Разделы презентаций
- Разное
- Английский язык
- Астрономия
- Алгебра
- Биология
- География
- Геометрия
- Детские презентации
- Информатика
- История
- Литература
- Математика
- Медицина
- Менеджмент
- Музыка
- МХК
- Немецкий язык
- ОБЖ
- Обществознание
- Окружающий мир
- Педагогика
- Русский язык
- Технология
- Физика
- Философия
- Химия
- Шаблоны, картинки для презентаций
- Экология
- Экономика
- Юриспруденция
Основные теоремы теории вероятностей
Содержание
- 1. Основные теоремы теории вероятностей
- 2. Учебные вопросы.1. Теорема сложения вероятностей для несовместных
- 3. В теория вероятностей случайные события рассматриваются с
- 4. Доказательство. Введем обозначения: n –общее число возможных
- 5. Следовательно, P(A+B)=(m1+m2)/n = m1/n +m2/n.Приняв во внимание,
- 6. Теорема сложения вероятностей совместных событий Два события называют
- 7. Вероятность суммы трех совместных событий равна:P(A+B+C)= P(A)
- 8. Теорема.Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
- 9. Решение. События «день дождливый» и « день
- 10. Пример. В урне 10 шаров: 3 красных,
- 11. Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на
- 12. Пример. В урне находятся 12 белых и
- 13. Пример. В урне 30 шаров: 10 красных
- 14. События A и B несовместны (появление шара
- 15. Зависимые и независимые события. Событие A называют
- 16. Условная вероятностьОпределение. Вероятность события А ,
- 17. Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A
- 18. Так как AB=BA ,то а сравнивая (1) и (2), получаем равенствоP(A)PA(B) = P(B)PB(A).
- 19. Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна
- 20. где вероятность события An , вычисленная в
- 21. Теорема умножения для независимых
- 22. Пример. Найти вероятность совместного поражения
- 23. Теорема. ( о вероятности наступления хотя бы
- 24. Решение. Вероятность попадания в цель каждым из
- 25. q1=1-p1=1-0,8=0,2; q2=1-p2=1-0,7=0,3;q3=1-p3=1-0,9=0,1.Искомая вероятностьP(A)=1-q1q2q3= 1-0,2∙ 0,3∙ 0,1=0,994.
- 26. ЗадачиВ урне 5 красных и 8 белых
- 27. ЗадачиСтудент знает ответы на 20 вопросов из
- 28. ЗадачиДля разрушения моста достаточно попадания одной авиационной
- 29. Третий учебный вопросФормула полной вероятности. Формула Байеса.Следствием
- 30. Также даны вероятности этих событий и условные
- 31. равняется сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую условную вероятность события A:
- 32. где P(B1)- вероятность события B1 ;P(B2) -
- 33. Пример. В магазин поступает изделия с двух
- 34. Так как событие A может состояться лишь
- 35. По условию задачиПодставляя найденные вероятности в формулу (**), получим:P(A)=0,4∙0,9+0,6∙0,75=0,81
- 36. Вывод формулы Байеса . Примеры.Задача. Имеется полная
- 37. Тогда вероятность появления события A равна:Найдем условные
- 38. Тогда После преобразований получим
- 39. Эти формулы носят название формул Байеса, благодаря
- 40. Условная вероятность любой гипотезы Bi (i=1,2,3,…,n) рассчитывается следующим образом:
- 41. Какова вероятность, что наугад взятая деталь, изготовленная
- 42. В2 - наугад взятая деталь изготовлена на
- 43. Вероятности
- 44. 2. По формуле Байеса получим ответ на второй вопрос
- 45. Скачать презентанцию
Учебные вопросы.1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.2. Условные вероятности. Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.3.Формула полной вероятностей. Формула Байеса.
Слайды и текст этой презентации
Слайд 2Учебные вопросы.
1. Теорема сложения вероятностей для несовместных событий.
2. Условные вероятности.
Зависимые и независимые события. Теорема умножения вероятностей.
Байеса.
Слайд 3В теория вероятностей случайные события рассматриваются с точки зрения теории
множеств, что позволяет определить отношения над ними.
Первый учебный вопрос.
Теорема
сложения вероятностей суммы несовместных событий.Теорема. Вероятность суммы несовместных событий A и B равна сумме вероятностей этих событий:
P(A+B)=P(A)+P(B).
