Слайд 1Предел последовательности.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :
А45 учеб.
для общеобразоват. учреждений : базовый и
профил. уровни / [Ю. М.
Колягин, М. В.
Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.
А. Б. Жижченко. —
2-е изд. —
М. : Просвещение,
2010.— 336 с.
Урок 1.
МБОУ СОШ №103.
г.Нижнего Новгорода.
Учитель : Лукьянова Е.Ю.
Слайд 2
Цели урока:
ввести понятие предела последовательности;
рассмотреть
свойства сходящихся последовательностей.
Слайд 3Числовые последовательности
Кратко последовательность обозначают символом {Хn} или (Хn), при этом
Хn называют членом или элементом этой последовательности, n —номером члена
Хn.
Числовая последовательность —это функция, область определения которой есть множество N всех натуральных чисел. Множество значений этой функции, т. е. совокупность чисел Хn, n € N, называют множеством значений последовательности. Множество значений последовательности может быть как конечным, так и бесконечным.
Слайд 4Множество значений последовательности
{(-1)"} состоит из двух чисел 1 и -1,
а
множества значений последовательностей
{n ²} и {1/n}
— бесконечны.
Последовательность, у которой существует предел,
называют сходящейся. Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; иначе говоря, последовательность называют расходящейся, если никакое число не
является ее пределом.
Слайд 5Предел числовой последовательности.
Рассмотрим две числовые последовательности:
: 2,
4, 6, 8, 10, …, ,…;
: 1, , , , , … , …
Изобразим члены этих последовательностей
точками на координатных прямых.
Обратите внимание как ведут себя члены
последовательности.
Слайд 6 Замечаем, что члены последовательности как
бы «сгущаются» около точки 0, а у последовательности
таковой точки не наблюдается.
Но, естественно, не всегда удобно изображать члены последовательности, чтобы узнать есть ли точка «сгущения» или нет.
Слайд 7Определение 1. Пусть a - точка прямой, а r -
положительное число. Интервал (a-r, a+r)
называют окрестностью
точки a , а число r - радиусом окрестности.
Геометрически это выглядит так:
Слайд 8Теперь можно перейти к определению точки
«сгущения», которую математики назвали
«пределом последовательности».
Например:
(-0.1, 0.5) – окрестность точки 0.2, радиус окрестности равен
0. 3.
Слайд 9Определение 2. Число
называют пределом
последовательности
, если в любой
заранее
выбранной окрестности точки
содержатся
все члены последовательности, начиная с
некоторого номера.
Пишут: .
Читают:
стремится к .
Либо пишут: .
Читают: предел последовательности при
стремлении к бесконечности равен .
Слайд 10Сходящиеся и расходящиеся последовательности.
Последовательность, у которой существует предел, называют сходящейся.
Последовательность, не являющуюся сходящейся, называют расходящейся; иначе говоря, последовательность называют
расходящейся, если никакое число не является ее пределом.
Слайд 11Теорема 1
Если последовательность {X n} является возрастающей(или неубывающей) и ограничена
сверху, т. е. X n≤M
для всех n, то она имеет
предел.
Теорема 2
Если последовательность {X n} является убывающей (или невозрастающей) и ограничена снизу, т. е. X n≥M для
всех n, то она имеет предел.
Слайд 12Пример:
Существует ли номер , начиная с которого
все члены последовательности
попадают в окрестность точки радиуса , если
1.
Решение.
Слайд 13Определение: Число a называют пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , …
если для любого
положительного числа ε найдется такое натуральное число N , что
при всех n > N выполняется неравенство
| an – a | < ε .
Условие того, что число a является пределом числовой последовательности
a1 , a2 , … an , … ,
записывают с помощью обозначения
и произносят так: «Предел an при n , стремящемся к бесконечности, равен a ».
Слайд 14Пример 1. Для любого числа k > 0 справедливо равенство:
Пример
2 . Для любого числа k > 0 справедливо равенство:
Пример 3.
