Понятие вероятности обнаружения частицы Уравнение Шредингера для частиц,

сравнению
со скоростью света.
Волновые свойства частиц
МИЭТ.
Кафедра обшей физики.
Л.В.В.
Квантовая физика микрочастиц

дуализм
электромагнитного излучения
Дифракция микрочастиц

и любое электромагнитное излучение – поток фотонов.

Корпускулярные свойства излучения.

4. Фотон – стабильная элементарная частица, время жизни
которой определяется взаимодействием с веществом.

В 1923 г. Французский физик Луи де Бройль выдвинул

чрезвычайно смелую гипотезу:
Электромагнитное излучение и вещество, состоящее из микрочастиц, равноправны в отношении проявления корпускулярно-волновых свойств.
Микрочастицы должны проявлять волновые свойства.
Свет с длиной волны и частотой ведет себя как поток частиц (фотонов)


Частице с импульсом и энергией соответствует некий волновой процесс

 

импульсом p,


движущейся вдоль оси x, соответствует плоская волна де

Бройля:



где - волновое число, - частота .

Волна распространяется в том же направлении, что и частица, и описывает её волновые свойства.

Плоская волна де Бройля

скорость световой волны:
Групповая скорость волны де Бройля:

Дифференцируя формулу связи между энергией E и импульсом p релятивистской частицы: , получим


Учитывая, что
для групповой скорости находим

 
Групповая скорость волны де Бройля равна скорости движения частицы .

с частицей.
Волна де Бройля и

частица – это один и тот же объект !

Понятие длины волны де Бройля характеризует этот объект с волновой точки зрения, а понятие импульса определяет свойства объекта как частицы, и эти два понятия связаны соотношением

, где или

Для частицы с кинетической энергией и

длина волны де Бройля равна


Для релятивистской частицы:

1927 г.)

известна из опытов по дифракции рентгеновских волн. Еще в 1912

– 1913 гг. английские физики Г. Брэгг и Л. Брэгг (отец и сын) предложили вместо сложной дифракции от множества атомов рассматривать отражение волн от параллельных атомных плоскостей в кристалле и интерференцию отраженных волн.
 
 

г.)

Кристаллические зерна в металле
Поликристалл
(Увеличено в
600 раз)

энергией от 17 кэВ до 57 кэВ
Отражение от разных атомных

плоскостей (разные d ) при различных порядках n интерференции дает на фотопластинке систему колец.

физиков во главе с В.А.Фабрикантом в СССР выполнила в 1949г

дифракционные исследования с очень слабым электронным пучком.
В этих опытах интервал времени между двумя последовательными прохождениями электронов через поликристалл в 81 раз превышал время, затрачиваемое одним электроном на прохождение всего прибора. Таким образом, взаимодействие электронов друг с другом полностью исключалось, и электроны дифрагировали поодиночке.

Волновые свойства присущи отдельному электрону.

ещё несколько лет назад их бы посадили в психиатрическую больницу

для наблюдения за их душевным состоянием. Но они добились успеха !»

Объяснить результаты опытов по дифракции невозможно
без понятия вероятности и волновых свойств электрона.
При небольшом числе электронов
(при малой длительности эксперимента) следы
от попадания электронов на фотопластинке
распределены достаточно хаотично .
Можно говорить только о вероятности
попадания отдельного электрона в какое-либо
место фотопластинки.
Информацию о распределении этой
вероятности дает дифракционная
картина.

Эрвин Шредингер о первых
опытах по дифракции электронов

в результате дифракции на краю поглощающего экрана.

На заре квантовой механики (1920-е годы) физики пытаются

найти законы, определяющие движение микрочастицы (электрона) в различных условиях, не прибегая к моделям внутренней структуры.
Так например, электрон в дифракционных экспериментах с поликристаллической фольгой с некоторой вероятностью меняет свое направление движения после фольги, но фиксируется на фотопластинке как точечная частица.

Задача: Выяснить особенности физического и
математического описания движения микрообъекта,
совмещающего в себе каким-то образом
корпускулярные и волновые свойства.

Вернер Гейзенберг в Германии
и Эрвин Шредингер в Австрии начали

разрабатывать новую механику, позволяющую рассчитывать волновое движение не только свободных микрочастиц, как это было у де Бройля, но и частиц , находящихся во внешнем потенциальном поле.

В 1926 г. Шредингер получил свое знаменитое уравнение для волновой пси-функции и применил его к атому водорода, в котором единственный электрон находится в электрическом поле протона .

где ,


.

Уравнение Шредингера

Соотношения неопределенностей

1927г. Нильс Бор в Дании сформулировал
принцип дополнительности в квантовых явлениях,
а мысленные эксперименты Вернера Гейзенберга в Германии привели к соотношениям неопределенностей, которые являются математическим воплощением общей идеи дополнительности в квантовых явлениях.

Принцип дополнительности Бора: В области квантовых явлений
наиболее общие физические свойства какой-либо системы описываются
с помощью дополняющих друг друга пар независимых переменных ,
каждая из которых может быть лучше определена только за счет
уменьшения степени определенности другой.

Такими переменными являются: импульс – координата ; энергия – время; частица – волна; непрерывность – дискретность; … .

«Физическая картина явления и его математическое описание дополнительны.
Создание физической картины требует пренебрежения деталями и уводит от математической точности. И наоборот, попытка точного математического описания
явления затрудняет ясное понимание» (А. Б. Мигдал)

конкретное выражение принципа дополнительности Н. Бора.
Соотношения неопределенностей В. Гейзенберга

как в 50-х годах к нему после лекции подошел студент

и спросил: « Неужели действительно были такие идиоты, которые думали, что электрон в атоме вращается по орбите»

р а в н е н и е
1

Эрвин Шредингер разработал теорию движения микрочастиц, в основу которой положил

уравнение

2

Движение в трехмерном пространстве;

вероятности, рассматриваются как вспомогательные,
и применяются в тех случаях, когда

недостаточно знаний
о подробностях того или иного события.

Так обстоит дело, например, в кинетической теории газов, где
предполагается, что каждая частица во всякий данный момент
времени имеет определенное значение скорости.

Но частиц много, уследить за всеми невозможно,
и единственный реальный путь заключается в том,
чтобы найти закономерности в этом хаотичном
движении многих частиц – вычислить вероятность
распределения частиц по скоростям.

Вероятность в классической физике

иная.
Электронам, протонам, фотонам и другим частицам присущи
волновые свойства.

Нет смысла, например, говорить о локализации световой волны
после дифракции на щели или траектории фотонов.
Фотон может попасть в любое место экрана наблюдения
с той или иной вероятностью. Это касается и микрочастиц, для
описания движения которой понятие определенной и
непрерывной траектории оказывается неприменимым.
При рассмотрении процессов , происходящих в микромире,
неизбежно приходится использовать понятие
волны вероятности

Вероятность в квантовой физике

в том же 1926 году высказал идею , суть
которой

состояла в сопоставлении классической физической
величине некоторого линейного оператора, обладающего
определенными свойствами.

1. Об идее М. Борна и операторах в математике.

оператор умножения:

.

в символической
форме является уравнением Шредингера

где оператор Гамильтона
(оператор полной энергии).