется определить вероятность события А, которое может произойти

ФОРМУЛА ПОЛНОЙ ВЕРОЯТНОСТИ

Эти события называются гипотезами.

гипотезы Н1,Н2…Нn несовместны, то и комбинации Н1А, Н2А … НnА

Так как гипотезы образуют полную группу, то событие А может появиться только в комбинации с одной из этих гипотез. Поэтому,

при условии появления одного из событий H1, H2, H3,…,Hn ,

Формула полной вероятности

может приехать
в институт автобусом, троллейбусом или
трамваем. Все эти

ПРИМЕР.

использовать формулу полной вероятности, необходимо знать вероятности каждой из гипотез

Пусть событие А заключается в том, что студент не опоздает на занятия. Оно может произойти только вместе с одной из гипотез:

Решение:

всех гипотез равна 1.
По условию задачи все гипотезы равновероятны,

Условные вероятности события А для каждой из гипотез даны по условию задачи:
Р(А|Н1)=0.99; Р(А|Н2)=0.98; Р(А|Н3)=0.9
Следовательно, по формуле полной вероятности,

полную группу событий и при наступлении каждого из них Вi

Тогда вероятность наступления события А равна сумме произведений вероятностей каждого из событий на соответствующую условную вероятность события А

Сколько бы не было вероятностей:

Вероятности этих гипотез до опыта считаются известными: Р(Н1),Р(Н2)…Р(Нn).
Производится опыт,

вероятностей:
Отсюда
По формуле полной вероятности

одного из несовместных событий, В1, В2, В3,…,Вn , которые образуют

одно из трех мест: в ботинок, в карман и
в

ПРИМЕР 1.

шпаргалку из рукава.
Событие А в этой задаче заключается в том,

Решение:

событие А имело место.
Для этого используем формулу Байеса.
По условию

В данной задаче требуется определить вероятность того, что студент достал шпаргалку из ботинка, если известно, что он незаметно списал.

условию задачи:
Р(А|Н1)=0.4; Р(А|Н2)=0.6; Р(А|Н3)=0.55

органы,
30 % - банки, 60 % - физические лица.

взял банк;
Н3- кредит взяло физическое лицо.
Вероятность события А найдем по

Решение:

Найдем вероятности гипотез: Р(Н1)=0.1; Р(Н2)=0.3; Р(Н3)=0.6

задаче: Р(А|Н1)=0.01; Р(А|Н2)=0.05; Р(А|Н3)=0.2. Тогда:
Вероятность события В - это условная вероятность

из которых вероятность появления события равна Р , Р(0

q=1-p ; q- вероятность противоположного события

или

А появляется с
вероятностью Р, то вероятность того, что
событие А

Формула Бернулли

монета упадет решкой
– студент идет на свидание с девушкой,

ПРИМЕР.

того, что при 5 бросаниях монеты трижды случится это событие:
1)

один раз монета повиснет в воздухе, перейдем к вероятности противоположного

Тогда искомая вероятность будет: Р=1- Р0,5
Вероятность Р0,5 опять найдем по формуле Бернулли:

нецелесообразным в силу необходимости выполнения громоздких вычислений. Теорема Муавра-Лапласа, дающая

к нулю, то применяют другую асимптотическую формулу- формулу Пуассона. Теорема:
Если