Слайд 4Доказательство. Введем обозначения: n –общее число возможных элементарных исходов испытания;
m1-число исходов, благоприятствующих событию A; m2 –число исходов, благоприятствующих событию
BЧисло элементарных исходов, благоприятствующих наступлению либо события A, либо события B, равно m1+m2.
Слайд 5Следовательно,
P(A+B)=(m1+m2)/n = m1/n +m2/n.
Приняв во внимание, что m1/n =
P(A) и
m2/n=P(B), окончательно
P(A+B)=P(A)+P(B).
Теорема. Если события A1,…, An попарно
несовместны, то вероятность суммы этих событий равна сумме их вероятностей, т.е.P(A1+A2+…+An)= P(A1)+P(A2)+…+P(An).
Слайд 6Теорема сложения вероятностей совместных событий
Два события называют совместными, если появление
одного из них не исключает появления другого в одном и
том же испытании.Теорема. Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:
P(A+B)= P(A)+P(B)- P(AB). (4)
Слайд 7Вероятность суммы трех совместных событий равна:
P(A+B+C)= P(A) +P(B) +P(C) –
P(A∙B)- P(B∙C) –- -P(A∙C) +P(A∙B∙C).
Полная группа событий
Теорема. Сумма вероятностей
событийA1, A2,…, An, образующих полную группу, равна единице:
P(A1)+P(A2)+…+P(An)=1. (2)
Слайд 8Теорема.
Сумма вероятностей противоположных событий равна единице:
(3)
Если обозначить
P(A)=p,
то формула (3) примет вид
p+q=1.
Пример.
Вероятность того, что день будет дождливым, p=0,7. Найти вероятность того, что день будет ясным.
Слайд 9Решение. События «день дождливый» и
« день ясный»- противоположные, поэтому
искомая вероятность
q=1-p=1-0,7=0,3
Замечание. При решении задач на отыскание вероятности события A
часто выгодно сначала вычислить вероятность события а затем найти искомую вероятность по формуле .
Слайд 10Пример. В урне 10 шаров: 3 красных, 5 синих и
2 белых. Какова вероятность вынуть цветной шар, если вынимается один
шар?Решение.
Вероятность вынуть красный шар P(A)=3/10, P(B)=5/10.
Так как события AB не совместимы, то по доказанной выше теореме
P(A+B)= P(A)+P(B)= 0,3+0,5=0,8.
Слайд 11Пример. Стрелок стреляет по мишени, разделенной на 3 области. Вероятность
попадания в первую область равна 0,45, во вторую- 0,35. Найти
вероятность того, что стрелок при одном выстреле попадает либо в первую, либо во вторую область.Решение. События A- « стрелок попал в первую область» и B- « стрелок попал во вторую область»- несовместны (попадание в одну область исключает попадание в другую), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P(A+B)= P(A)+P(B)=0,45+0,35=0,80
Слайд 12Пример. В урне находятся 12 белых и 8 черных шаров.
Какова вероятность того, что наудачу вынутый шар будет белым?
Решение.
Пусть A-
событие, состоящее в том, что вынут белый шар. Ясно, что n=12+8=20- число всех равновозможных случаев ( исходов опыта). Число случае, благоприятствующих событию A, равно 12, т.е. m= 12. Искомая вероятность
P(A)=12/20=0,6.
Слайд 13Пример. В урне 30 шаров: 10 красных ,5 синих и
15 белых. Найти вероятность появления цветного шара.
Решение. Появления цветного
шара означает появление либо красного, либо синего шара. Вероятность появления красного шара (событие A)
P(A)= 10/30=1/3.
Вероятность появления синего шара (событие B)
P(B)=5/30=1/6.
Слайд 14События A и B несовместны (появление шара одного цвета исключает
появление шара другого цвета), поэтому теорема сложения применима.
Искомая вероятность
P(A+B)= P(A)+P(B)=
1/3+ 1/6=1/2. 1. Условная вероятность. События, независимые в совокупности Теорема умножения вероятностей
Произведением двух событий A и B называют событие (AB), состоящее в совместном появлении событий A и B.
Слайд 15Зависимые и независимые события.
Событие A называют независимым от события
B, если вероятность события A не зависит от того, произошло
событие B или нет.Событие A называют зависимым от события B, если вероятность события A зависит от того, произошло событие B или нет.
