Пределы функций. Примеры решений Теория пределов – это один из разделов

математического анализа. Вопрос
решения пределов является достаточно обширным, поскольку существуют

десятки приемов решений пределов различных видов. Существуют десятки
нюансов и хитростей, позволяющих решить тот или иной предел. Тем не менее,
мы все-таки попробуем разобраться в основных типах пределов, которые
наиболее часто встречаются на практике.
Начнем с самого понятия предела. Но сначала краткая историческая справка.
Жил-был в 19 веке француз Огюстен Луи Коши, который заложил основы
математического анализа и дал строгие определения, определение предела,
в частности. Надо сказать, этот самый Коши снился, снится и будет сниться
в кошмарных снах всем студентам физико-математических факультетов,
так как доказал огромное количество теорем математического анализа,
причем одна теорема отвратительнее другой. В этой связи мы не будем
рассматривать строгое определение предела, а попытаемся сделать две вещи:
1. Понять, что такое предел. 2. Научиться решать основные типы пределов.    

значка предела lim.
2) Записи под значком предела. Запись читается

«икс стремится к единице». Чаще всего – именно , хотя вместо «икса» на практике
встречаются и другие переменные. В практических заданиях на месте единицы
может находиться совершенно любое число, а также бесконечность ( ∞).

3)Функции под знаком предела, в данном случае

Разберем следующий важный вопрос – а что значит выражение
«икс стремится к единице»? И что вообще такое «стремится»? Понятие предела – это понятие, если так можно сказать, динамическое.
Построим последовательность: сначала , затем , , …, , …. То есть выражение «икс стремится к единице» следует понимать так – «икс»
последовательно принимает значения, которые бесконечно близко приближаются
к единице и практически с ней совпадают.
Как решить вышерассмотренный пример? Исходя из вышесказанного,
нужно просто подставить единицу в функцию, стоящую под знаком предела:

подставить
число в функцию.
Мы рассмотрели простейший предел, но и

такие встречаются на практике, причем, не так
уж редко!

Пример с бесконечностью:

Разбираемся, что такое

Это тот случай, когда  x неограниченно возрастает, то есть: сначала 1, потом 10 ,
потом100 , затем  1000 и так далее до бесконечности.

А что в это время происходит с функцией 1-x ?

`

1-1=0, 1-10=-9 , 1-100=-99, 1-1000=-999, …

Итак, если x→∞, то функция 1-x стремится к минус бесконечности!

в функцию   бесконечность и получаем ответ.

Еще один пример с бесконечностью:

Опять

начинаем увеличивать   x до бесконечности, и смотрим на поведение функции:

Вывод: при   x →∞ функция    неограниченно возрастает

последовательностей из нескольких чисел некорректен, но для понимания простейших примеров

вполне подойдет.

Пределы с неопределенностью вида   и метод их решения

Сейчас мы рассмотрим группу пределов, когда x→∞ , а функция представляет
собой дробь, в числителе и знаменателе которой находятся многочлены

Вычислить предел

Согласно нашему правилу попытаемся подставить бесконечность в функцию.
Что у нас получается вверху? Бесконечность. А что получается внизу?
Тоже бесконечность. Таким образом, у нас есть так называемая неопределенность
вида

, и ответ готов, но в общем случае это

вовсе не так,
и нужно применить некоторый прием решения, который мы сейчас и рассмотрим.

Как решать пределы данного типа?
Сначала мы смотрим на числитель и находим X  в старшей степени:

Старшая степень знаменателя равна двум

Старшая степень в числителе равна двум.

Итак, метод решения следующий: для того, чтобы раскрыть неопределенность  
необходимо разделить числитель и знаменатель на  x в старшей степени

знаменателе: 4
Выбираем наибольшее значение, в данном случае четверку
Пример 3
Максимальная степень

«икса» в числителе: 2 Максимальная степень «икса» в знаменателе: 1

нас может
получиться конечное число, ноль или бесконечность.
Пределы с неопределенностью

вида   и метод их решения

Группа следующих пределов чем-то похожа на только что рассмотренные пределы:
в числителе и знаменателе находятся многочлены, но «икс» стремится уже не
к бесконечности, а к конечному числу.

Пример 4
Решить предел

Сначала попробуем подставить -1 в дробь:

В данном случае получена так называемая неопределенность

Общее правило: если в числителе и знаменателе находятся многочлены, и
имеется неопределенности вида
то для ее раскрытия нужно разложить числитель и знаменатель
на множители.

Очевидно, что можно сократить на

Что важного в данном примере? Во-первых, Вы должны хорошо понимать,

как раскрыт числитель, сначала мы вынесли за скобку 2, а затем использовали формулу разности квадратов. Уж эту-то формулу нужно знать и видеть.

вида
Пример 6
Сначала пробуем подставить 3 в выражение под знаком

предела Еще раз повторяю – это первое, что нужно выполнять для ЛЮБОГО предела. Данное действие обычно проводится мысленно или на черновике.

Как Вы, наверное, заметили, у нас в числителе находится разность корней.
А от корней в математике принято, по возможности, избавляться. Зачем?
А без них жизнь проще.
Когда в числителе (знаменателе) находится разность корней (или корень минус
какое-нибудь число), то для раскрытия неопределенности  используют
метод умножения числителя и знаменателя на сопряженное выражение.

тоже не исчезли. Но с суммой корней всё значительно проще,

ее можно
превратить в постоянное число. Как это сделать? Да просто подставить
тройку под корни:

осталось разложить числитель и знаменатель на множители, собственно, это следовало

сделать раньше.

Пример 7

Спасибо за внимание !