Практикум по теме Решение планиметрических задач из банка заданий ОГЭ № 24-25

№ 24-25»

точках K и P соответственно и проходит через вершины B

и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.

следовательно выполняется условие: сумма противоположных углов четырехугольника равна 180° (условие

того, что четырехугольник можно вписать в окружность). Т.е. ∠PKB+∠BCP=180° ∠PKB+∠AKP=180° (т.к. это смежные углы). Следовательно, ∠AKP=∠BCP Рассмотрим треугольники ABC и AKP. ∠AKP=∠BCP (это мы выяснили чуть выше) ∠A - общий, тогда эти треугольники подобны (по признаку подобия). Следовательно, KP/BC=AK/AC=AP/AB (из определения подобных треугольников). Нас интересует равенство KP/BC=AP/AB KP/BC=18/(1,2BC) KP=18BC/(1,2BC)=15 Ответ: KP=15

О — центр окружности, а дуга AD окружности, заключённая внутри

этого угла, равна 100°.

AOD центральный и равен градусам (градусной мере дуги AD, на

которую он опирается).
2.Он внешний угол треугольника ACO.
Тогда Ответ: 10°

и 60° соответственно. Найдите угол между высотой ВН и биссектрисой

BD.

= 1/2 *(180°  -  (40°+60°)) = 1/2 *(180°  -  100°)

= 1/2 *80° =  40°
2. Рассмотрим треугольник ВСH  (угол СНВ  - прямой по условию).  По теореме о сумме острых углов прямоугольного треугольника  угол НСВ + угол НВС  = 90°.
3. По условию   угол НСВ  =  60°.  Значит угол НВС = 90° - 60° = 30°
4. Угол между высотой ВН и биссектрисой BD - это угол HВD.  Он равен: угол HВD =  угол СBD  - угол НВС= 40° -
-  30° = 10°.
Ответ: 10°.

точке, лежащей на стороне BC. Найдите BC, если AB = 34.

- биссектриса) ∠EAD=∠BEA (т.к. это накрест-лежащие углы) Следовательно, ∠BAE=∠BEA Получается,

что треугольник ABE - равнобедренный (по свойству), и AB=BE (по определению равнобедренного треугольника). Аналогично с треугольником ECD: ∠CED=∠CDE EC=CD Так как AB=CD (по свойству параллелограмма), то получается, что AB=BE=EC=CD = 34. Значит, ВС = 34 + 34 = 68
Ответ: 68

отрезки DH = 12 и CH = 3. Найдите высоту

ромба.  

AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если

AF = 24, BF = 10.

односторонние при прямых AD || BC и секущей AB, следовательно, углы

BAD+ABC =180°. AF и BF — биссектрисы углов BAD и ABC. 2. Сумма углов BAF и ABF будет равна половине суммы углов BAD+ABC =180°, то есть 180:2=90°. Треугольник ∆AFB — прямоугольный, тогда по т. Пифагора находим AB:
AB2=BF2+AF2, AB2=102+242 AB2=100+576 AB2=676 AB=26
Ответ: 26.

угла B треугольника ABC к гипотенузе AC. Найдите AB, если

AH = 5, AC = 20.

∠AHB=∠ABC .Следовательно, эти треугольники подобны (по признаку подобия) 2. Тогда

AC/AB=AB/AH (гипотенуза большого треугольника относится к гипотенузе маленького как малый катет большого треугольника к малому катету маленького треугольника) 20/AB=AB/5
20*5=AB2, 100=AB2, AB=10
Ответ: AB=10

пополам. Найдите сторону АС, если сторона АВ равна 4.

А это свойство медианы для равнобедренного треугольника. Следовательно, треугольник ABM

- равнобедренный с основанием BM.
2.По определению равнобедренного треугольника AB=AM. Т.к. BM - медиана для треугольника ABC, следовательно AM=MC (по определению медианы). Тогда AC=AM*2. Как мы выяснили ранее AM=AB => AC=AB*2=4*2=8.
Ответ: AC=8.

вершины прямого угла B прямоугольного треугольника ABC. Окружность с диаметром

BH пересекает стороны AB и CB в точках P и K соответственно. Найдите PK, если BH = 16.  

Так как  центральный угол равен двум прямым углам, т.е. 180°,

отрезок РК - диаметр и равен другому  диаметру ВН. 
РК=16. 
Если короче - вписанный угол, если он равен 90°, опирается на диаметр. Отсюда РК - диаметр.
 