Слайд 16 Условная вероятность
Определение.
Вероятность события А , вычисленная при условии,
что произошло событие В , называется условной вероятностью события А
и обозначается так: P(А/В), или PВ(А).Определение. Два события А и В называются независимыми, если вероятность каждого из них не зависит от появления или не появления другого,
PВ (А)=p(А); pА (В)=p(В).
Слайд 17Теорема. Вероятность произведения двух зависимых событий A и B равна
произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого, найденную
в предположении, что первое событие уже наступило:P(AB)=P(A)PA(B) (1)
Замечание. Применив формулу (1) к событию BA, получим
P(BA)=P(B)PB(A). (2)
Слайд 19Следствие. Вероятность совместного появления нескольких событий равна произведению вероятности одного
из них на условные вероятности всех остальных. При этом вероятность
каждого последующего события подсчитывается в предположении, что все предыдущие события уже появилиcь:
Слайд 20где вероятность события An , вычисленная в предположении, что события
A1, A2,…, An-1 наступили.
В частности, для трех событий P(ABC)=P(A)
PA(B)PAB(C).
Слайд 21 Теорема умножения для независимых событий
Вероятность произведения двух
независимых событий равна произведению их вероятностей: P(AB)= P(A)P(B).
Для трех независимых событий A,B,C формула принимает вид: P(ABC)=P(A)P(B)P(C).
Теорема. Вероятность совместного появления n событий A1,A2,…,An независимых в совокупности, равна произведению вероятностей этих событий:
Слайд 22
Пример. Найти вероятность совместного поражения цели двумя орудиями,
если вероятность поражения цели первым орудием (событие А) равна 0,8,
а вторым (событие В) -0,7.Решение. События A и B независимые, поэтому, по теореме умножения, искомая вероятность
Р(АВ)= Р(А) Р(В) = 0,7·0,8=0,56.
Слайд 23Теорема. ( о вероятности наступления хотя бы одного из n
независимых событий).
Теорема. Если события A1,A2,…,An независимы в совокупности, то вероятность
наступления хотя бы одного из этих событий (т.е. вероятность суммы) вычисляется по формулеПример. Вероятности попадания в цель при стрельбе из трех орудий таковы: p1=0,8; p2=0,7; p3=0,9.
Найти вероятность хотя бы одного попадания (событие А) при одном залпе из всех орудий.
Слайд 24Решение. Вероятность попадания в цель каждым из орудий не зависит
от результатов стрельбы из других орудий, поэтому рассматриваемые события A1
(попадание первого орудия), A2 ( попадание третьего орудия) независимы в совокупности.Вероятности событий, противоположных событиям A1, A2 и A3 (т.е. вероятности промахов), соответственно равны:
Слайд 25q1=1-p1=1-0,8=0,2;
q2=1-p2=1-0,7=0,3;
q3=1-p3=1-0,9=0,1.
Искомая вероятность
P(A)=1-q1q2q3= 1-0,2∙ 0,3∙ 0,1=0,994.
Слайд 26Задачи
В урне 5 красных и 8 белых шаров. Из урны
последовательно без возвращения вынимают два шара. Найти вероятность того, что:
а) оба шара белые; б) оба шара красные; в) первый шар белый, а второй красный; г) шары разного цвета.В лотерее выпущено 10000 билетов и установлены 10 выигрышей по 1000 рублей, 100 – по 500 рублей, 500 – по 100 рублей и 1000 выигрышей по 25 рублей. Гражданин купил 1 билет. Какова вероятность того, что он выиграет не меньше 100 рублей?
Слайд 27Задачи
Студент знает ответы на 20 вопросов из 25. Экзаменатор последовательно
задает студенту три вопроса. Найти вероятность того, что студент: а)
ответит на все вопросы; б) не ответит ни на один вопрос; в) ответит на первый и второй вопросы, но не ответит на третий вопрос; г) ответит только на один вопрос.Вероятность попадания в цель при одном выстреле для первого стрелка равна p, для второго – 0,7. Вероятность ровно одного попадания при одном выстреле обоих стрелков равна 0,38. Найти p.
