Предел функции

к бесконечности
Основные теоремы о пределах
Вычисление пределов
Раскрытие неопределенностей
Первый замечательный предел

некоторой окрестности точки x0, кроме, быть может самой точки x0.

смысл предела: для всех х из δ – окрестности точки

x к x0 существенно влияет на значение предела, поэтому вводят

предполагается, что x стремится к x0 любым способом: оставаясь меньше, чем x0 (слева от x0), большим, чем x0 (справа от x0), или колеблясь около точки x0.

Число А1 называют пределом функции слева в точке x0, если для любого ε > 0 найдется такое δ >0, что для всех справедливо неравенство:

Предел слева записывают так:

если
Предел справа записывают так:
А1
х0
А2
Пределы функции слева и справа называют односторонними

Очевидно, если существует

то существуют и оба односторонних предела, причем А = А1 = А2

f(x) определена в промежутке

Число А называют пределом функции при , если

Геометрический смысл этого определения таков:
существует такое число М, что при х > M или при x < - M точки графика функции лежат внутри полосы шириной 2ε, ограниченной прямыми:
у = А + ε , у = А - ε .

М

А

суммы (разности) двух функций равен сумме (разности) пределов:
Предел произведения двух

Постоянный множитель можно выносить за знак предела:

предел знаменателя, если предел знаменателя не равен нулю:
Предел степени с

Предел показательно – степенной функции:

неравенства:
Если функция f(x) монотонна и ограничена при x < x0

или ее правый предел:

f(x).
Если при этом получается конечное число, то предел равен этому

Если при подстановки предельного значения x0 в функцию f(x) получаются выражения вида:

то предел будет равен:

получаются выражения следующих видов:
Эти выражения называются неопределенности, а вычисление пределов

разложить на множители числитель и знаменатель дроби
Если f(x) – иррациональная

иррациональная дробь необходимо разделить числитель и знаменатель дроби на x

этой функции при
О
А
В
С
М
Обозначим:
S1 - площадь треугольника OMA,
S2 -

Из рисунка видно, что S1< S2 < S3

x