АВ и CD так, что центральные углы АОВ и СОD

равны. На эти хорды опущены перпендикуляры ОК и OL. Докажите, что ОК и OL равны.  

(AO = BO = CO = DO как ра­ди­у­сы окружности, ∠AOB = ∠COD по условию). Следовательно, высоты OK и OL равны как соответственные элементы

равных треугольников.

E так, что отрезки AD и CE равны (см. рисунок).

Оказалось, что отрезки BD и BE тоже равны. Докажите, что треугольник АВС — равнобедренный.

определению). По свойству равнобедренного треугольника угол BDE = углу BED.

Смежные им углы тоже равны, угол BDA=углу BEC.
2) Рассмотрим треугольники ABD и CBE. AD=CE (по условию), BD=BE (По условию), угол BDA=углу BEC (из п.1), следовательно эти треугольники равны (по первому признаку равенства треугольников), а это значит, что BA=BC. Следовательно треугольник ABC - равнобедренный (по определению).

Докажите, что углы DAC и DBC также равны.  

равны друг другу. Значит мы можем провести окружность через точки

AD и вершины этих углов. Эти углы окажутся вписанными в окружность, опирающимися на одну дугу. Получится, что мы описали окружность вокруг четырехугольника.
2. Заметим, что углы DAC и DBC тоже являются вписанными и опирающимися на одну и ту же дугу, т.е., используя теорему о вписанном угле, получаем, что они равны друг другу . ч.т.д.
 

АС Докажите, что ВFDЕ — параллелограмм.

Угол BAE = углу DCF (т.к. это внутренние накрест-лежащие углы

для параллельных BC и AD и секущей AC). Угол BEA = углу DFC (т.к. оба эти угла прямые по условию).Значит прямоугольные треугольники равны по гипотенузе и острому углу). Отсюда следует, что BE=FD
2) Рассмотрим треугольники BFE и DEF. BE=FD (из пункта 1), EF-общая сторона, угол BEF = углу DFE (т.к. это прямые углы по условию). Следовательно треугольники BFE и DEF равны (по второму признаку равенства треугольников). Отсюда следует, что BF=ED.
3) В итоге получаем, BF=ED и BE=FD, следовательно ВFDЕ — параллелограмм (по свойству параллелограмма).
 

на его сторонах, как показано на рисунке, причём АЕ =

CK, BF = DM. Докажите, что EFKM — параллелограмм.  

значит треугольник AME = треугольнику CFK, значит и EM=FK. Также

легко заметить, что MD=BF и KD=EB (покажем для MD=BF.  Т.к. AD=AM+MD, BC=BF+FC, а FC=AM , значит и  MD=BF, Для KD=EB доказательство аналогично)Тогда мы получили, что MD=BF ,KD=EB , угол В = угол D (т.к. АВСД - парал-мм), значит треугольник EBF = треугольнику KDM, значит MK = EK таким образом мы получили, что четырехугольник EFKM, у которого противолижащие стороны попарно равны.
Теперь докажем что противалежащие стороны у четырехугольника параллельны, тогда мы и докажем что он параллелограмм. В EFKM проведем диагональ MF, тогда очевидно, что треугольник MKF = треугольнику FEM (по равенству двух сторон+ одна сторона общаяя)Тогда угол FMK = углу MEF , а они внутренние накрест лежащие углы при прямых MK и EF и секущей MF, значит EF параллельна MK.Теперь аналогичным образом, проводим диагональ EK, также получаем 2 равных треугольника MEK=FKE (тоже по трем сторонам), тогда углы KEM=EKF (а они накрест лежащие при прямых FK и EM при секущей KE), значит FK параллельна EMП получили что стороны четырехугольника попарно параллельны друг другу, значит это параллелограм.

биссектрис, заключенные внутри параллелограмма, равны.

стороны параллелограмма,
2. Угол DAN равен углу BCM как половины

равных углов А и В параллелограмма .
3. Угол AND равен углу CBM как противоположные углы параллелограмма
4. Треугольники равны по второму признаку, следовательно AN = MC как соответственные стороны в равных треугольника

параллелограмм — прямоугольник.

– середина АВ
2. ВА = AH как половины равных сторон

параллелограмма
3. EF = EH как стороны ромба. Отсюда следует, что данные треугольники равны по третьему признаку.
4. Значит угол В = углу А, а так как они являются внутренними односторонними и в сумме дают 180 градусов, то каждый из них равен 90 градусов. По определению ABCD – прямоугольник.

экзаменах !!!