Слайд 28Задачи
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность
того, что мост будет разрушен, если на него сбросить четыре
бомбы, вероятности попадания которых соответственно равны: 0,3; 0,4; 0,6; 0,7.В мешке содержится десять одинаковых кубиков с номерами от 1 до 10. Наудачу извлекают по одному три кубика. Найти вероятность того, что последовательно появятся кубики с номерами 1, 2, 3, если кубики извлекаются: а) без возвращения; б) с возвращением (извлеченный кубик возвращается в мешок).
Слайд 29Третий учебный вопрос
Формула полной вероятности. Формула Байеса.
Следствием основных теорем вероятностей
– теорем сложения и умножения вероятностей – является формула
полной вероятностей.Постановка задачи.
Допустим событие A может наступает при появления одного из несовместных событий B1,B2,…, Bn. Эти события образуют полную группу. Такие события Bi называются гипотезами.
Слайд 30Также даны вероятности этих событий и условные вероятности
события A. Для нахождения вероятности события
A можно воспользоваться следующей теоремой.Теорема (формула полной вероятности)
Пусть несовместные события B1,B2,…,Bn , образуют полную группу. Тогда вероятность события A, которое может наступить только при условии появления одного из этих несовместных событий
Слайд 31равняется сумме произведений вероятностей каждого из этих событий на соответствующую
условную вероятность события A:
Слайд 32где P(B1)- вероятность события B1 ;
P(B2) - вероятность
события B2
;
P(Bi) - вероятность
события Bi ;
условная вероятность события A при условии, что произошло событие Bi .Эту формулу называют
« формулой полной вероятности».
Слайд 33Пример. В магазин поступает изделия с двух фабрик, причем 40%
из них изготовлены фабрикой №1, а остальные – фабрикой №2.
Фабрика №1 дает 90% изделий первого сорта, а фабрикой №2 75%. Какова вероятность того, что купленное наудачу изделие окажется первого сорта?Решение. Рассмотрим события:
A изделие, купленное наудачу, первого сорта;
B1- изделие произведено на фабрике №1;
Слайд 34Так как событие A может состояться лишь при условии выполнения
одной из гипотез B1 или B2, то по формуле полной
вероятности имеем:Найдем вероятности гипотез, входящие в эту формулу. Так как на каждые 100 поступивших в магазин изделий 40 изготовлено фабрикой №1 (40%), а остальные 60 – фабрикой №2, то
P(B1)=40/100=0,4;
P(B2)=60/100=0,6
Слайд 35По условию задачи
Подставляя найденные вероятности в формулу (**), получим:
P(A)=0,4∙0,9+0,6∙0,75=0,81
Слайд 36Вывод формулы Байеса . Примеры.
Задача. Имеется полная группа несовместных гипотез
B1,B2,…,Bn , вероятность которых P(Bi) (i=1,2,…,n) известных до опыта (вероятности
априори). Производится опыт (испытание), в результате которого зарегистрировано появление события A, причем известно, что этому событию наши гипотезы приписывали определенные вероятности
Слайд 37Тогда вероятность появления события A равна:
Найдем условные вероятности
В соответствии
с теоремой умножения условная вероятность
равна:
Слайд 39Эти формулы носят название формул Байеса, благодаря которым можно оценить
вероятности гипотез после того, как становится известным результат испытания, в
результате которого появилось событие A.Примеры. В цехе работают 20 станков, изготавливающих одинаковые детали. Из них 10 станков- 1-го типа, 6станков – 2-го типа, а остальные – 3-го типа.
Вероятности того, что качество детали окажется отличным на станках этих типов, равны соответственно 0,9, 0,8 и 0,7. Производительность всех типов станков одинакова.
Слайд 41Какова вероятность, что наугад взятая деталь, изготовленная в цехе, окажется
отличного качества?
Наугад взятая деталь оказалась отличного качества. Какова вероятность ,
что она была изготовлена на станке 1-го типа?Решение.
Обозначим события:
A- наугад взятая деталь отличного качества;
В1 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 1-го типа;
Слайд 42В2 - наугад взятая деталь изготовлена на станке 2-го типа;
В3
- наугад взятая деталь изготовлена на станке
3
-го типа;Так как производительность всех типов станков одинакова, то количество деталей, изготовленных на станках данного типа, пропорционально количеству станков. Поэтому
P(B1)=10/20=0,5;
P(B2)=6/20=0,3;
P(B3)=4/20=0,2