Для любого числа a такого, что | a | < 1, справедливо
равенство:
Пример 4. Для любого числа a такого, что | a | > 1, справедливо равенство:
Пример 5 . Последовательность:
– 1 , 1 , – 1 , 1 , … ,
заданная с помощью формулы общего члена
an = (– 1)n ,
предела не имеет.
Предел числовой последовательности
Слайд 16Домашнее задание.
§1стр. 44
№1(2,4)
№2(2,4,6)
№4(2)
Слайд 17Предел последовательности.
Алгебра и начала математического анализа. 11 класс :
А45 учеб.
для общеобразоват. учреждений : базовый и
профил. уровни / [Ю. М.
Колягин, М. В.
Ткачева, Н. Е. Федорова, М. И. Шабунин]; под ред.
А. Б. Жижченко. —
2-е изд. —
М. : Просвещение,
2010.— 336 с.
Урок 2.
МБОУ СОШ №103.
г.Нижнего Новгорода.
Учитель : Лукьянова Е.Ю.
Слайд 18Цель урока.
Рассмотреть свойства пределов числовых последовательностей;
Сформировать умения вычисления пределов.
Слайд 19Свойства пределов числовых последовательностей
Рассмотрим две последовательности
a1 , a2 , … an , … , и b1 , b2 , … bn , … .
Если при существуют такие числа a и b , что
и ,
то при существуют также и пределы суммы, разности и произведения этих последовательностей, причем
Слайд 20
Если, выполнено условие,
то при
существует предел дроби
Слайд 21Пример 6. Найти предел последовательности
Слайд 22Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, воспользовавшись свойствами
степеней:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби
и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 3, получаем
Ответ.
Слайд 23Пример 7 . Найти предел последовательности
Слайд 24Решение. Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби
и «самое большое» слагаемое в знаменателе дроби, а также, используя cвойства
пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.
Слайд 25Пример 8 . Найти предел последовательности
Слайд 26 Решение. Сначала преобразуем выражение, стоящее под знаком предела, приводя дроби
к общему знаменателю:
:
Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в
числителе дроби и «самое большое» слагаемое в каждой из скобок знаменателя дроби, а также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Слайд 28Пример 9. Найти предел последовательности
Слайд 29Решение. В рассматриваемом примере неопределенность типа
возникает за счет разности двух корней, каждый из которых стремится
к . Для того, чтобы раскрыть неопределенность, домножим и разделим выражение, стоящее под знаком предела, на сумму этих корней и воспользуемся формулой сокращенного умножения «разность квадратов».
.
Слайд 30 Вынося за скобки «самое большое» слагаемое в числителе дроби и
«самое большое» слагаемое из-под каждого корня в знаменателе дроби, а
также, используя cвойства пределов последовательностей и результат примера 1, получаем
Ответ.
Слайд 31Пример 10. Найти предел последовательности
Слайд 32Решение. Замечая, что для всех k = 2, 3, 4, …
выполнено равенство
,
получаем
Ответ. 1 .
Слайд 34Домашнее задание:
№5(2,4,6)
№6(2,4),стр.52
Слайд 35Практические задания
1. Запишите окрестность точки радиуса
в виде интервала, если:
2. Окрестностью какой точки и какого
радиуса является интервал:
3. Принадлежит ли точка окрестности точки радиуса , если:
Слайд 36Итоговое практическое задание
Существует ли номер ,
начиная с которого все члены
последовательности
попадают в окрестность точки
радиуса :
2. Постройте график последовательности
и составьте,
если это возможно, уравнение горизонтальной асимптоты графика:
Слайд 37Итоговое практическое задание
3. Найдите - й
член геометрической прогрессии , если:
4. Вычислить:
Слайд 38Важно!
Для любого натурального показателя m и любого коэффициента k справедливо
соотношение.
Слайд 39Рефлексия :
(Обучающиеся ставят звезду на картинку, которая соответствует их
усвоению материала и внутреннему восприятию урока (Эффект множественного клонирования))
узнал новое
буду
использовать
расскажу друзьям
было интересно
Слайд 40Итог урока.
- Сегодня на уроке мы познакомились с понятием
предела числовой последовательности, правилами вычисления пределов последовательностей.
