ПЕРПЕНДИКУЛЯР И НАКЛОННАЯ

Через точку A проведем прямую a, перпендикулярную плоскости π. Точку

Соответствие, при котором точкам A пространства сопоставляются их ортогональные проекции A’, называется ортогональным проектированием на плоскость π.

Наклонной к плоскости называется прямая, пересекающая эту плоскость и не перпендикулярная ей. Наклонной называют также отрезок, соединяющий точку, не принадлежащую плоскости, с точкой плоскости, и не являющийся перпендикуляром.

Отрезок AA’ называется перпендикуляром, опущенным из точки A на плоскость π.

ортогональной проекции наклонной к этой плоскости, то она перпендикулярна и

Доказательство. Пусть прямая c плоскости π перпендикулярна проекции A’B’ наклонной AB’, AA’ – прямая, перпендикулярная плоскости π, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым A’B’ и AA’. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АA’В’ и, следовательно, она будет перпендикулярна наклонной АВ’.

к этой плоскости, то она перпендикулярна и ортогональной проекции этой

Доказательство. Пусть прямая c плоскости π перпендикулярна наклонной AB’, AA’ – прямая, перпендикулярная плоскости π, следовательно, и прямой c. Тогда прямая c будет перпендикулярна двум пересекающимся прямым AB’ и AA’. По признаку перпендикулярности прямой и плоскости, прямая а перпендикулярна плоскости АA’В’ и, следовательно, она будет перпендикулярна ортогональной проекции A’B’ наклонной АВ’.

всякой наклонной, проведенной из той же точки к той же

Доказательство. Пусть AB’ – наклонная к плоскости π, AA’ – перпендикуляр, опущенный на эту плоскость. Соединим отрезком точки A’ и B’. Треугольник AA’B’ прямоугольный, AB’ – гипотенуза, AA’ – катет. Следовательно, AA’ < AB’.

равна отрезку; в) больше отрезка?
Упражнение 3
Ответ: а) Да;
б) да;

в) нет.

плоскости, проведены к ней две равные наклонные, то их проекции

Ответ: Нет.

Упражнение 4

Верно ли утверждение о том, что произвольная точка M этого

Ответ: Да.

Упражнение 5

о том, что она принадлежит перпендикуляру к плоскости окружности, проведённому

Ответ: Да.

Упражнение 6

из данной точки.
Ответ: Окружность.
Упражнение 7

точек.
Упражнение 8
Ответ: Плоскость, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки,

точек, не принадлежащих одной прямой.
Упражнение 9
Ответ: Прямая, проходящая через центр

SD перпендикулярно плоскости основания. Среди отрезков SA, SB, SC и

Ответ: SD – наименьший; SB – наибольший.

Упражнение 10

а) BCC1; б) BDD1; в)* BDA1.
Ответ. а) точка B;
Упражнение

б) точка пересечения прямых AC и BD;

в) точка пересечения прямых AC1 и плоскости BDA1.

а) ABC; б) BCC1; в) BDD1.
Ответ. а) отрезок AB;
Упражнение

б) отрезок BB1;

в) отрезок, соединяющий точку B1 и середину отрезка BD.

на плоскость BDD1.
Упражнение 13

на плоскость: а) ABC; б) BCC1.
Ответ. а) отрезок AC;
Упражнение

б) отрезок, соединяющий точку C1 и середину отрезка BC.

найдите длину ортогональной проекции отрезка AC1 на плоскость BCC1.
Упражнение

на плоскость: а) A1B1C1; б) ACC1.
Ответ. а) точка B1;
Упражнение

б) середина отрезка AC.

точки A на плоскость: а) A1B1C1; б) CDD1; в) DEE1;

Ответ. а) A1;

Упражнение 18

б) C;

в) E;

г) B;

д) точка пересечения прямых BE и AC;

е) точка пересечения прямых BF и AD;

ж) точка пересечения прямых CE и AD;

з) точка пересечения прямых CF и AE.

отрезка AC1 на плоскость: а) ABC; б) CDD1; в) CEE1;

Ответ. а) отрезок AC;

Упражнение 19

б) отрезок CС1;

в) отрезок, соединяющий точку C1 и середину отрезка CE;

г) отрезок, соединяющий точку C1 и точку пересечения AF и AE;

д) отрезок, соединяющий точку пересечения AC и BE с точкой пересечения A1C1 и B1E1;

е) отрезок FD1;

перпендикулярна прямой AB1.
Упражнение 20

пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите проекцию

Ответ: 12 см.

Упражнение 21

пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок

Ответ: 12 см.

Упражнение 22

пересекающие плоскость соответственно в точках B и C. Найдите отрезок

Ответ: 2 см.

Упражнение 23

15 см и 20 см. Проекция одного из этих отрезков

Ответ: 9 см.

Упражнение 24

плоскость . Точка D принадлежит отрезку AC и AD:DC =

Ответ: 6 см; 4,8 см.

Упражнение 25

соответственно 20 и 15 см. Через вершину A проведена плоскость

Упражнение 26

сторон ромба проведена плоскость. Проекция другой стороны на эту плоскость

Упражнение 27